强激光在非均匀磁化电子-正电子-离子等离子体中的传播

洪学仁,景 敏,石玉仁,成丽红

(西北师范大学 物理与电子工程学院,甘肃 兰州 730070)

强激光在等离子体中的传播在带电粒子加速、激光核聚变、高次谐波的产生和X-射线激光器等领域具有重要的潜在应用[1-3].根据宇宙大爆炸理论,正负电子(electron-positron, EP)等离子体最早存在于宇宙形成的初期,并且在活动星系核的极区射流、脉冲星、宇宙射线等都存在大量的EP等离子体.最近在实验室中利用强激光射向金属靶时产生了正负电子对,其中正电子被用于研究托卡马克中的运输[4-5].当强激光通过等离子体传播时,正负电子对的产生可导致产生三组分的电子-正电子-离子(electron-positron-ion, EPI)等离子体.这是区别于由电子和离子(electron-ion, EI)组成的传统等离子体的一种三组分等离子体.由于EPI等离子体与传统的EI等离子体两者的物理性质存在着许多的不同点,因此研究强激光在EPI等离子体中的传播已经成为一个新的研究热点.此外,强激光通过等离子体传输可导致许多不稳定性以及非线性现象[6-11],例如Raman不稳定、Brillouin不稳定、调制不稳定、成丝不稳定、孤子的形成、激光自聚焦、坍塌和密度空穴等现象.

另外,激光与磁化等离子体的相互作用是一个较新的研究领域,许多学者针对该问题进行了广泛研究.Verga等研究了在磁化EP等离子体中由于朗缪尔波的调制不稳定性和其衰变导致相对论孤子形成及其存在条件[12]；Ghorbanalilu比较了圆偏振强激光在轴向磁化的EP和EI等离子体中传播时激光光斑尺寸的演化情况[13]；Chen等研究了在磁化EP等离子体中传播的右旋椭圆偏振激光束的调制不稳定性[14]；El-Shamy等分析了磁化EPI等离子体中静电孤立波的非线性特性[15]；Javan等研究了圆偏振强激光在热磁化EP等离子体中的调制不稳定性以及圆偏振强激光在热磁化EPI等离子体传播时其横向截面的演化情况[16-17].此外,等离子体中强大的外磁场在许多现实的物理实验中是不可避免的.例如受控核聚变中需要极强的外磁场来约束等离子体.在空间推进器领域,磁场用来准直等离子体喷流,达到最大推进效果.在磁控溅射中,通过磁场约束来提高等离子体密度以增加溅射率等.这些应用的基础,都是基于对磁场与等离子体相互作用的研究.但这些研究大部分为强激光与均匀磁化等离子体之间的相互作用情况,对强激光与非均匀磁化等离子体之间相互作用的研究则很少.

文中主要研究左旋圆偏振强激光在非均匀磁化EPI等离子体中的非线性传播,其中重点考虑外磁场强度、正电子与负电子密度比值、等离子体密度非均匀性对激光束的聚焦和成丝机制的影响.在考虑了相对论粒子质量的变化和有质动力相关的非线性效应后,发现系统的控制方程可化为包含磁化效应及非均匀效应的修正非线性薛定谔方程.进一步讨论了在外磁场作用下,等离子体密度沿轴向呈线性、高斯非均匀分布情况下激光的传播情况.结果显示,外磁场强度、正电子与负电子密度比值的增加以及等离子体密度非均匀性会导致强烈的调制不稳定性和成丝不稳定性,并发现许多丰富的非线性现象.

1 控制方程

研究左旋圆偏振激光在缓变的非均匀磁化EPI等离子体中的传播.外加磁场沿z轴方向,即有B0=B0z.正电子和负电子在径向γ均匀分布,沿纵向z非均匀分布.设该系统满足局域平衡条件,则

ne0(z)=αnp0(z)+(1-α)ni0(z)

(1)

其中,ne0(z),np0(z)和ni0(z)分别是平衡状态时电子、正电子、离子的密度.比值α=np0(0)/ne0(0)为z=0处正电子和负电子的密度比.电子、正电子、离子分别用下标e,p和i表示.

描述激光与磁化EPI等离子体相互作用的波动方程,泊松方程和电子、正电子动量方程为

其中,A和φ分别为矢势和标势(满足库仑规范·A=0);ne,np;ve,vp;pe;pp分别为电子、正电子的数密度、速度和动量.为相对论因子;ωc=eB0/m0c为回旋频率；e为基本电荷量；c为光速；m0为电子静止质量；ω0为左旋圆偏振波的频率；kB为玻尔兹曼常数；Tj为温度.对于激光包络慢变部分,所考虑的磁化等离子体中离子的响应时间远大于电子的响应时间,因此不考虑离子的动力学特征(vi=0),即离子仅提供中和背景.方程(1)～(4)已用以下特征量进行了无量纲化:

其中ωe=[4πe2ne0(0)/m0]1/2为等离子体电子振荡频率.

设沿外加磁场方向传播的左旋圆偏振波(频率为ω0, 波数为k0)的无量纲化矢势和电子与正电子动量分别为

其中c.c.表示复共轭项,且a,pj(j=e,p)作为慢变振幅和慢变动量分别满足

由(7)式得

(9)

考虑相对论效应,电子和正电子的洛伦兹因子可近似为

(10)

线性化方程(2)得到色散关系

(11)

对(8)式进行泰勒展开后代入(3)式,利用准中性近似式(1),并假设电子与正电子在初始时刻具有相同分布,即ne0(z)=np0(z)=n0(z),得

考虑到弱相对论激光强度满足|A2|≪1,可由(7),(10)式得如下近似式

把(5),(9)和(11)式代入方程(2),得

由于物理量在慢变时间尺度上考虑,所以引入新的坐标t=τω0和r=r′+vgτω0，其中r′=(ξ⊥,ζ);ξ⊥为径向空间坐标;ζ为传播方向坐标;群速度为vg=k0/ω0,则nj(z)～nj(ζ),n0(z)～n0(ζ).因此(19)式可化为

(20)

其中

n0(ζ)项表征等离子体的非均匀性.当n0(ζ)=1时,表示等离子体密度纵向均匀.若为未磁化等离子体,即η=0时,方程(20)可变为文献[9]中的方程(15).

2 调制不稳定性

激光的调制不稳定性可用下面方法研究.令a=(a0+a1)eiδτ,其中a0为一个实常数,a1指扰动振幅(|a|2≪a0),δ为非线性相互作用导致的频移.代入方程(20)得

其中

设a1=(X+iY)exp[i(K·r′-Ωτ)],其中X和Y为实数;Ω=Ω(K,ζ)为低频调制频率.线性化方程(20),得调制不稳定性增长率

(22)

其中

图1(a-b)给出了密度均匀情况,即n0(ζ)=1下调制不稳定性增长率Γ随波数Κ的变化,其中a0=0.1,ωe/ωc=2,βe=βp=100.从图1a可以看出,在正电子与负电子

分别为0.4597,0.4521,0.4344,0.4278.

由图1可以看出,当正电子与负电子密度比值α一定时，调制不稳定性增长率Γ随着外磁场强度

图1 等离子体密度均匀分布情形下调制不稳定性 增长率Γ随波数K的变化

参数η的增加而增加,而当外磁场强度参数η不变时，调制不稳定性增长率Γ也随正电子与负电子密度比值α的增加而增加.对于调制不稳定性随着正电子相对数目的增加而增加,从物理角度可以用有质动力的影响来解释.高频激光和等离子体的相互作用中出现有质动力,带电粒子受到的有质动力的方向沿场能密度极少的方向,而且与粒子电荷的符号无关,力的大小与粒子的质量成反比.所以,在EPI三组分等离子体中,离子的质量相比正负电子的质量很大,受到的有质动力可以忽略,虽然正电子和负电子由于电荷符号相反,但受到的有质动力的大小和方向相同.在EI两组分等离子体中,当激光的振幅取某些较大值时,有质动力会作用在负电子上,将负电子推出强场区域,导致电荷分离,形成双极电场.该电场阻止负电子向外运动,最后电子受到的电场力和有质动力平衡.但是,当正电子也存在时,正电子和负电子同时受到相同的力,同时被推出强场区域,双极电场就被大大的减弱.更多的正负电子被有质动力推出强场区域.所以,正电子成分增加时,系统的调制不稳定性越来越强.另外，外磁场通过改变等离子体中电子和正电子的相对论质量，加强了激光束聚集和调制机制，从而等离子体的磁化导致调制不稳定性的增加.

图2给出了两种非均匀情况下调制不稳定增长率Γ随波数K和传播方向ζ的变化,其中参数a0,ωe/ωc,βe,βp的取值与图1相同.图2a-d中考虑密度沿ζ轴线性变化,即n0(ζ)=1+bζ,其中b=-0.02;图2e-h中考虑密度沿ζ轴呈高斯分布,即n0(ζ)=exp(-ζ2/Lζ),其中Lζ=16π,为下节数值模拟时取的纵向空间长度.通过比较图2a-b,e-f,可以明显看到外磁场的存在会导致调制不稳定性的增强;同时通过比较图2c-d,g-h,可以看到

a-bα=0.5;c-dη=0.4;e-fα=0.5;g-hη=0.4.

图2 等离子体密度非均匀分布情形下调制不稳定 增长率Γ随波数K和ζ的变化

Fig 2 Modulational instability growth rateΓversus wave numberKandζfor the inhomogeneous distribution of plasma density

正电子成分的增加也会导致调制不稳定性的增强.另外,由图2可以看出等离子体密度的非均匀性会影响调制不稳定性的发展,而且在线性分布的高密度区域以及指数分布的高密度区域(ζ=0)附近调制不稳定性的发展更厉害,增长更快.

3 非线性动力学演化

为进一步研究外磁场和密度的非均匀性对激光束传播的影响,对方程(20)采用文献[9]中的数值方法进行非线性动力学演化.假设系统沿外磁场方向具有轴对称性，激光的初始状态为一高斯包络

图3给出了在密度均匀等离子体(n0(ζ)=1)中,激光振幅a随时间的演化.从图3a的数值演化结果可以看出,在正电子与负电子密度比值α给定时, 随着外磁场强度参数Γ的增加, 激光束出现自聚焦、局域化等类似非线性结构的时刻提前,且现象更为明显,并出现更复杂的激光成丝现象,这与图1a中的结论一致，即当正电子与负电子密度比值α一定时，调制不稳定性增长率Γ随着外磁场强度参数η的增加而增加.同样,由图1b得出当外磁场强度参数η不变时，调制不稳定性增长率Γ也随正电子与负电子密度比值α的增加而增加,图3b的数值演化结果也说明了这一点.从图3b可以看出,在外磁场强度参数η给定时,随着正电子与负电子密度比值α的增加,激光束出现自聚焦、局域化、成丝等类似非线性结构的时刻也提前，且非线性现象也更加剧烈.

aα=0.5,从上到下η的值分别为0,0.3,0.4;bη=0.4,从上到下α的值分别为0.3,0.5,0.75.

图3 等离子体密度均匀分布情形下激光振幅 随时间的演化

Fig 3 The laser amplitude scale at different timesτfor the homogeneous distribution of plasma density

图4与图5分别给出了在密度沿轴向线性变化(n0(ζ)=1+bζ,b=-0.02)和密度呈高斯分布的等离子体(n0(ζ)=exp(-ζ2/Lζ),Lζ=16π中,激光振幅a随时间的演化.从图4和图5可以看出,与等离子体密度均匀分布情形一致，当等离子体密度非均匀分布时,激光束调制不稳定的发展也是随着外磁场强度参数η和正电子与负电子密度比值α的增加而增加,即随着外磁场强度参数η和正电子与负电子密度比值α的增加,激光束发生自聚焦、局域化、破裂成丝以及激光束呈周期性聚焦和分裂等非线性现象发生的时刻提前而且更明显.但同时从图4和图5也可以看出,等离子体密度的非均匀性以及非均匀性的分布对激光调制不稳定性的发展具有重要的影响,高密度度区域部分的调制不稳定发展更厉害,增长更快.在图4和图5中,激光束发生自聚焦、局域化、破裂成丝以及激光束呈周期性聚焦和分裂等非线性现象的地方一开始主要集中在ζ=0附近,即发生在等离子体的高密度区域,然后由高密度区域逐渐向低密度区域发展.上述数值模拟结果与图2的结论一致.

aα=0.5,从上到下η的值分别为0,0.3,0.4;bη=0.4,从上到下α的值分别为0.3,0.5,0.75.

图4 等离子体密度线性变化下激光振幅 随时间的演化

Fig 4 The laser amplitude scale at different timesτfor a linear distribution of the plasma density

aα=0.5,从上到下η的值分别为0,0.3,0.4;bη=0.4,从上到下α的值分别为0.3,0.5,0.75.

图5 等离子体密度高斯颁布下激光振幅 随时间的演化

Fig 5 The laser amplitudeain log10scale at different timesτfor a Gaussian distribution of the plasma density

4 结束语

考虑相对论效应和有质动力效应,利用相对论双流体模型研究了左旋圆偏振激光在非均匀磁化EPI等离子体中的传播,发现可用包含磁场效应和密度非均匀效应的修正非线性薛定谔方程来描述这一过程.对修正的非线性薛定谔方程研究了调制不稳定性现象,发现外磁场强度,正电子与负电子密度比值和等离子体密度的非均匀性对激光在等离子体中的传播均具有重要影响.最后采用数值方法对激光的传播进行了非线性动力学演化,发现在等离子体密度均匀及非均匀分布两种情形下,外磁场强度和正电子与负电子密度比值的增强,均会加强激光聚焦和成丝机制,导致其更为强烈的调制不稳定性和成丝不稳定性,引起激光束与等离子体之间强烈的非线性相互作用,并在此过程中呈现出许多丰富的非线性现象.同时等离子体密度的非均匀性及非均匀性的分布也会影响调制不稳定性的发展,高密度区域调制不稳定性的发展更厉害,增长更快,使在高密度区域发生激光束自聚焦、局域化、破裂成丝以及激光束呈周期性聚焦和分裂等非线性现象发生的时刻提前而且更明显.

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