几类一阶常微分方程的积分因子

李中杰，王 磊

(焦作师范高等专科学校 数学学院，河南 焦作 454002)

在可求解的几类一阶常微分方程中，关于恰当方程的解法较多而且简便，常用的有不定积分法、曲线积分法、分项组合法等[1]。因此，若能将一个非恰当方程转化为恰当方程，则该方程就能够迅速求解。在此意义上，寻求一个非恰当方程的积分因子就显得非常重要。然而，积分因子一般是不容易求得的。

现在各类本科和专科学校使用的《高等数学》教材中只是介绍了方程仅依赖于x或是仅依赖于y的积分因子的求法。

一些学者对某些类型的积分因子进行了探索，如刘会民、王新研究了具有F(xayb)及G(xa+yb)形式的积分因子的充要条件[2]； 刘许成给出了方程具有复合分离型积分因子φ(p(x)q(y))的存在判定定理并建立了计算公式[3]； 程惠东、孟新柱则给出了积分因子存在的充要条件和计算公式[4]。

从另一方面来看，《高等数学》教材中所涉及的可以求解的几类一阶显式微分方程，如变量分离方程

齐次微分方程

一阶线性微分方程

伯努利微分方程

等，都有固定的解法[5]30-48，其基本思路是通过变量代换化为变量分离方程进行求解[6]20-35。这些解法有时比较繁琐，计算量偏大。而如果把方程写为对称形式，利用积分因子将之转化为恰当微分方程，求解过程将变得非常简便。

本文将对几类常见的一阶微分方程的积分因子进行探究和总结。在教学中，这些结论可加深学生对于积分因子的理解，也为求解各种类型的微分方程提供一种思路。

1 恰当方程与积分因子

一阶显式常微分方程

可写为对称形式

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

，

(1)

其中M(x，y)和N(x，y)是关于x，y的连续函数，且具有一阶连续偏导数。

若方程(1)的左端恰好是某个二元函数u(x，y)的全微分，即成立

du(x，y)=M(x，y)dx+N(x，y)dy，

则称此方程为恰当微分方程。此时，方程的通解为

u(x，y)=C。

如果存在连续可微函数

μ=μ(x，y)≠0，

使得

μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0

成为恰当微分方程，则称μ(x，y)为方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的一个积分因子。

引理μ=μ(x，y)为方程

M(x，y)dx+N(x，y)dy=0

的积分因子，则

反之，亦成立。

2 主要结论

结论1变量分离方程

(2)

的积分因子为

证明方程(2)写为对称形式

f(x)φ(y)dx-dy=0，

这里

M=f(x)φ(y)，

N=-1。

计算得

由引理知结论成立。

结论2 一阶线性微分方程

(3)

的积分因子为

证明方程(3)写为对称形式

[p(x)y+q(x)]dx-dy=0，

这里

M=p(x)y+q(x)，

N=-1。

计算得

由引理知结论成立。

结论3 伯努利方程

(4)

的积分因子为

证明方程(4)写为对称形式

[p(x)y+q(x)yn]dx-dy=0，

这里

M=p(x)y+q(x)yn，

N=-1。

计算得

由引理知结论成立。

结论4 齐次方程

(5)

的积分因子为

证明方程(5)写为对称形式

这里

N=-1。

计算得

由引理知结论成立。

3 应用

例1求解方程

(6)

解方程(6)为n=-2时的伯努利方程。这里

q(x)=x3。

写为对称形式

(7)

由上述结论3直接计算得积分因子

即为恰当微分方程。分项组合积分后得到方程通解为

例2求解方程

(8)

解方程(8)为齐次方程。这里

q(x)=x3。

写为对称形式

(9)

由上述结论4直接计算得积分因子

即为恰当微分方程。分项组合积分后得到方程通解为

4 结束语

对于一阶显式微分方程

在初等积分法可解的前提下，一般的处理方法是通过一系列变换将之化为变量分离方程来进行求解。而这些解法有时过于繁琐，容易出错。此时若能从积分因子的角度，利用积分因子将之化为恰当微分方程，则会取得很好的效果。

参考文献：

[1] 资治科.全微分方程的不定积分解法及其证明[J].高等数学研究,2002(2):20-21.

[2] 刘会民,王新.有关一阶微分方程积分因子的计算[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),2003,26(3):237-239.

[3] 刘许成.一类微分方程的积分因子存在定理[J].临沂师范学院学报,2003,25(6):19-20,23.

[4] 程惠东,孟新柱.积分因子存在定理的一般充要条件[J].数学的实践与认识,2006,36(8):309-312.

[5] 王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[6] 东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982.