组合知识模块学习指导

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟

一、知识扫描

(一)组合与组合数

组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作Cmn。

(二)组合数公式

(三)组合数的性质

温馨提示:

1.解决排列组合问题,整体分类,局部分步,分类和分步做到不重不漏。

2.在解组合问题时,常会遇到“至多”“至少”“恰有”等词,要仔细审题,理解其含义。

3.分清是有序还是无序:有序排列,无序组合,排列与组合并存时,一般采用先组合后排列的方法解决。

4.分组问题与分配问题不同。前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的;而后者即使元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的,对于分配问题必须先分组后排列。

5.求解排列组合问题的思路:排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘。

二、题型例析

题型一:对组合概念的理解

例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题:

(1)设集合A={a,b,c,d,e,f},则集合A的子集中含有4个元素的有多少个?

(2)从甲地到乙地的高铁,共有10个车站,则这条铁路上共有多少种票价?

(3)某班45人,春节期间,约好相互通一次电话,共通了多少次电话?

(4)从高二(10)班的10位科代表中选3人参加学校每周一、三、五的社会实践活动,有多少种选法?

解析:(1)是组合问题。因为子集的个数与顺序无关。

(2)是组合问题。由于甲站到乙站与乙站到甲站的高铁票价一样。

(3)是组合问题。因为甲与乙通了一次电话也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序区别。

(4)是排列问题。因为这三个人中,周一去、周三去或周五去,是有顺序区别的。

点评:排列组合的区别是元素之间的顺序问题,元素与顺序无关是组合问题,元素与顺序有关是排列问题。

题型二:有关组合数的计算与证明

例2 计算:。

点评:计算化简含有排列数、组合数的式子,要注意排列公式与组合公式的联系,灵活运用组合的性质。

例3 解不等式

点评:对于与排列组合有关的方程或不等式问题,要用排列数、组合数公式,以及组合的性质求解时,要注意由Cnm中n∈N*,m∈N*,且n≥m确定m、n的范围。求解后要验证所得的结果是否适合题意。

题型三:组合的实际运用

例4 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张。从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为____。

解析:第一类,含有1张红色卡片,不同的取法C14C212=264种。

第二类,不含有红色卡片,不同的取法C312-3C34=220-12=208种。

由分类加法计数原理知,不同的取法共有264+208=472种。

点评:本题是分配问题。解题时要注意按照正确的顺序,还要注意均匀分配与不均匀分配是不同的。

例5 设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )。

A.130 B.120 C.90 D.60

解析:对于|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1或2或3,下面分三种情况讨论。

其一,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其等于1或-1,其余等于0,于是有C15C12=10(种)情况。

其二,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1,其余等于0,于是有40(种)情况。

其三,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1,其余等于0,于是有=80(种)情况。

综上知,满足条件的元素个数共有10+40+80=130(种),故答案为A。

点评:两类组合问题的解法:

①“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取。

②“至少”、“最多”的问题:解这类题必须重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解。用直接法或间接法都可以求解。通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理。

题型四:排列组合的综合运用

例6 12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( )。

解析:要完成这件事,可分两步走:第一步可先从后排8人中选2人共有种;第二步可认为前排放6个座位,先选出2个座位让后排的2人坐,由于其他人的顺序不变,所以有种坐法。综上,由分步乘法计数原理知不同调整方法种数为种。故选C。

点评:(1)应熟记两个计数原理、排列组合数公式及性质。

(2)区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关。若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题。也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关。

例7 有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有一人参加,其中甲同学不能参加跳舞比赛,则参赛方案的种数为( )。

A.112 B.100 C.92 D.76

解析:甲同学有2种参赛方案,其余四名同学的参赛情况为:

若只参加甲参赛后剩余的两项比赛,则将四名同学先分为两组,分组方案有,再将其分到两项比赛中去,共有分配方案数为7×A22=14;

若剩下的四名同学参加三项比赛,则将其分成三组,分组方法数是C24,分到三项比赛中去的分配方法数是

根据两个基本原理共有方案数2×(14+36)=100(种)。

点评:(1)把握求解排列组合问题及应用题的基本策略:①解排列组合问题应遵循的原则:先特殊后一般,先选后排,先分类后分步。②常用策略:(a)相邻问题捆绑法;(b)不相邻问题插空法;(c)定序问题属组合;(d)至少或至多问题间接法;(e)选排问题先取后排法;(f)局部与整体问题排除法;(g)复杂问题转化法。

(2)区分排列与组合的关键是看元素是否与顺序有关,“定序”为组合,“有序”为排列,“分堆”为组合,“分配”为排列。