多线性奇异积分算子在广义Morrey空间上的精确估计

周 疆，胡 喜

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

0 引言

其中

其中

设T是一个定义在m重Schwartz空间积S(Rn)上且取值于缓增分布空间S′(Rn)的多线性算子.算子T的分布核为(Rn)m+1去除对角线上元素有定义的函数K，使得

(1)

当y0,y1,…,ym不全等时，

关于上述多重奇异积分已经有很多平行于经典的单线性理论的结果[9-13].事实上，对于这些算子，Grafakos等[9]得到：若对某些1

(2)

(3)

其中Q是包含于Rn的方体，Q表示Rn中所有方体构成的集族，称上式右边为多Morrey范数.文献[14]通过具体例子说明多Morrey范数严格小于Morrey范数的乘积.

这样分环处理可以得到更精确的估计，详细的处理过程见后续证明.

下面先介绍一些相关的概念，并引入广义多范数Morrey空间的定义.

定义1[15]设Ψ=Ψ(r)是(0,∞)上正的增长函数，且对任意r>0满足倍测度条件：Ψ(2r)≤DΨ(r)，这里D≥1是与r无关的常数.对于1≤q<∞，广义Morrey空间Lq,Ψ(Rn)定义为

其中

对于1≤q<∞，弱广义Morrey空间WLq,Ψ(Rn)定义为

其中

其中

弱广义Morrey空间WLq,Φ(Rn)定义为

其中

值得注意的是：Φ与Ψ有相同的性质，即Φ=Φ(r)是(0,∞)上正的增长函数，且对任意r>0满足倍测度条件：Φ(2r)≤DΦ(r)，这里D≥1是与r无关的常数.

(4)

式中f1,…,fm是定义在Rn上的可测函数.

其中

记aB(a>0)表示与B同中心边长伸缩a倍的球体；C表示与主要指标无关的常数，每次出现时其值可能并不相同；对于Rn中的可测子集E，用χE表示E的特征函数.

1 主要定理及其证明

不失一般性，仅对T为2-CZO的情形叙述并证明.

证明利用Minkowski不等式，有

首先估计I1，利用多线性奇异积分算子的有界性，有

再由Φ的倍测度条件可得

下面估计I2，此时|x0-y1|+|x0-y2|≥4r.由于x∈B(x0,r)，所以2|x-x0| <2r,再由三角不等式可知

进而有

再由Φ的倍测度性可得

综合I1和I2的估计可知

对上式左边取上确界即可证得结论. 】

当q1=q2=1时，有如下的弱性精确估计.

证明利用分布函数的性质，有

首先估计I1，利用多线性奇异积分算子的弱有界性，有

再由Φ的倍测度性可得

下面估计I2，利用切比雪夫不等式，有

再由Φ的倍测度性可得

综合I1和I2的估计可知

对上式左边取上确界即可证得结论. 】

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