函数的不等式

蔺友江

(重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067)

1 主要结论

(1)

(2)

(3)

其中

(4)

在(3)式中，当p→∞时，有

(5)

(6)

其中Γ*pK是K的Lp质心体的极体.利用度规函数Γ*pK可定义为

(7)

由于

(8)

推论1[11]如果K是Rn中一个关于原点的星体，那么对于1≤p≤∞，有

V(K)V(Γ*pK)≤V2(Bn).

(9)

2 主要结论的证明

(10)

其中y1(yn)表示关于yn的函数.

关于Sf的Lp形式的Steiner对称化，对于固定的xn则有

(14)

根据(14)式和Prekopa-Leindler不等式，结合Lpf的偶性可得

因此，根据Fubini定理可知原命题成立. 】

(15)

证明根据球面坐标变换可得

(16)

其中dω表示单位球面上的Hausdorff测度.

因此

(17)

对于r∈[0,∞)，令f1(r)=exp(-h(r))rn-1,f2(r)=exp(-Lph(r))rn-1,f3(r)=exp(-r2/2)rn-1. 再令gi(t)=fi(et)et,i=1,2,3,那么

并且对于任意的s,t∈R，有

g1(s)g2(t)≤(g3(s/2+t/2))2.

根据Prekopa-Leindler不等式可得

根据(17)式可得

其中ωn=nπn/2/Γ(1+n/2)是欧式单位球的表面积. 】

定理1的证明根据引理1和Steiner对称化的积分不变性，可得

(19)

】

:

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