基于误差考虑的薄膜反射面裁剪布局优化

秦东宾， 杜敬利

(西安电子科技大学 电子装备结构设计教育部重点实验室，西安 710071)

随着当代科技的迅速发展和对宇宙探索的不断深入，人们对星载天线系统的需求与日俱增，同时对于天线性能指标要求越来越高。静电成形薄膜反射面天线是一种新型星载可展开天线，如图1所示,主要结构由基础电极、薄膜反射面、Astromesh索网、薄膜支撑环和边界拉索组成，基础电极铺设在Astromesh索网前索网并施加高电势，镀有金属层的薄膜反射面为等效零势面，由于电势差产生静电力来张拉薄膜，从而使薄膜形成具有一定焦径比的高精度反射面[1-3]。相对于传统的可展开天线，其具有口径大、质量轻、形面精度高、收拢体积小、易于折叠和展开、应用频段高等特点[4-5]，被誉为21世纪最具潜力的空间天线结构之一[6]。

图1 静电成形薄膜反射面天线结构示意图

静电成形薄膜反射面的概念最早于1932年由Gregorwich等[7]提出。基于此概念NASA于1979年制作了一个口径4.88 m的薄膜反射镜[8]，虽然受限于当时薄膜制备技术和机电综合控制理论并没有取得满意的结果，但是验证了概念的正确性。后来随着相关技术和理论的进步，静电成形技术成功应用到小口径的光学薄膜反射镜[9-10]，形面精度在微米级别，相较于光学薄膜反射镜，静电成形反射面的形面精度要求略低、口径更大、膜面更深。2004年美国SRS和Northrup Grumman Corp公司研制出首个真正意义上的5 m口径静电成形薄膜反射面天线样机，薄膜反射面采用平面膜裁剪拼接而成，基础电极共216块，在13组电压调整下膜面精度达到1.1 mm[11]。目前国内对静电成形技术的研究仍处于基础探索阶段，苏州大学和长春光机所进行了静电成形薄膜反射镜的成形机理和实验控制研究，西安电子科技大学对静电成形薄膜反射面的两场耦合、电极电压优化等理论进行了研究，并制作了0.55 m和2 m实物模型。

薄膜反射面天线的性能主要取决于其反射面形面精度，为了保证天线的工作效率，其精度至少要保证在毫米级别[12]。目前薄膜反射面有三种制作方式：① 利用气压作用使平面薄膜变形为近似抛物面形状；② 利用抛物面状的模具直接铸模加工；③ 由平面膜片拼接成旋转抛物面形[13]。第一种加工工艺最简单，但仅适用于曲率较浅的薄膜反射面，而静电成形薄膜反射面曲率大，且此工艺成形形面不易保证；第二种方式其工艺最为复杂，加工难度大，且制作费用昂贵；故目前大多使用第三种方法，工艺相对简单，虽存在设计误差却能满足精度要求，其完整设计加工流程包括应力释放、裁剪线布置(大多沿径向)[14]、曲面展平和拼接成形四个部分。

虽然设计方法相对完善，然而薄膜反射面本身为柔性结构，自身刚度较低、易褶皱、易变形，且其成形过程中不可避免会受到诸多因素的影响，如薄膜材料偏差、裁剪下料误差、拼接误差、粘贴误差、边界偏差等，都会影响成形膜面的形面精度，因此关于薄膜反射面实际成形过程中影响误差的研究是形面精度问题的热点之一。Greschik等[15]研究了薄膜厚度偏差、弹性模量偏差以及边界偏差对反射面精度的影响；Coleman等[16]研究了周边索力变化、口径变化和膜面深度对膜面影响；伞冰冰等研究了不同边界扰动形式以及粘贴条对反射面精度的影响；San等[17]提出了采用平面裁剪片几何近似为折面获得无应力初始膜面的方法模拟设计误差，等等。而薄膜成形过程中的膜片拼接误差和粘贴误差并没有进行讨论，以往的设计误差求解方法误差较大需要改进。

传统的薄膜反射面裁剪线布局设计以设计误差最小为准则，设计误差与裁剪片数存在负相关关系；而在实际膜面制作过程中，拼接误差和粘贴误差等与裁剪片数存在正相关关系，两者存在矛盾；文献[18]中表明传统方法不能获得最佳裁剪线布局，因此有必要将其他误差引入的裁剪线布局设计中。

本文首先对膜面制作中误差源进行分类，并针对各误差分别用数值方法表示。在此基础上将各误差引入到薄膜反射面设计中建立优化模型，最后运用0.55 m口径天线试验验证优化模型的有效性。

1 静电成形薄膜反射面天线模型

1.1 非线性有限元模型方程

本文中研究的静电成形薄膜反射面天线包括基础支撑结构、薄膜反射面和边界拉索，其结构由梁单元、膜单元和索单元构成，用非线性有限元模型描述其刚度方程[19]见式(1)

[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

(1)

式中：[KL]和[KNL]分别为天线结构的线性刚度矩阵和非线性刚度矩阵；{δ}为节点位移向量；{FT}、{FE}和{FS}分别为热载荷向量、静电面力载荷向量和索拉力载荷向量。

其中，静电面力载荷与基础电极通道电压{U}相关，因此静电面力载荷由通道电压表示并组集

(2)

式中：[Bu]为载荷系数矩阵；[U*]=diag{U}为电压转换矩阵。

1.2 形面误差评价方法

薄膜反射面的形面精度通常利用膜面上各节点进行求解，依据薄膜膜面上各节点坐标的设计值与实际值的均方根作为评价标准

(3)

式中：Δδi为薄膜反射面上节点i实际坐标值与设计坐标值之间的差值;n为节点数目。

2 形面误差分类

薄膜反射面的制作流程，如图2所示。裁剪设备裁剪平面膜片，平面膜片放置在拼接模具标定位置，各膜片接缝处由粘贴条沿径向粘贴，薄膜反射面悬挂在支撑结构上同时在静电力的作用下形面调整。在实践中和相关文献中发现实际成形膜面与仿真膜面存在较大差距，总结主要误差源如表1所示。

图2 薄膜反射面制作流程图

误差分类误差表现形式材料偏差膜材误差薄膜厚度偏差;弹性模量偏差设计误差原理误差可展曲面逼近不可展曲面制作误差裁剪误差膜片边界形状不准确拼接误差拼接模具上膜片放置位置偏差粘贴误差贴条粘贴用力不均匀造成褶皱边界误差膜面边界扰动分布

膜材偏差主要与薄膜生产厂家的加工制作水平有关，需通过相关实验得到弹性模量、厚度偏差的相关资料，本文暂不考虑膜材误差。由平面膜片拼接成抛物面形的设计方法本身即存在误差，存在于其设计流程中应力释放和曲面展平两个环节，其设计误差可通过平面裁剪片拼接成形得到成形膜面来求解。在膜面制作过程中发现，裁剪误差可采用自动化裁剪装置改善；则拼接误差、粘贴误差和边界误差是膜面制作主要的误差来源，且通常具有一定的随机性。因此将对设计误差和各制作误差进行数值分析。

3 形面误差分析

3.1 设计误差分析

拼接成形即是由平面裁剪片拼接还原到设计曲面过程。此过程中以每片裁剪片的平面坐标作为初始状态，通过部分节点支座位移的方法将膜面提升到设计位置，膜面在此过程中保持平衡，最终得到的膜面为成形状态。在此膜片位移过程中，膜单元的刚体位移、转动并不改变膜单元的面内应力，只有单元形状的变化才有改变其应力；同时此过程中膜面由初始状态到成形状态膜面节点的位移较大，而薄膜本身是一种具有大变形小应变特性的柔性结构，具有较强的几何非线性，因此在薄膜结构建立平衡方程时必须考虑其几何非线性变形的影响。

非线性有限元法是薄膜结构找形的一种有效方法，将New-Raphson方法运用到其非线性有限元方法的求解中。通过对薄膜面内部分节点施加位移约束并不断迭代，使膜面发生变形，直到满足设计要求。则薄膜结构的有限元方程可表示为

([KL]i+[KNL]i)·{δ}i=Fi+Ri

(4)

式中：[KL]i、[KNL]i分别为第i个迭代步的薄膜线性和非线性刚度矩阵；{δ}i为位移向量；Fi、Ri分别为等效节点内力和外载荷向量。

上述过程中外荷载为零，Ri=0。为保证计算的精度和收敛性，应将整个过程进行分阶段计算，即将裁剪片从初始状态开始分若干次逐步提升到规定的位置。同时为了保证找形过程的收敛性，以膜面中节点的Z坐标作为提升变量，通过各节点的X,Y坐标的自由移动来保证膜面状态的平衡。

计算采用的是U.L.格式，在有限元方程迭代过程中参考位形是不断改变的。具体步骤如下：

步骤1将膜面各节点Z坐标固定于初始平面状态；

步骤2计算薄膜单元刚度矩阵[K]=[KL]+[KNL]，初始时刻为裁剪片的平面位形、零初始预应力，以后迭代步i取当时的位形；

步骤4位移与应力迭加得到薄膜结构新的膜面位形为{X}i+1={X}i+{δ}i；{σ}i+1={σ}i+{σ}i；

步骤5利用薄膜结构新的面形和应力值求解获得等效节点力向量，并对其数值进行判断，若其值大于控制精度，则返回步骤2继续进行运算直到其数值满足精度要求。

通过上述步骤可获得拼接后的成形膜面，此实际膜面形状与设计膜面存在偏差，记为设计误差。

3.2 拼接误差分析

以坐标XYZ描述旋转抛物面形拼接模具，如图3所示，旋转抛物面方程为Z=(X2+Y2)/4F。

图3 拼接模具表示

X-X0=Ucosα-Wsinα

Y=V

(5)

Z-Z0=Usinα+Wcosα

将式(5)代入抛物面方程，曲面方程可表示为

(6)

上述分析中，膜片的形状通过局部坐标系W(U,W)表示，同时膜片中心P0已知，则膜片实际位置可通过其由设计位置中心P0处角度转动和径向平移来描述，假定某一膜片的偏移量为{δ,S}。

对于角度偏移量δ，在UV平面定义一圆，半径为R，沿U方向β=0，则U=Rcosβ,V=Rsinβ，膜片可描述为：W=(R2/8F)cosα(2cosα+sin2α[1-cos 2β])。定义偏差为σ=W(β+δ)-W(β)，则膜片上各点的W方向的偏移量为

W=(R2/8F)cosα(2cosα+sin2α[1-cos 2β])

(7)

偏差定义为σ=W(β+δ)-W(β)，则曲面上各点的W方向的偏移量为

σ=(R2/8F)cosαsin2α[cos 2β-cos(2β+2δ)]

(8)

通过上述方法实现了膜片偏移的数值表示。各膜片的实际偏移量P={δ1,δ2,…;S1,S2,…}，而在设计过程中无法得知，且具有一定随机性，则依据试验数据来预测。假定膜片的实际偏移量符合均匀分布δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)，上标up、down表示变量的上下限值，为试验测量的极值。那么各膜片的偏移量利用随机函数多次取样来模拟。

3.3 粘贴误差分析

拼接误差主要由于贴条不均匀应力导致的，同时接缝区域相对于整个膜面很小，那么可以将接缝区域等效为索单元，通过对各索段设置预应力来模拟拼接误差。此外接缝处由于粘贴条的作用材料厚度和刚度都发生了变化，因此有必要对接缝区域的材料参数重新计算。

接缝处由索单元等效，可通过对各个索单元设置不同预应力来模拟实际膜面粘贴时粘贴条应力不均匀的情况，且同样具有随机性，因此采用与拼接误差相同的处理办法。假定接缝处应力符合均匀分布，即Tj～U(Tdown,Tup)。

3.4 边界误差分析

薄膜反射面的边界扰动主要受到膜面边界拉索的影响，每一根边界拉索都可以通过边界连接带改变一段边界。边界拉索的索力变化使膜面边界发生移动，增大索力会使膜面向外位移，减小则向内。则边界误差与边界拉索的索力密切相关，可通过设置索力值的形式来模拟边界误差。假定边界拉索索力误差分布符合均匀分布，即Qj～U(Qdown,Qup)。

4 数学模型

静电成形薄膜反射面的裁剪线布局优化主要在非线性有限元分析的基础上，假定电极面布局一定，薄膜反射面划分为一环或多环并在各环均匀布置裁剪线，如图4所示，目前膜面一般采用单环裁剪片进行拼接，而随着反射面大口径的要求则其裁剪片的设计幅宽将超过目前的加工水平，针对实际应用应对膜面进行分环处理。通过展平分析和有限元法成形模拟得到新的成形膜面；设定各膜片偏移量、接缝处模拟索力值和边界拉索索力误差值以区间表示，引入拼接误差、粘贴误差和边界误差；施加静电力和索力静态分析后得到稳定的空间膜面。

图4 膜面裁剪布局形式

反射面裁剪布局优化主要分为两个过程。首先，在分环数目和各环裁剪片数一定的情况下，采用一定的优化算法对拼接反射面进行电压优化，得到形面精度。其次，以上述过程为基础，对分环数目及各环裁剪片数目进行优化，从而获得最优解。

此优化问题的设计变量有：膜面分环数目n；每环膜面的裁剪片数目{w}={w1,w2,…,wn}以及各电压通道所对应的电压值{U}。裁剪布局优化的目标是提高天线有效口径的反射面精度，为单目标优化问题：f={δ}T{δ}。为保证薄膜反射面正常工作防止褶皱的发生，则膜面内部应力需大于零，同时应力分布应尽量均匀。因此，约束函数设置为薄膜反射面面内最小应力大于零，而且面内应力最值之比小于某一上限值。

综上所述，可得到如下的裁剪线布局优化模型，如式(9)所示

findn,{w}={w1,w2,…,wn},{U}={U1,U2,…,Um}

minf={δ}T{δ}

s.t.[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

min{σ}>0 and max{σ}/min{σ}<υ

n∈{ndown,…,nup}

wi∈{wdown,…,wup}(i=1,2,…,n)

0

δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)

Tj～U(Tdown,Tup),Qi～U(Qdown,Qup)

(9)

式中：σ为薄膜反射面应力；υ为面内应力比值的上限值；上标up和下标down分别为变量的上下限值。

由裁剪线布局优化模型可以看出，此为高度非线性规划问题，传统的梯度算法无法得到全局解。遗传算法是一种非梯度优化算法，通常用于求解非线性问题。因此使用梯度法和遗传算法相结合的优化方法来解决这个问题[20]。在设计变量中，通道电压值{U}为连续变量，膜面分环数目n、每环膜片的裁剪片数目{w}为离散变量。为方便解决模型，各通道电压值{U}可在约束中分别进行优化。优化模型近似改写如式(10)所示，外部优化只涉及离散变量，很容易地用遗传算法处理；内部优化只涉及连续变量，使用梯度的方法有效地解决。

findn,{w}={w1,w2,…,wn},{U}={U1,U2,…,Um}

minf=f1

s.t. find{U}={U1,U2,…,Um}

f1={δ}T{δ}

s.t.[KL+KNL]{δ}={FT+FE+FS}

min{σ}>0 and max{σ}/min{σ}<υ

0

δi～U(δdown,δup),Si～U(Sdown,Sup)

Tj～U(Tdown,Tup),Qi～U(Qdown,Qup)

n∈{ndown,…,nup}

wi∈{wdown,…,wup}(i=1,2,…,n)

(10)

5 仿真试验

5.1 0.55 m口径天线模型

建立0.55 m口径静电成形薄膜反射面天线的有限元模型，薄膜选用聚酰亚胺材料，反射面边界为裙边形式，并通过边界拉索与天线支撑结构固定，裙边选用聚酰亚胺材料，拉索选用芳纶材料，模型的几何参数及材料参数如表2所示。

表2 薄膜反射面天线参数表

天线的有限元模型如图5所示，裙边数为24个，边界拉索24根。为节省优化时间，此处未考虑电极布局优化，本算例采取固定基础电极形式，基础电极布局形式如图6所示，电极分为三环式，采用9个电压通道对13块电极精密调控。模型口径小，此算例仅考虑膜面为单环形式，裁剪片数目的上下限值wdown=6，wup=24，同时考虑到膜面的对称性对裁剪片数区间限定wi∈{6,8,12,18,24}；由工程经验得到制作误差区间{δ,S,T,Q}T,δdown=-0.5°，δup=0.5°,Sdown=-2 mm，Sup=2 mm,Tdown=0 N，Tup=0.05 N,Qdown=0 N，Qup=0.3 N。

图5 薄膜反射面有限元模型Fig.5 Thefiniteelementmembranemodel 图6 0.55m电极面模型Fig.6 Thelayoutofgroundelectrodes

5.2 设计误差验证

首先，验证设计误差分析方法的正确性。基于非线性有限元思想的成形模拟方法，对不同裁剪片数目情况下的设计误差求解，得到不同裁剪片数目对应设计误差的关系曲线图，如图7所示。从图中可以看出随着裁剪片数目的增加设计误差逐渐较小，并逐渐趋于收敛，验证了文中方法的正确性。

5.3 基于误差考虑的优化设计

将设计误差和制作误差如文中拼接误差、粘贴误差和边界误差统一起来，制作误差以制作误差区间{δ,S,T,Q}T表示，将其代入到优化模型中，从而对反射面裁剪布局进行优化。

应用优化模型对0.55 m天线模型优化，得到不同裁剪片数与成形误差的关系曲线，如图8所示。随着裁剪片数目的增加，形面精度呈先减小后增大的趋势；在裁剪片数为12的时候，获得最优形面精度。针对上述结果进行分析，在优化初始阶段随着裁剪片数目的增加，设计原理误差逐渐较小，制作误差逐渐增大，而且其减幅大于制作误差的增幅，在裁剪片为12时，设计误差的减幅变小，小于制作误差增幅。则膜面由12块裁剪片制作得到的薄膜反射面形面精度最优。

图7 裁剪片数与设计误差的关系曲线

图8 裁剪片数与成形误差的关系曲线

同时为了验证模型的正确性，分别以6片、12片和24片裁剪膜片进行模型制作，制得的薄膜反射面实物如图9所示，采用非接触式摄影测量系统V-STAR在仰天姿态下对成形膜面测量获得膜面精度。在地面试验不可避免受到重力影响，在优化模型中添加重力载荷，得到的仿真膜面精度分别为0.147 mm,0.113 mm和0.185 mm，实际膜面精度为0.169 mm,0.133 mm和0.204 mm，总体趋势符合仿真结果；试验中仍存在其他影响因素如材料误差和电极面误差等，而模型中未给予考虑，从而仿真结果与实物结果存在偏差，有必要对模型进行进一步的修正。

(a)(b)(c)

图9 6片、12片、24片膜片拼接反射面

Fig.9 The reflector with 6,12 and 24 sub-surfaces

6 结 论

本文对其实际成形过程中影响误差进行探究，并将其分类为原理误差和制作误差，制作误差主要包括拼接误差、粘贴误差和边界误差。依据有限元思想提出了一种新的薄膜反射面模拟成形的方法，从而获得原理误差， 并对制作过程中存在的误差进行数值描述，从而建立反射面优化模型，分环数目、每环裁剪数目和通道电压作为优化变量，反射面的形面精度作为优化目标同时保证膜面不褶皱。最后以0.55 m反射面天线模型为算例来验证优化模型的有效性，同时在验证过程中发现实物模型与仿真模型仍存在差距，需要对将材料偏差和电极面偏差引入到模型中。

参 考 文 献

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