基于范希尔理论的小学数学几何开放题思维评价

杨传冈

（盐城市第二小学，江苏 盐城 224005）

一、范希尔理论概述

在学生学习图形与几何的研究中，范希尔的几何思维水平体系是最有影响的理论之一。[1]

1.几何思维水平理论

荷兰著名学者范希尔的几何思维水平理论核心内容有两个：一是几何思维水平分的五个层次,二是与之相对应的五个教学阶段。其中几何思维的五个水平由低到高分别表示为层次0到层次4。具体地说，层次0是视觉（visuality）水平，学生只能借助图像获得一些基本概念，但无法厘清概念之间的相互关系；层次1是分析(analysis)水平，学生能根据概念解决简单问题，了解一些几何概念间的相互关系以及公式间的联系，能结合图形获得一些结论；层次2是非形式化的演绎（informaldeduction）水平，学生能从不同角度理解概念的意义，能根据图形或其他辅助材料进行推理和理解，从而发现并描述一些规律；层次3是形式化的演绎（formaldeduction）水平，学生能借助概念和性质进行推理和论证；层次4是严密性(rigor)的数学水平，学生能在数学知识系统中进行严密推理。他认为根据这五个层次标准可以诊断和评价学生的几何思维水平。

2.五个教学阶段理论

对应几何和思维的五个水平，范希尔提出了五个教学阶段：阶段1，学前咨询；阶段2，引导定向；阶段3，阐明；阶段4，自由定向；阶段5，整合。该理论认为，在第五个阶段结束时，新的思维水平就获得了。具体地说：阶段1，教师和学生进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题；阶段2，教师仔细安排活动顺序，使学生认识学习的方向，逐渐熟悉这一结构的特性；阶段3，通过前面的经验和教师最低程度的提示，学生明确了学习内容的意义，表达自己对内在结构的看法，开始形成学习的关系系统；阶段4，学生碰到多步作业或能用不同方式完成作业，在寻找方法和解决问题的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确；阶段5，学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化为一个新的思维领域。教师对学生的理解做一个全面评述，帮助学生完成这一过程，而不要轻易提出新的或不一致的观点。

3.几何思维水平特点

范希尔理论认为学生的几何思维水平特点有：（1）次序性，学生的几何思维水平必须循序渐进地发展；（2）进阶性，学生提升几何思维水平必须经过教师的教学，而不是随着年龄增长或心理成熟自然提升的；（3）内隐性及外显性，学生某个思维水平的内隐性质会成为下个水平的外显性质；（4）语言性，每个层次都有专门的阶段性语言符号；（5）适配性，如果学生思维和教师教学不在同一水平，教师就无法获得预期的教学效果；（6）跳跃性，学生的思维水平是一个“跳跃”的过程，而不是一个连续性过程。

二、范希尔理论具体运用

范希尔理论在几何评价上的应用主要包括两个方面：一是在每个思维水平上设计出相应的测试题；二是利用编制好的习题考查学生的思维水平。从这个意义上来说，范希尔理论是评测学生具体几何思维水平的一项重要工具，教师可以借助范希尔理论评价小学生几何开放题问题解决过程中所呈现出的思维水平。

所谓数学开放题，就是“条件开放或结论开放的问题。也就是说，问题的条件和结论之间不存在充分必然的联系，这样的问题称为数学开放题”。根据命题要素，数学开放题包括“条件开放题、策略开放题、结论开放题和综合开放题”[2]。教师恰当应用范希尔理论评价小学生的几何思维学习水平，能有效改进“图形与几何”领域的教学，更合理地推动学生几何思维水平发展。

1.条件开放题中范希尔理论的思维评价

条件开放题就是有多余条件或条件不全的几何开放题。条件开放题需要学生通过观察、分析和联想等方法处理题目所提供的信息，梳理、归并、分析有用信息，及时发现干扰信息或欠缺信息，从而排除干扰或补全条件解决问题。

所谓条件不全型开放题，就是少条件的几何开放题。这种开放题因为缺条件，所以需要学生自主补充条件才能顺利解决。从学生根据问题情境所补充的不同条件，可以推断该生几何思维水平所处的具体层次。

【案例1】一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高1厘米，（ ）它的表面积增加多少平方厘米？

层次0：学生认识长方体，但不知道怎样才能增加长方体的表面积，无法补充条件。

层次1：补充问题“把长方体切开”。（学生能想到把长方体切开后表面积会增加，但根据补充的信息无法计算结果。）

层次2：补充问题“把长方体切成2个相同的小长方体”。（学生对长方体图形特征比较熟悉，想到切开长方体后表面积会增加，能根据信息按横切、竖切、纵切进行简单计算。）

层次3：补充问题“把长方体切成3个相同的小长方体”。（多切下一个小长方体，表面积增加更多，计算面积的方法复杂些，思维水平也高些。）

层次4：补充问题“把长方体切成4个(或6个、8个……）相同的小长方体”。（学生知道把长方体横着切开、竖着切开或纵着切开后，表面积都会增加，并能按照横切、竖切、纵切和既横切又竖切等不同情况分别计算增加的面积，思维无疑复杂多了，层次也更高。）

几何条件多余型开放题就是问题中条件太多，需要学生根据问题灵活选择合适条件解决问题。这种开放题能有效评价学生的判断能力、选择能力和解决问题的能力。

【案例2】桌上有四种规格的长方形、正方形硬纸片各若干张：（1）长6厘米，宽4厘米；（2）长6厘米，宽5厘米；（3）长5厘米，宽4厘米；（4）边长4厘米。如果要从中选6张硬纸片粘贴成一个长方体或正方体，可以怎样选？纸盒的表面积是多少平方厘米？（粘贴处材料忽略不计）

层次0：认识长方体和正方体，知道这些硬纸片能粘贴成长方体或正方体，但不知道怎么选，更不知道具体的粘贴方法。

层次1：能根据正方体特征选择6张边长4厘米的正方形纸片，粘贴成正方体，并能根据信息进行简单计算。（6张正方形纸片相对容易选择，正方体表面积也容易计算。）

层次2：能根据长方体特征选择6张长方形纸片，6张分成3组，每组2张相同的硬纸片，粘贴成长方体，并用不同方法计算出它们的表面积。（选择长方形要根据长方体特征选择，计算表面积也有不同方法，思维水平稍微复杂些。）

层次3：能根据长方体特征选择2张正方形纸片和4张长5厘米、宽4厘米（或4张长6厘米、宽4厘米）的长方形纸片，粘贴成长方体，并用不同方法计算出它们的表面积。（这两种长方体都有2个相对面是正方形，选择时要保证长方形和正方形匹配；计算表面积时，不同的计算方法能体现学生不同的思维水平。）

层次4：能灵活选择6张纸片，把各种情况都考虑全面，并能用不同方法计算出它们的表面积：（1）12条棱分3组，每组4条棱相等的长方体，即2张长6厘米、宽4厘米的长方形纸片，2张长6厘米、宽5厘米的长方形纸片和2张长5厘米、宽4厘米的长方形纸片；（2）12条棱中有8条棱相等，即4张长6厘米、宽4厘米的长方形纸片，2张边长4厘米的正方形纸片或4张长5厘米宽4厘米的长方形纸片和2张边长4厘米的正方形纸片；（3）12条棱都相等，即6张边长4厘米的正方形纸片。（能分类选出各种符合要求的纸片，能计算甚至用最优化方法计算表面积，无疑代表了小学生最高的思维水平。）

2.结论开放题中范希尔理论的思维评价

结论开放题就是条件全，学生根据习题信息获得不同结论的几何开放题，也就是结论不确定的数学问题。用结论开放题评价学生的思维，能有效区分他们的观察、比较、分析、综合、猜想、归纳或类比等思维水平，从而评判学生思维的深度和广度，思维的发散和聚敛。

【案例3】拿一个正方体纸盒，沿着一些棱剪开，它的展开图是怎样的？

层次0：学生认识正方体，但对一个正方体纸盒的棱按照什么样的次序顺序剪开无从下手，也就无法看到最终的表面展开图。

层次1：学生根据正方体特征沿棱剪开，获得“141”型展开图（第一排一个正方形，第二排四个正方形，第三排一个正方形，其中第一和第三排的正方形位置可以任意调整，参见图1）中的一个或几个。（这种类型的展开图比较多，是学生最容易剪开后看到的展开图，有的看似不属于某类型，但旋转一下就是其中的一种了。）

图1

层次2：学生根据正方体特征沿棱剪开，不但能获得“141”型展开图，而且能获得“231”型展开图中的一种或几种（第一排两个，第二排三个，第三排一个，其中第三排的一个正方形位置可以调整，参见图2）。（这种展开图相对多些，也是学生剪开后容易看到的。）

图2

层次3：学生根据正方体特征沿棱剪开，不但能获得“141”型展开图，而且能获得“231”型展开图，还能获得“222”型（每排都是两个正方形，但它们的位置错开，参见图3）展开图。（“222”型展开图是学生剪开后很少看到的，代表了学生的较高思维水平。）

层次4：学生根据正方体特征沿棱剪开，除了能获得“141”“231”和“222”型展开图，还能获得“33”型（两排都是三个正方形，但位置错开，参见图4）展开图。（这种展开图是学生剪开后几乎看不到的，代表了学生思维的最高水平。）

图3

图4

3.策略开放题中范希尔理论的思维评价

策略开放题就是从不同角度思考同一个问题，用不同策略解决问题，结果殊途同归的几何开放题。解决策略开放题时，学生要变换思维角度，用不同策略解决问题。这类问题解决过程有利于评价学生思维的广阔性、灵活性、深刻性和创造性。

【案例4】王大爷要用16根1米长的栅栏靠墙围一块长方形菜地。他可以怎样围？

层次0：认识长方形，知道长方形特征，但无法按要求围出长方形。

层次1：知道长方形特征，能用摆小棒的策略围出长方形中的一种或几种。（操作最容易，也是学生最喜欢的策略。）

层次2：知道长方形特征，能用画图策略画出图5长方形中的一种或几种。（画图相对操作而言，比较抽象，说明学生思维水平的提高。）

图5

层次3：知道长方形特征，能用列表策略解决问题（如表1）。（列举相对画图抽象程度更高，而且长和宽是相对而言的，需要学生厘清长方形两条边的关系，并且有序列举。）

表1

层次四：知道长方形特征，能用一一列举的策略找出符合要求的长方形的长和宽：1,14；2,12；3,10；4,8；5,6；6,4或7,2。（一一列举更抽象，需要学生有序，不重复，不遗漏。）

4.综合开放题的范希尔理论评价

综合开放题就是学生根据问题情境，灵活应用数学学科知识或其他学科知识解决问题的几何开放题。这种开放题不受单一知识的束缚，需要学生根据已有知识经验、生活经验和数学活动经验等综合应用所学过的知识和形成的技能发现解决问题的最佳途径。应用范希尔理论有助于评价学生全面考虑问题、综合应用知识的思维水平。

【案例5】如何测量一团橡皮泥的体积？

层次0：知道体积的意义，知道橡皮泥有体积，但不知道如何进行测量。

层次1：知道橡皮泥有体积，能把橡皮泥压成长方体或正方体，然后测出长、宽、高或棱长，并根据体积公式计算出体积。（一团橡皮泥是不规则物体。压成长方体或正方体是把不规则物体转化成规则物体的体积进行测量和计算，属于常规思维。）

层次2：在量杯中倒入一些水（保证橡皮泥放进被淹没）后，记下水面的刻度，然后把橡皮泥放进量杯（水不溢出），看水面升高后的刻度，根据两次水面的刻度差计算橡皮泥的体积。（水不放满，把橡皮泥放入水中，计算水面升高部分的体积体现了学生的正向思维。）

层次3：把橡皮泥放进一个量杯中，然后倒入一些水，当水正好淹没橡皮泥就停止倒水，记下水面的刻度，然后取出橡皮泥，记录下水面下降后的刻度，先算出两次水面的刻度差再根据圆柱体积计算公式算出下降水的体积，也就是橡皮泥的体积。（水不放满，把橡皮泥从水中取出，计算水面下降部分的体积，展现了学生较好的逆向思维。）

层次4：先在一个水槽中放一个玻璃杯，接着在玻璃杯中倒满水，然后把橡皮泥放入玻璃杯中，水会溢出，最后把溢出的水倒入量杯中，就得到水的体积，也就是橡皮泥的体积。（把橡皮泥的体积转化为溢出水的体积，展现了小学生的最高思维水平。）

三、范希尔理论运用反思

1.借力打力，改进教学设计

大卫·奥苏贝尔（DavidAusubel）曾说：“如果我不得不把教育心理学的所有内容提炼成一条原理的话，我会说‘影响学生学习的唯一最重要的因素是学习者已经知道了什么。要先探明这一点，然后再进行相应的教学。’”从这个意义上来说，教师编制几何开放题，并采用范希尔理论进行评测，可以了解小学生思维发展的现状、小组学生之间的差异、班级学生整体的思维水准，但这种测验结果往往受编制的开放题的难度、教师使用的时机等外在因素的影响。为了准确了解同年龄小学生的几何思维发展水平，我们可以在平行班级开展同步评测，也可从更大的空间维度上展开不同层次学校相同年段学生的思维评测，以确定一个合情、合理、合度的基准评价，并与文献资料比对做出适当地调适，力求与本校、本班学生实际相吻合。

与此同时，教师要积极展开基于基准评价的几何开放题的研发，以更贴切的几何开放题满足学生的学习需求，助力学生几何思维发展水平向更高阶迈进，促进学生心智发展。我们必须时刻清醒地认识到，评测只是辅助教学的一种手段，其核心要义旨在帮助教师了解学生之间的差异性，从而确定更加科学、合理的方案以应对他们个性化的学习需求，从而帮助他们更好地学习数学、更好地发展几何思维水平。

2.关注“学力”，培育核心素养

尽管新课程改革已历时十几年，但一些传统观念在人们的心目中还是根深蒂固，“教学中，学校和教师常常因‘应试学力’的成就而忽略了‘真实学力’的追求。应该明确一点，学习主权者的‘真实学力’是一种发展性‘学力’。”[3]数学开放题引入小学数学学习，就在于试图尝试改变人们的这一观念，让更多的教师从起始年级起就关注学生的数学“学力”。

教师在几何教学中必须注重“培养学生抽象的几何思维能力、想象图形运动位置的能力，针对抽象事物及运动的规律建立空间几何概念。要求学生能应用抽象的符号和标准的几何图形来表示几何事物，能够在分析几何问题时应用数学思维。”[4]显然，空间与几何知识对小学生的“学力”是有一定挑战力的，几何开放题的挑战尤甚。波利亚曾说过，学习任何知识的最近途径就是让学生自主发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。从这个意义上来说，学生学习活动中，教师应该提供更为丰富的实物给小学生观察、操作、实验，让学生经历点动成线、线动成面、面动成体的发展变化过程，并适时从具象向抽象转化，发展学生的逻辑思维能力和空间思维能力，在几何开放题问题解决的过程中，养成静思默想、画图尝试、协作互动的习惯，从“不会”到“会”，从“不能”到“能”的转化，实现品格塑造、知识获得、思想领悟、经验积累、技能形成，进而培塑良好的“学力”。

3.关注差异，实施重点关怀

教学经验表明，不同学生对难点知识所表现出来的学习态度和思维品质各不相同。特别是在学习过程中，由于与生俱来的差异及后期形成的学习习惯、思维方式差异以及教师对“学会”的过度关注，往往直接拉开学生之间学习能力、学习成效的差异。这也是传统数学教学问题结构单一、评价方式单一造成学困生数量趋多且低龄化倾向的一个重要原因。

开放题学习的主要价值取向就是给更多的孩子增加成功解决数学问题的可能性，享受数学学习幸福感、成功感，感悟数学魅力，获得良好的数学教育。

教师在基于数学开放题的教学过程中，可采用“同质分组”形式，给予特定学生群体以整体关照，一是使教师对优等生的精准定向点拨支持成为可能，二是使教师对于后进生、中等生群体学习的直接支持成为可能。教师在课堂上对学生的持续关注，能准确把脉学生的学习轨迹，了解学生当前使用的学习策略以及参与学习的意愿和准备情况，及时调整学习计划，缩小学生对当前知识和理解与目标知识和理解之间的差距。[5]在学习过程中，当学生认识模糊时、理解肤浅时、思考无向时、迷茫无助时，教师能紧紧抓住诱发学生深入思考、让学习真正发生的“施力点”（一条辅助线、一句点拨或一个关联旧知），四两拨千斤，令学生脑洞大开，帮助学生打开思维的阀门。

4.教测结合，实现精准提升

引入范希尔理论对学生学习数学几何开放题进行评测，主要目的是基于对学生数学学习个性特征的了解与梳理，对于个体学习特质的掌握与界定，对于个人学习能力的指导与帮助，教学的成效不仅取决于让学生的学习真正发生，还在于给学生提供恰当的学习内容，让学生始终保持积极的学习状态，帮助学生从表层学习层级跨入深层学习层级，以到达不经思考就能去做的“过度学习”层级。教师充分发挥在学习过程中的跟踪、指导职能，发挥教师作为导师的核心价值，为学生精准提供学材，弘扬个性教育。

如果离开评测，教师就会迷失教学方向，不得其法，事倍功半。基于这样的认识，教师在开放题教学中应成为教学内容的学习者，学生成为学习内容的教学者。教师作为学习者，更侧重于事先对教学内容的精准分析、预测可能的学情及学生学习过程中可能遇到的障碍与困难、学生思维的可能之处，并在学生学习过程中细致观察，及时运用教学理论分析学生的思维层次，并在可能的情况下，在学生学疑之处、学困之处、学难之处予以精准指导和帮扶，让学生感受几何的魅力，感受图形的变幻，从而爱上几何、爱上数学，并乐于积极思考，探索未知。

总之，应用范希尔理论对学生的几何开放题学习情况进行评价，不但能评价学生的学习过程和学习方法，而且能评价学生的数学思维层次。五种思维水平由低到高的排序清楚说明学生的不同学习过程和不同学习方法的结果差异，从而有效帮助教师判断小学生所能达到的几何思维结构层次，相对容易地实现对小学生思维发展质性影响的量的刻画，既体现了新课程标准的理念，又为培养学生的创新意识提供了广阔的空间。[6]

参考文献：

[1]鲍建生.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]何光峰.数学开放题及其教学的研究综述[J].数学通报，2001（5）：1-4.

[3]佐藤学.课程与教师[M].钟启泉，译.上海：华东师范大学出版社，2007：30.

[4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京:北京师范大学出版社，2012.

[5]约翰·哈蒂.可见的学习——最大程度地促进学习[M].金莺莲，洪超，裴新宇，译.北京：教育科学出版社，2015：43.

[6]杨传冈，李海东.基于SOLO分类的小学数学开放题学习思维评价[J].中小学教师培训，2016（11）：41-45.