把握问题本质数形结合化解

吴先名

[摘要]纵观近几年中考题可发现，以一次函数与反比例函数为载体的综合题出现的频率较高.这类题目考查反比例函数的图像性质、解方程组等知识点，求解过程需要把握问题本质，应用数形结合思想.

[关键词]一次函数；反比例函数；数形结合思想

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）08003202

近年来，以一次函数与反比例函数为载体的综合题成为中考的热点题型，用以考查学生图像分析、逻辑推理和解决问题的能力，下面例谈此类型题的解法.

一、真题解析

1.真题呈现

【例1】（2017年武汉市中考卷第22题）如图1所示，直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图像相交于A（-3，a）和B两点.

（1）求k的值；

（2）略；

（3）直接写出不等式6x-5>x的解集.

2.试题解析

分析：（1）求反比例函数解析式的参数的值，只需要确定函数上一点即可，而点A既在直线上又在双曲线上，从而可求解；（3）y=6x-5的图像相当于将函数y=6x向右平移了5个单位，求6x-5>x的解集，实际上是函数y=6x-5与y=x的交点问题，分析图像即可.

解：（1）点A在直线上，将（-3，a）代入y=2x+4，解得a=-2，则A（-3，-2），点A又在y=kx的图像上，解得k=6.（3）函数y=6x-5在x=5处趋于无穷大， 求交点y=6x-5y=x

，得x=-1，y=-1或x=6y=6，两函数图像的交点为（-1，-1）和（6，6），则6x-5>x的解集为x<-1或5

3.试题点评

本题目为一次函数与反比例函数的综合题，主要考查学生对曲线上点坐标与方程关系的理解以及图像的分析应用能力.对于反比例函数系数，充分利用其几何意义根据图像上点的坐标来求解；对于不等式求解问题，其本質上还是求图像的交点问题，利用转化思想将其转变为分析函数图像交点，通过解方程组的形式求交点坐标，然后结合函数图像分析求解.分析转化，图像结合是实现问题简化的一种重要途径，数形结合是解决函数综合题重要的思想方法，该解题思路对于同类型题具有指导意义.

二、思路剖析

一次函数与反比例函数综合题对于锻炼学生思维具有重要作用.结合函数解析式分析自变量取值问题，要分析转化，利用解方程求交点的方式来解答，其中解题的关键是交点坐标的确定，需要结合图像来分析.

【例2】（2016年广东梅州中考卷第19题）如图2所示，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=kx的图像上.一次函数y=x+b的图像过点A，且与反比例函数图像的另一交点为B.

（1）求k和b的值；

（2）设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围.

分析：（1）k和b分别为反比例函数和一次函数解析式的系数，点A在两函数图像上，可利用点的坐标来求参数的值.（2）实际上就是求反比例函数图像位于一次函数图像之上时x的区间，也就是求图像的交点问题，可先确定交点坐标和再结合图像求解.

解：（1）将A（2，5）分别代入函数y=kx和一次函数y=x+b中，可得

k=10b=3

.

（2）求交点B的坐标，由

y=10xy=x+3

，解得

x=2y=5

或

x=-5y=-2

，则B（-5，-2），根据图像可知y1>y2时x的取值范围为（-∞，-5）∪（0，2）.

【例3】（2015年甘孜州中考卷第19题）如图3所示，一次函数y=-x+5的图像与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图像交于A（1，n）和B两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在第一象限内，当一次函数y=-x+5的值大于反比例函数y=kx（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围.

解：（1）一次函数y=-x+5经过点A，可求得n=4，则点A（1，4）.反比例函数y=kx（k≠0）也经过点A，代入解得k=4，所以反比例函数的解析式为y=4x.（2）求一次函数与反比例函数的交点坐标，由

y=4xy=-x+5

，解得

x=1y=4

和

x=4y=1

，则点B（4，1）.根据图像分析可知，在一象限内，当一次函数的值比反比例函数的值大时，x的值必须位于A和B横坐标之间，即1

三、解后反思

1.归纳整理问题，把握问题本质

无论是求解不等式还是求自变量的区间实际上都是关于一次函数与反比例函数的交点问题，都需要通过解方程组的方式来确定图像的交点坐标.问题是由函数概念、公式、性质等构成的，考查的形式虽有不同，但问题的本质是一致的，有效分析问题，把握问题的本质才是解决问题的关键.在复习教学中要指导学生从题海战术中转变到问题的归纳整理中，引导学生揭示问题结构，挖掘问题本质，深刻理解问题的考查意义.

2.探究知识本质，掌握转化思想

对于一次函数与反比例函数的综合题，解题过程都采用了问题转化的方式，将较为抽象的代数问题，简化为直观的图像分析问题，为问题的解决打开了突破口.实际上数学问题的解答过程就是不断转化，不断简化的过程，在这个过程中问题逐步由难到易，从抽象到直观，最终利用基础知识即可求解.教师要引导学生理解概念、定理的本质，了解知识间的联系，通过结构分析，方法探究的方式引导学生学习转化思想，掌握转化方法，提升解题能力.

3.学习数形结合，发展数学思维

本题目很好地诠释了数形结合对于思考和解决问题的便利性，通过数形互助的方式可为学生有效把握问题本质，探究解决问题的最佳思路，准确作答提供保障.数形结合是一种重要的思想，对于初中函数问题的学习具有重要的意义，学习和使用数形结合思想可促进学生思维的发展.教师要结合教学内容使学生充分认识“数”与“形”的关系，培养学生数形结合的意识，通过实际问题引导学生掌握数形结合的方法，获得解决问题的策略，促进学生数学思维的发展.

（责任编辑黄桂坚）