立足能力考查 彰显函数思想 蕴含特色文化*——北京、浙江近3年数学高考压轴题(理)比较分析

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(台州市第一中学,浙江 台州 318000)

2015—2017年北京市和浙江省的数学高考理科压轴题(其中2017年浙江省不分文理科，以下简称北京卷和浙江卷)都是数列综合题.试题的设计具有一定的层次性，让不同能力水平的学生有充分展示实力的机会，同时为满足不同层次的高校选才提供依据.两地试题各有特色，差异明显，笔者就近3年北京卷和浙江卷的6道压轴题进行分析,并对比北师大版和人教版两种教材的特点，谈谈个人的一些感想.

1 回顾试题

1.1 北京卷注重考查阅读理解能力

北京卷3道题都是信息题，文字信息量比较大，需要考生认真审题，筛选出重要信息.试题注重考查学生对新定义的阅读理解能力、知识迁移能力.

2016年北京卷第20题的第2)小题要证G(A)≠φ ，只需在G(A)中找到一个元素.如何找？关键是对G(A)的理解，G(A)的元素特征为“若i∈G(A),则对一切自然数nan”.由条件知,数列A中至少存在一项ak使得ak>a1，可取离首项最近的一项所对应的元素.

2015年北京卷第20题的第2)小题,只要将“若集合M中存在一个元素是3的倍数，求证M中所有元素都是3的倍数”转译为“k∈N*,若ak是3的倍数，则ak+1都是3的倍数;反之也成立”，这样拉近了结论与条件之间的距离.

这3道题都是在新背景下给出新定义，需要解题者耐心细致阅读题目中抽象符号的表述，从中获取有用信息，并进行加工处理，获得解题方向.试题侧重考查阅读理解能力、严谨的逻辑推理能力及对新定义的感知力和敏感度.解法上没有高大上的技巧，正如李邦河院士所说：“数学玩概念，不是纯粹的技巧.”北京近3年的试题文字虽然“长”,但试题质朴厚实，思维简约,充满灵性.

1.2 浙江卷注重考查式子变换能力

浙江卷与北京卷相比，题中出现的文字和符号明显减少，如2016年和2017年每道题只有10个文字，2015年也只有19个文字.试题叙述简约，通俗易懂，数学符号及式子结构都比较熟悉，不需要考生在理解题意上花较多时间.命题意图让学生较快进入解决问题的轨道上，重视对考生解题策略的检测，尤其注重在式子变换上考查数学思维能力.

然后裂项求和.每次变换都是对式子进行一次“装饰”，使式子变得更美妙、更有用.此题的思维灵活性体现在不等式放缩上——何时放、何处放、怎样放.

2016年浙江卷第22题的第1)小题,通过观察

|an|≥2n-1(|a1|-2)，

2017年浙江卷第22题的第1)小题，移项得

xn-xn+1=ln(1+xn+1),

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤2xn+1,

和

这3道题的解题方法关键在式子的适当变形.常用的变换手段有移项、拆项、添项、取倒数，或适当放缩让式子显露出成等差和等比，或利用解不等式组和方程思想进行消元.每一步变换都需要考生对式子的结构特征具有较强的洞察力和感知力，变换方法具有一定的灵活性和技巧性,以此检测考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

1.3 注重考查函数思想活用

数列是一种特殊的函数，考数列绕不过考函数.北京卷侧重函数思想的考查，浙江卷侧重函数性质应用的考查.

如2017年北京卷第20题的第2)小题，在确定b1-na1+(k-1)(d1-nd2)(其中k=1,2,3,…,n)的最大值时，首先考虑自变量是哪个，再探究单调性情况.当d1-nd2<0时，cn=b1-na1；当d1-nd2≥0时，

cn=b1-na1+(n-1)(d1-nd2).

又如2016年北京卷第20题的第3)小题是研究G(A)元素个数与aN-a1的大小关系.对于aN>a1的情形,如何将G(A)中元素个数与数列A中各项建立联系呢?将G(A)中各元素按n1

2015年北京卷第20题研究集合M的元素特征及个数.若从函数角度审视，{an}的递推式是一个分段函数，具有“返回”的特征,从第二项起各项是2的倍数，从第3项起是4的倍数,M是函数的值域,且M随首项的变化而变化.

北京卷这3道题强调了函数本质“数集之间的对应”及数列与函数之间关系的应用.

2017年浙江卷第22题第2)小题的结论转化为只证“4xn+1-[xn+1+ln(1+xn+1)](2+xn+1)≤0”，此时构造函数，然后利用导数知识得到解决.浙江卷强调的是函数性质的灵活应用.

纵观北京市和浙江省近3年的数学高考压轴题，都以数列为背景.北京卷把数列与函数、集合综合在一起，试题以知识横向拓展，运算量不大，重在考查阅读理解能力、函数思想灵活运用能力.每年题型新颖，没有现成的解题套路，需要独立思考，打破了套路化.浙江卷的试题都以递推形式给出数列，研究数列相邻两项的大小关系，或探究an,Sn的变化范围，将数列与函数、不等式知识交织在一起,检测函数性质的灵活运用能力，通过式子的变换技巧，考查逻辑推理能力和高层次理性思维.北京卷、浙江卷的第3)小题或第2)小题都以前面小题作为铺垫，各个小题环环相扣，层层递进,“观察—探究—发现—验证”解题思维贯穿在每个问题解决过程之中，充分体现了高考把数学思维方法的考查作为重要任务.

2 比较教材

目前北京市和浙江省的普通高中使用的是人教版教材，在编写数列这章内容上，北师大版教材与人教版教材(以下简称为“北师大版”和“人教版”)存在一定差异：

1)对于章头言，北师大版通过介绍科学史上一个真实故事，将一列数与天文知识联系在一起，从它们的数量关系中，提出本章要学习等差和等比数列两种模型，尤其是对第一个数列各项进行适当调整，得到新数列，发现其结果与大自然运动规律联系十分紧密，更能激发学生探索各种数量关系的兴趣.人教版在大自然植物和日常生活中利息购房贷款等事例中提出本章将要学习的内容.

2)对于概念引入，北师大版通过6个事例抽象出数列概念，而人教版通过三角形点阵和正方形点阵引出数列概念.北师大版所涉及的知识面明显比人教版更广阔.

3)在章节内容安排上,北师大版单独设置了一节：数列的函数特性，给出递增数列、递减数列、常数数列规范的定义，并用黑体字呈现，强调数列与函数的关系，这表明北师大版注重数学表达能力的培养.这些要求在北京卷3道试题中都有充分体现.而人教版没有这一节，不过数列的递推公式在例题、习题、复习参考题中都有出现，而且教材中将递推数列名称特地用蓝字进行标注.北师大版不仅没有出现递推数列的名称，而且在例题或习题中没有一道题目涉及递推数列.从浙江卷3道试题中也不难看出浙江省数学高考注重递推数列相关内容的考查.

4)等差数列概念，两种教材分别从学生比较熟悉的3个或4个事例中抽象概括出定义，通过归纳猜想得出通项公式.对于通项公式与一次函数关系的处理，两种教材存在差异，北师大版专门设置较长篇幅从函数角度研究等差数列，提到公差是直线的斜率，以及两点确定直线和两项确定等差数列的联系,突出了数列与函数的各种关系.人教版只是在探究栏目中通过数列{an}(其中an=3n-5),让学生探究与一次函数y=3x-5的关系，并由此推广到一般情况.

5)对于等差数列前n项求和公式的推导，两种教材的处理方法基本相同，而对Sn的性质要求存在一定差异，如对an=Sn-Sn-1(其中n≥2)，北师大版仅在习题1.2B组的第5题提出“由Sn=n2+1，求{an}的通项”.而人教版不仅安排了两个例题研究等差数列前n项和Sn的性质，并在探究栏目设置问题“探究Sn=pn2+qn+r(其中p≠0)与等差数列的关系”，并在等比数列和章小结中也都提到an与Sn之间的关系，这表明人教版比较重视数列性质的纵向深度探究，逻辑推理上偏重于代数式之间的变换.这些思想在浙江卷中有明显的体现.

6)在章尾处理方式上，两种教材也存在一定差别，人教版分为两个部分进行小结，首先以框图形式直接给出本章的知识结构，然后以问题形式进行回顾与思考本章的主要内容和重要的思想方法，重视以问题为导向的学习方式，培养学生解决问题的能力.而北师大版把本章小结的建议提供给学生，先告知本章的学习要求，然后列出5点复习建议，鼓励学生自行完成,这表明北师大版比较重视学生阅读思维能力的培养，倡导自我学习和合作交流相结合.分析表明，北京卷这3道题比较紧扣北师大版，浙江卷这3道题比较贴近人教版.同时，北京卷的试题散发出浓厚的政治文化，看得深、主张多、想得远,浙江卷的试题散发出浓厚的海洋文化，体现了“变得快、胆子大、想得活”的地方文化气息.

3 教学建议

3.1 重视数列与函数融合

由以上分析知，这6道压轴题虽然以数列形式出现，但在处理问题时函数思想贯穿始终.从考生答题情况来看，暴露出学生函数思想与数列的融合能力较薄弱.在数列教学中，不仅在数列概念、等差和等比的通项公式教学时要联系函数，函数思想还应贯穿在数列教学的始终.如等差数列前n项和公式的教学，多数教师认为数列求和就是计算，把教学重点放在探索运算技巧上，忽视了函数思想的作用.其实求和也可视为求“新”数列的通项公式，可以用求通项公式的方法进行思考，使用归纳猜想探究其和为二次函数形式，也可以从数形结合思想入手.又如一些不太常规数列的通项公式虽然不易求，或不存在，但它可用递推公式的形式给出，这样可以从函数的角度去分析、研究数列有关问题.函数思想是数列的灵魂，是学习数列的指路明灯，唤醒运用函数思想的直觉，把数列根植于函数思想，让数列如鱼得水，别让函数成为一种摆设.

3.2 重视阅读与问题融合

阅读能力、思考能力和表达能力是学生的三大核心能力.反观当下的数学教学，脱离教材现象比较普遍，学生不用数学教科书是常事.主要原因是：上课时教师没要求学生使用教科书，概念、定理由教师在黑板上抄一下(或放PPT)，学生看着、摘着，公式由教师推一遍，结论学生看着、背着，接下去的所有功夫就在题目上.学生手中只有练习册、复习讲义.即使少数学生读教材，也只是停留在对本内容的大概了解上，没有全面去理解，更不会查阅这块内容的历史发展过程，学生不仅对知识缺少整体的认识和深度的理解，而且阅读理解能力被削弱.面对类似北京卷这样的试题，好多考生存在畏缩心理，或因读不懂题意就直接放弃.数学的每个知识都有其产生的背景、形成和发展的过程.但在教材中表面上看处于一个静态,而其背后暗流涌动，蕴藏着人类文明和智慧.

如何培养学生的数学阅读理解能力？主编刘绍学先生说：“问题使我们的学习更主动、更生动、更富探索性.要善于提问,学会提问,凡事问个为什么.”因此,学习概念要会问“为什么要学习这个知识，它从哪里来，有无与它类似或相联系的知识”;学习性质、定理要会问“条件和结论是什么，结论和证法怎样发现的，有无其他证法，能否推广”;学习例题要会问“为什么要这样做，怎样想到这样做，有无更好的方法，哪些条件可以改变，结论会怎样改变”;做习题要会问“已知了什么，要我做什么，需要什么，还缺什么，有无其他做法，与熟悉的习题有何区别和联系”;章小结要会问“整章的知识结构怎样，有哪些主要的数学思想方法，与各章有什么联系，本章哪些题目是值得难忘的”.

总之,教师通过精心地组织教学,让学生主动对知识进行延伸和拓展，通过提、读、查、议、辩等一系列活动，不断深入思辨，自己发现问题，寻找问题的答案.这样不仅实现学会“问”，学会“思”，学会“用”,更有利于培养学生的自学能力和创新精神.

3.3 重视高考与育人融合

高考是为高校选材育人提供重要依据之一，这6道题突出考查了数学思维能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题能力，这也是数学高考的重要任务之一.北京市和浙江省这3年都将数列作为高考压轴题，考生得分不易.当下教育被功利化对待,势必有一部分人高考时会放弃这道题，这样必然导致平时的教学轻视数列.对于少数数学优秀生，他们会花较多时间去做一定难度的数列综合题,如果高考试题的模式不改变，仅停留在式子变换技巧上，恐怕高考的指挥棒会对数列的教学产生误导作用.良好的数学教学不仅是要教给学生各种解题技巧，去获取高考好的分数，更重要的是帮助学生建立科学思维的准则和方法，以及培养逻辑分析问题的能力，让数学被多数人所理解、所熟悉，而不是被少数人所掌握、所享用.

数列在现实世界中无处不在，与人们的生活息息相关，并且数列又有悠久的发展历史,因此,数列教学必须做到高考与育人相融合.课堂上要增加时代气息的素材，渗透数学人文精神,让新课改的理念在课堂中落地生根.