丰富数学学习的“过程”意义培育数学核心素养

李雪梅

（电子科技大学附属实验小学，四川 成都 610051）

新课程改革以来，关注儿童数学学习的过程，已经成为普遍的共识。比如，重视知识产生的过程，把“数学史”融入数学课堂；重视知识获得的过程，倡导自主、合作、探究的学习方式；重视评价手段和形式的多样化，综合运用过程性评价和结果性评价等。

随着课程改革的深入和核心素养时代的到来，我们依然需要不断地丰富数学学习的“过程”意义，发掘“过程”价值，以便能更好地增强学习体验，提升学习能力，获得智慧启迪，培育数学核心素养，推动小学数学课堂教学改革。

一、彰显课程的“过程”意义，创建动态发展的数学课堂

课程是教学的载体。课程（curriculum）的本意是指“跑道”。把课程定位成“跑道”，那课程“只是被作为学生施展才华的一种最基本的物质载体，只是学生认识世界、增长知识、积累经验和提升境界的手段和工具”，这种意义上的课程，常常被固化为知识的、静态的、作为事实的文本。近年来，人们对课程的理解发生了很大变化，小威廉姆E.多尔在《后现代课程观》中提出：课程不再被视为固定的、先验的“跑道”，而成为达成个人转变的通道。[1]很显然，从“跑道”到“通道”，强调了课程的“过程”意义，也就是“更为强调跑步的过程和许多人一起跑步所形成的模式”，这种意义上的课程，是体验的、动态的、生成的、实践的，甚至还带有很强的个别化色彩，因为它更加看重“学生在这个澄清的世界里任性奔跑和呐喊，甚至可以享受理性的冲动和大胆的‘越轨’所带来的无限的惬意和快乐”。

彰显课程的“过程”意义，就需要创建动态发展的数学课堂，让学生在“看得见、摸得着、感觉得到”的“学习之旅”中获得知识，发展能力，培育素养，生成智慧。

以小学五年级“分数的意义”学习为例。小学中年级时，学生开始初步认识分数，所谓“初步认识”，就是能结合具体的图示、情境，知道把“一个东西”（如一个图形、一个物体、一个计量单位等）或“一些东西”（如6只兔子、2个西瓜等）平均分成若干份后，这样的1份或几份可以用分数来表示。这实际上是可以看成对“分数的意义”的一种具体的、直观的、朴素的理解。到了五年级学习“分数的意义”，就是能跳出具体的情境，从普遍意义的角度概括性地用一句话把所有分数表示的意思都说清楚（注：大多数教材里给出的定义是——把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数，叫作分数）。因此，教学“分数的意义”，重要的是要让学生经历从具体出发，经由抽象概括，抵达一般的过程。这一过程，是数学知识从简单到发展、再到完善的过程，也是人们由浅入深、由表及里地认识事物的一般过程。

如何来开展这样的过程教学呢？可以分五步走：

第一步：回到“具体”。利用三年级初步认识分数的基础，学生用自己的方式把某一个分数（比如“”）的意思表示出来。

第二步：初次“概括”。学生展示多种表示方式（如：一个长方形的、一根线段的、一块地的、6只兔子的）后，寻找这几个所表示意义的相同点（都“平均分成3份，表示1份”）和不同点（平均分的对象不一样），再尝试用一句话把所有的的意思都包含进去。由此引出：（1）为了表述的方便，所有被平均分的对象需要有一个共同的说法，这个说法就叫作单位“1”；（2）所有的的意义可以用一句话来概括，那就是：把单位“1”平均分成3份，表示这样的1份。

第三步：逐步“扩展”。联系的意义表述，的意义怎么概括？的意义怎么概括？由此引出：分母和分子不同，平均分的份数（分母）和表示的份数（分子）也不同，可以用“平均分成若干份”“这样的1份或几份”来概括。第四步：高度“抽象”。尝试用一句话把所有分数的意义都包含进去，这句话就是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数，叫作分数。第五步：扩展应用。应用分数的意义，解释“四（1）班有的同学会打乒乓球”“一节课的时间是小时”等具体语境中的分数含义，体会要说清楚一个分数的意义，只要说清楚“单位‘1’”“平均分的份数”“表示的份数”这三个要素。

上述学习过程，层层推进，步步深入，从特殊到一般，再从一般到具体，遵循了数学发展和儿童认知学习的基本规律，蕴含着“抽象——推理——模型”的数学基本思想，把原本简单的一句数学概念，演绎得风生水起。

从这样的角度看，关注课程的“过程”意义，最重要的是将“静态文本”转化为有层次、有梯度、鲜活而充满张力的“动态实践”，在“动态实践”（即多尔所说的“跑步过程”）中，认识、思考、疑惑、发现、惊喜、赞叹……连同原有的文本，甚至教师的语言、体态，学习的场景、氛围等，都有了“课程”的价值，成了“课程”不可分割的一部分。

毫无疑问，这是对课程意义的一种拓展，也是对学习意义的一次升华。

二、延展学习的“再创造”过程，创建意义生成的数学课堂

建构主义理论认为，学习不应被看成对教师授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构的活动，这样的活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，即“再创造”过程。郑毓信教授在《数学教育哲学》里提出：学生学习活动中的“再创造”的性质，是一种特殊的“意义赋予”，也就是使新的学习材料在学习者头脑中获得特定的意义，新的学习材料与主体已有的知识和经验之间建立实质性的、非任意的联系。[2]因此，衡量数学课堂和数学学习的一个重要尺度，就是“再创造”过程中生成学习的意义。课堂是一个立体而丰富的多面体，承载着多重意义，寻找、发现并努力彰显各种意义，不只是课堂教学的技术问题，更是教育艺术、教育智慧的体现。

以二年级学习“厘米”为例。“厘米”是在小学阶段接触到的第一个长度单位，从知识层面来看，知道1厘米有多长，能用厘米测量长度，这些要求都不难。然而，从学习“再创造”的视角来组织教学，那就需要在时间、空间、研究主题等方面延伸开来，“再创造”的过程越舒展，学习体验就会越强烈，认识就会越深刻。我们不妨做这样的设计：

第一步：品故事，生问题。上课开始，老师说：“很久、很久以前，数学还没有今天这样发达，人们在生活中经常会遇到一些问题”，然后呈现几幅漫画，大意是阿福要做新衣服，老裁缝在他身上用手比画，告诉小裁缝：“身长3拃”，小裁缝记下“身长3拃”，回到家用自己小手比画着：1拃、2拃、3拃，然后开始制作。等衣服套上身后，发现做小了，老裁缝用手一比画，就责怪起小裁缝：“告诉你身长3拃，怎么做成2拃呢？”小裁缝一脸茫然。到底出现什么问题了呢？

第二步：定标准，化疑难。学生经过讨论，明白了：因为测量的标准不一，导致结果出现了偏差。于是，统一计量长度的标准就成了必须解决的问题，就这样，“厘米”被创造出来了。用“厘米”这个标准去测量长度，就能得出统一的结果，老裁缝、小裁缝碰到的问题得到了解决。

第三步：遇麻烦，又生问。有了标准的“1厘米”，测量出现偏差的问题基本解决了，但是，1厘米长的小棒毕竟很短，用它一次又一次的测量稍长距离显得有些麻烦了，于是，新问题又冒出来了——能不能造出功能全面又便捷实用的测量工具呢？

第四步：造尺子，巧化解。人类发挥聪明才智，把标准的“1厘米”一个接着一个连起来，就造出一把长长的厘米尺。有了这把尺，从0端开始，一次就能量出稍长的距离是多少厘米；不从0开始（比如0刻度没有了的“断尺”），也可以测量，直接测量和巧妙测量中蕴含着不同的思维水平。

第五步：再追问，延思考。有了“厘米”这个长度单位，是不是就能很方便、很恰当地表达所有的长度呢？人们还创造出了哪些新的长度单位？创造过程中又遇到什么新问题？遇到问题后又想到什么好办法解决了一个个问题呢？这些疑问，把课内学习向课后延伸。

上述学习过程，不仅将长度单位的由来和发展巧妙地嵌入其中，更将数学发展进程中人类探索真理的“实践逻辑”充分表达，即：遇到问题，寻找办法，办法有了，原有的问题解决了，但是新问题又来了，于是，在不断的遇到问题、解决问题中，数学变得越来越丰富，越来越高级，人也变得越来越聪明。这样的课堂，学习的意义空间被充分打开。

诚然，课堂中可以生成的意义有很多，当你把学习看成一种生活时，课堂就有了生活意义，同伴交往、师生互动、共生发展等，都是这层意义很重要的元素；当你把数学看成是人类文明成果时，课堂就有了文化意义，人文思想、科学精神、艺术表现、美学价值等，成为这层意义需要关注的重点；当你把学习当作“做研究”时，方法的科学、路径的选择、思维的启迪等就成了课堂的关键……当然，数学学习不仅要有意义，还要有意思，既要“有营养”，还要“好吃”。小威廉姆E.多尔说：“学习成为意义创造过程之中的探险。”[3]用鲜活生动的学习形式来触摸意蕴深厚的数学，把“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”，那是十分美好而奇妙的课堂境界。

三、追求“过程”与“结果”的统一，创建“集智成慧”的数学课堂

很长一段时间以来，人们总是采用二元思维来看待“过程”与“结果”，于是，就有了“重结果，轻过程”“重过程，轻结果”“既要重过程，又要重结果”等说法。这里的“结果”，通常是指确定的结论、最终的答案、预期的目标，诸如概念、法则、公式、定理、规律等都可以看成是“确定的结论”；3+4=7，“7”就是“3+4”运算的结果。如果用动态的、发展的、联系的眼光来看，二者更应该是统一的、整体的，即：“过程”孕育着“结果”，“结果”就在“过程”中，“过程”就是一种“结果”，“结果”也是一种“过程”。

如何理解“过程”与“结果”的统一性呢？比如，学习三角形的面积计算时，学生都会记住三角形面积计算的公式：三角形的面积=底×高÷2或S=ah÷2。当他们运用这个公式计算时，似乎都将其看成一个静态的、固定的形式，而不需要去想其中的算理了。事实上，如果将三角形面积计算看成一个“过程”，那三角形面积计算就有了多样化的解释：（1）S=a（h÷2），即先把三角形转化成“等底半高”的平行四边形，再算这个平行四边形的面积；（2）S=（a÷2）h，即先三角形转化成“半底等高”的平行四边形，再算这个平行四边形的面积；（3）S=ah÷2，每个三角形都可以看成是某一个“等底等高”的平行四边形的一半，因此，“底×高”就是算三角形背后那个“隐身”的平行四边形面积，再“÷2”就得到平行四边形一半，即三角形面积了（如图1）。

图1

由此可以看出，“过程”与“结果”不仅具有统一性，甚至还具有同一性。当我们“用动态、发展、变化的眼光来把握数学知识、原理、方法等，定义它们，解释它们，这样，静态的数学知识就会变得丰富、生动、饱满起来，数学学习也随之变得鲜活，充满张力和魔力！”[4]

不仅如此，追求“过程”与“结果”的统一性，更为重要的是，我们的课堂要尽可能多地让学生开展研究性学习、探究性学习、自主性学习、合作性学习，在做中学，学中思，思中悟。学生的学习应该是向未知世界的“进发”，这样的过程越是曲折、多变，经历越是丰富，获得的体验就会越深刻，学习活动也就越充满玄妙和令人向往。当数学学习经常被“投放到不可预测的情境中解决问题”，成为一种未来生活“模拟”时，这样的课堂就具有了鲜明的“集智成慧”价值导向，不失为一种很好的课堂教学改革方向。

参考文献：

[1][3]多尔小威廉姆E.后现代课程观[M].王红宇，译.北京：教育科学出版社，2000：4，6.

[2]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001：361-363．

[4]袁红.赋予“平均分”以“过程”意义——以苏教版二上《认识平均数》教学片断为例[J].江苏教育，2016（57）：57-58.