单位圆解三角函数例谈

李若辰

摘要：三角函数相关问题灵活多变，计算较为复杂，利用单位圆能够简化推导和计算过程。本文通过例题说明单位圆在解答比较函数值大小、确定取值范围等三角函数问题时所起的作用。

关键词：单位圆；三角函数；数形结合

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）02-0157-01

任意一个三角函数值都可以在单位圆上表示出来，利用单位圆中各线段长度关系和圆上各点坐标，可以直观地解决三角函数的问题。单位圆不仅能够提供解答三角函数相关问题的工具和方法，而且能够加深对各三角函数含义及其相互关系的理解。在日常练习时必须重视单位圆的作用，熟练掌握利用单位圆解答三角函数问题的方法。

1.比较函数值的大小

例1：已知 0<α<β<π/2，试比较 sinα-α 与 sinβ-β 的大小。

解析：利用单位圆解答题目，首先将各题干中已知的信息在单位圆中表示出来，如下图1所示。角α、β的终边与单位圆分别交于点C、D， CM、DN分别为过C、D两点向x轴作垂线段，则sinα=CM，sinβ=DN；弧CD的长为α，弧AD的长为β，弧线CD的长为β-α，（sinα-α）-（sinβ-β）= sinα-sinβ+β-α，根据图中弧线与垂线段长度关系即可知β-α> sinβ-sinα，即sinα-α > sinβ-β。

例2：已知α∈ （0，π/2），试证明：cotα/2 ≥ 1+cotα。

解析：将题干中已知信息标注到单位圆中，如上图2所示。其中，NA为单位圆的切线，并设角XOB为α，角XOA为α/2，则角BOA=角XOA=角BAO=α/2，因此OB =BA。又有

1+ cotα= 1+ NB，cotα/2 = BA+NB = NA，因此，cotα/2 ≥ 1+cotα。

2.确定三角函数内各变量的取值范围

例3：已知函数f（x） = log（1-2cosX）（2sinX +1），試确定x的取值范围。

解析：如满足函数f（x）有意义，需保证（2sinX +1）>0， （1-2cosX）>0且（1-2cosX） ≠1 ，即sin X >-0.5，cos X < 0.5， cos X不等于零。将三角函数在单位圆中表示出来，如下图3所示。如使sin X >-0.5，则角X的终边处于下图3中竖线所标出的阴影范围内；如使cos X < 0.5，cos X不等于零，则角X的终边处于下图3中横线标出的阴影范围内，取交集则为角X的终边范围，即函数f（x）的定义域X取值范围为：（2kπ+π/2，2kπ+7π/6） ∪（2kπ+π/3，2kπ+π/2），k∈Z。

例4：已知函数f（x）=2cosx-11g（2sinx+1），试计算定义域的取值范围。

解析：要使函数f（x）有意义，则：（2sinX +1） ≠1， 且根号内为非负数，即 （2sinX +1）>1， （2cosX-1）≥0；或0< （2sinX +1） < 1， （2cosX-1）≤0，解得：sinX >0且cosX ≥1/2，或 -0.5< sinX <0且cosX≤1/2。将各三角函数标注到单位圆中，如上图4所示，可知函数f（x）定义域x 的取值范围为：（2kπ-π/6，2kπ）∪（ 2kπ， 2kπ+π/3]， k∈Z。

3.结语

在解答三角函数的相关问题时，单位圆不仅能作为图形工具展示位置关系，而且能够表示出各线段的长度关系。将三角函数中的点、线、角标注到单位圆中，能够清晰、直观地显示出各三角函数的关系，揭示出题目中的隐性条件。熟练使用单位圆解题法，在平时练习时能够降低解题困难程度，加快答题速度；在考试过程中可以节省大量时间，提高考试成绩。

参考文献：

[1]张冬月. 巧用单位圆解决三角函数问题[J]. 考试周刊（数学教学与研究）， 2013（91）： 63.

[2]马明（主编）. 高中各科解题思路训练（数学）[M]. 中国青年出版社， 2012（2）： 136-137.