非线性系统的2自由度VRFT控制器设计

唐小军，王建宏，王新长，易　华



非线性系统的2自由度VRFT控制器设计

*唐小军1，王建宏2，王新长1，易华1

（1. 井冈山大学数理学院，江西，吉安 343009; 2. 景德镇陶瓷大学机电学院，江西，景德镇 333403）

针对非线性系统的复杂性，提出了由非线性前馈控制器与线性反馈控制器构成的2自由度控制器设计。通过设计虚拟参考信号，将非线性前馈控制器的设计转化为非线性函数在某类基函数展开式下的参数辨识；在此基础上，增加一线性控制器于反馈回路用以增强系统的跟踪性能，采用递推最小二乘法辨识线性控制器参数。对闭环系统的稳定性进行了理论分析，给出跟踪误差的上界；最后进行了仿真验证。

非线性；虚拟信号；基函数；最小二乘法

自上世纪中叶以来，现代控制理论在传统PID控制的基础上形成了众多分支与领域，并得到迅速的发展与完善，在工业生产、航空航天及军事各方面的应用也取得了一系列成果。但随着科学技术的快速发展，被控系统更加复杂，建立其数学模型都不是一件容易事情，需了解被控对象机理特性，对系统进行降阶处理后利用试验分析的方法建立系统数学模型，导致实际中的高阶非线性系统却用低阶线性模型替代，易引入系统数学模型不确定性的扰动。如此得到的数学模型，一般情形下不能描述系统的所有动态特性，从而基于模型的传统控制理论面临巨大挑战。与此同时，得益于计算机技术，在系统运行时产生巨量的数据可有效存储，这些数据隐含着系统的运行状态、变化等信息。在难于建立被控系统准确模型的情形下，控制界迫切需要解决的问题是对采集到的大量观测数据如何直接实现对系统优化与控制，基于数据驱动控制理论也就是在此环境下应运而生，并很快成为当今国内外控制理论的研究热点。虚拟参考反馈校正法（virtual reference feedback tuning，VRFT）也是一类数据驱动控制，只需采集系统观测数据，通过构造虚拟输入信号，最小化设计的性能指标就可找出合适控制器，从而避免了系统建模过程。

VRFT的思想源于Gaurdabassi在文献[1]中提出一种用系统观测数据直接设计虚拟信号的方法。在此研究的基础上，M.C.Campi对VRFT进行了全面的理论论述，并于文献[2]将该方法成功应用于单自由度的线性控制器设计；为消除扰动，对于反馈回路控制器的设计，文献[3]采用了VRFT使得闭环控制系统的灵敏度函数与预设灵敏度函数一致，可认为是按照设定参考模型去重塑闭环系统灵敏度函数。文献[4-5]对在线数据进行了VRFT研究。文献[6-7]对2自由度闭环系统控制器采用了VRFT设计。文献[8]分析了VRFT控制器中出现参数非线性的优化求解。文献[9-10]将VRFT与其它控制方法相结合，将其应用于无模型自适应控制及内模控制。文献[11-12]设计了非线性VRFT控制器，不需多次获取系统实验用以估计指标函数的梯度。虚拟参考反馈校正法与系统辨识密不可分，从其设计控制器的过程可以看出，实质上是将控制器设计过程转化为控制器参数的辨识过程。线性系统辨识理论相对比较成熟，而对于非线性系统的辨识可在某类基函数下进行泰勒展开，若基函数已知，可采用最小二乘辨识方法；若基函数未知情形下，可将支持向量机引入参数辨识从而避开基函数的先验知识[13-15]。

论文针对非线性系统的复杂性，通过设计虚拟参考信号，将非线性前馈控制器设计转化为非线性函数在某类基函数展开式下的参数辨识；在此基础上，增加一线性控制器于反馈回路用以增强系统的跟踪性能，并对系统稳定性进行了理论分析。

1 模型描述

图1 非线性系统结构

上图中的非线性系统输出表达式为：

则2自由度控制器可表示为

2 非线性控制器的设计

2.1 模型逆控制的缺点

2.2 基函数下的参数辨识

将式（7）进一步用线性回归表达

对该式优化求解未知参数得到

对式(10)求解的必要条件是

从而得到未知参数估计

在上述优化求解过程中需式(7)的基函数族是给定的已知条件。若基函数族在未知情形下，则前述求解过程将不再适用。为解决该问题，引入支持向量机核函数。

2.3 支持向量机的辨识问题

为便于简化支持向量机概念的改进，根据式(8)建立性能准则另一种等价形式

令：

则式（15）可进一步表示为

对上式进一步整理得到

将上式变形为

进一步将其写成矢量形式

从上式求出对偶矢量

将上式代入式（18）中的最后一式得到参数估计的表达式

对于式(22)，可选择径向基函数核

将方程组式(18)中最后一式代入式(24)可得到

再将式(23)代入式(25)中得到

由上述的分析可得到最小二乘支持向量机的辨识过程。

3）在步骤1）、步骤2）基础上利用式(26)获得该控制器核函数的加权和表达式。

3 线性控制器的设计

图2线性控制器设计

跟踪误差为

则输出信号为

4 系统稳定性理论分析

将图1中的非线性系统综合描述为

式中，

定义一误差函数

此时该系统满足

证明：图1所示的系统输出表示为

对式(40)第一式两端同时取范数后

对误差函数进行考察

将上式代入方程组式(40)的第三式

再把式(43)代入式(41)中进一步得

则有

对上式进行整理得

5 仿真算例

考察一非线性系统对象描述为

设置闭环系统理想传递函数为

图3 非线性函数估计

图4 未知参数估计曲线

在设计好闭环系统的两个控制器后，为进一步验证控制器的控制效果，对闭环系统施加如下一个指令信号

后，所得到系统输出响应曲线与非线性模型逆控制的设计结果进行了比较（仿真如图5所示），可注意到虚线表示的模型逆控制方法所产生的输出与指令存在一定的误差。这是由于模型逆控制本质是开环控制，抗扰性不强。同时，由于求系统逆模型的过程比较复杂，容易产生误差。而本文在非线性控制前馈控制器的基础上加一线性控制器作用于反馈回路，但它并不是线性控制器的简单相加，是为了增强系统的稳定性，弥补非线性控制器设计时产生的偏差，能进一步抑制系统扰动。

图5系统输出曲线比较

Fig.5 Comparison of system output curve

6 小结

本文针对非线性系统复杂特性进行了虚拟参考反馈校正控制器的设计研究。对于非线性控制器的设计，将其转化为非线性函数在某类基函数展开式下的参数辨识。在此基础上，为加强闭环系统的跟踪性能，增加一线性控制器于反馈回路，并利用参考模型直接设计虚拟输入信号。最后对闭环系统的稳定性进行了理论分析，仿真验证所提方法优于模型逆控制方法。

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two degree of freedomVRFT controllers Design Method of Nonlinear system

*TANG Xiao-jun1, WANG Jian-hong2, WANG Xin-chang1, YI Hua1

(1. School of Mathematics and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009，China; 2. School of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic university, Jingdezhen, Jiangxi 333403, China. )

In view of the complex dynamic characteristics of the nonlinear system, a design method of the two degrees of freedom controller is proposed. Designing the nonlinear feed forward part of the two degrees of freedom controller is transformed into a series expansion of nonlinear functions with basic functions multiplied by parameters and parameter identification using the design of virtual reference signal. Furthermore, we add a linear controller part in a feedback loop to enhance the tracking performance of the system, and use the recursive least squares identification method to identify the parameters of the linear controller. The stability of the closed-loop system are theoretically analyzed, and the value of the upper bound of the tracking error is given. Finally, simulation results are shown.

nonlinear; virtual signal; basis functions; the Least Square method

1674-8085(2018)01-0005-07

TP273

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.01.002

2017-04-17；

2017-09-24

江西省自然科学基金项目（20161BAB201017）；井冈山大学博士科研启动项目(JZB17002)

*唐小军(1978-)，男，江西吉安人，讲师，博士，主要从事自适应控制研究(E-mail：tangxiaojun1978@163.com); 王建宏(1980-)，男，江西吉安人，副教授，博士，主要从事系统辨识研究(E-mail：wangjianhong@nuaa.edu.cn); 王新长(1971-)，男，江西赣州人，副教授，博士，主要从事统计学研究(E-mail:ldxsk001@163.com); 易 华(1973-)，男，湖北荆州人，讲师，博士，主要从事小波分析研究(E-mail: :886145777@qq.com).