小球在粗糙斜面上的一般运动

吴 洵

(鄱阳中学 江西 上饶 333100)

黄亦斌

(江西师范大学物理与电子通信学院 江西 南昌 330022)

物体在粗糙斜面上的运动是一种常见的讨论内容．如果物体是滑块，那么它将受到滑动摩擦力；如果是小球，那么摩擦力既可能是滑动摩擦力，也可能是静摩擦力，从而可讨论的内容较为丰富．但针对小球的讨论几乎都是在平面平行运动(在斜面内沿“最斜”方向的一维运动)范围内进行，鲜见针对斜面内二维运动的讨论．本文就此做一般论述．

首先假定：

(1)小球的质量分布是球对称的，绕质心轴的转动惯量为I=kmR2，其中k为无量纲的常数(决定于小球的质量分布状况)，m为小球质量，R为其半径；

(2)忽略静摩擦系数与滑动摩擦系数的差别，设它们都是μ；

(3)小球在斜面上没有蹦跳，一直紧贴斜面．

1 一般讨论

如图1建立直角坐标系．小球受支持力N=Nk，重力G=mg和摩擦力f，其中重力加速度g=g1+g2，g1=-g1j=-gsinαj，g2=-g2k=-gcosαk．由质心运动定理，有

N=mg2=mgcosα

和

(1)

由对质心的角动量定理，有

(2)

图1

其中R=-Rk从球心指向触地点D．由于摩擦力只是跟小球触地点的速度有关(与质心速度无直接关系)，故还需要触地点D的速度公式

vD=vDet=vC+ω×R

(3)

其中et为vD方向的单位矢量，vD非负．对于有滑滚动，有vD≠0，且滑动摩擦力的方向永远跟vD的方向相反，有

f=-μNet=-μmg2et

(4)

对于无滑滚动，有vD=0，且静摩擦力存在最大值

f≤μN

(5)

以上就是计算的出发点．

在进一步进行具体讨论之前，我们先导出vC与vD的一般关系式．R×(1)-(2)，消去f，得

(6)

而式(3)求导(注意R是常矢量[1]，因为任意时刻都只关心触地点D)，可得

(7)

(8)

故一般而言，vC与vD无确定关系，但它们的改变有确定的关系．

2 无滑滚动

先讨论简单情形：小球保持做无滑滚动．由于恒有vD=0，故由式(8)得

(9)

即小球的质心加速度沿斜面向下且恒定．故有

(10)

但由于质心初速度vC0方向在斜面内任意，故此时小球的一般运动是抛物线运动．把式(9)代入式(1)，可得

(11)

这是一个常矢量．关系式(5)进一步给出

(12)

这就是无滑滚动对系统参数的要求．下文将看到，参数λ对小球运动有重要影响．摩擦系数μ越大，斜面倾角α越小，小球质量分布越集中于球心(k越小)，则λ越大，就越有利于无滑滚动的出现．

对于小球的角速度，把式(11)代入式(2)，得到

(13)

故角速度的y,z分量ωy,ωz守恒，而ωx随时间均匀变化．而由式(3)和vD=0，可以得到

vC+ω//×R=0

(14)

其中ω//是角速度的平行分量(x，y分量)．这就是说，无滑滚动条件对角速度的垂直分量ωz没有限制，但对其平行分量(特别是其初值)提出了要求

(15)

故而，小球做无滑滚动时，ωz任意且守恒，ωy受约束且守恒，而ωx也受约束，且随时间做线性变化．

作为无滑滚动的一种特殊情形，由式(10)，如果vC0沿y方向，则小球(即小球质心)会一直沿y方向做匀变速直线运动．但这并不一定就是平面平行运动，因为此时只有ωy=0[见式(15)]．当ωz=0也满足时，小球才做常见的平面平行运动．

当式(12)满足时，若初始时vD=0，则此后小球将一直做无滑滚动；若初始时vD≠0，则小球将先做一段有滑滚动，直至vD=0时进入无滑滚动．但当式(12)不满足时，即使初始时vD=0，此后小球也将做有滑滚动，vD变得不为零．故此时小球在整个运动过程中至多在某一瞬间满足vD=0，不可能出现在某段时间内维持vD=0的情况．

3 有滑滚动

以下一般性地讨论有滑滚动．此时由式(1)和式(4)，得

(16)

(17)

其中常数λ见式(12)．这就是触地点速度满足的方程．将其沿如图1(b)所示的vD方向et和在斜面内与其垂直的方向en做正交分解，得

(18)

两式消dt，得

两边积分，设vD,θ的初始值分别为vD0,θ0(vD0≠0且θ0≠0,±π)，则

(19)

注意，θ和θ0必须同正同负，处于(-π,0)和(0,π)这两个不连通分支中的同一支．将式(19)代入式(18)中的任一式，都可得到

(20)

上式两边积分(设λ≠1)，有

(21)

式(20)表明|θ|随时间t单调增加，而式(19)给出vD随θ或|θ|的关系：vD∝f(θ)．分析函数f(θ)本身，或作出其图像(图2)，可以得到，f(θ)=0的充要条件是λ>1且|θ|=π．故而，仅当系统参数λ>1[见式(12)]时，小球才能经过一段时间后进入无滑滚动状态(vD=0)．把|θ|=π或f(θ)=0代入式(21)，得到有滑滚动的持续时间为

(22)

若λ<1，则小球永远做有滑滚动，而vD依初始条件的不同或先变小后变大，或一直变大，且终将无限增大(只要斜面的尺度足够)．对于λ=1的临界情形，其讨论意义不大，从略．

图2 函数f(θ)的图像，其中θ以弧度为单位

下面讨论小球的运动轨道．首先要指出的是，分解式(18)所使用的两个正交方向并非小球轨道的切向和法向．后者决定于vC，而vC不同于vD(故而摩擦力的方向与轨道的切向无直接关系)，这在图1(b)中已明确画出．式(19)～(21)给出了vD的详尽信息，于是由式(8)也就可以得到vC的详尽信息，从而可以得到小球轨道．具体地，式(8)给出

取其直角分量，有

λ+(1+k-kλ2)cosθ0]

-[4(λ2-1)-(kλ2-k-2)

(23)

其中，xC中的η=sign(θ)=sign(θ0)是θ0,θ(二者同号)的符号函数，即当θ>0时η=1，而当θ<0时η=-1．它的出现很容易理解：当初始条件vC0x,θ0都反号而vC0y不变时，两条轨道显然关于y轴对称，故需要xC也反号．η就保证了这一点．

图3 小球的质心轨道

4 一些特殊情形

(1)vD0沿y轴负方向，即vD0≠0且θ0=π．此时，小球一直保持θ=π(除非vD=0使得θ无定义)．式(18)给出

(24)

故有

vD=-j[vD0+(1-λ)g1t]

(25)

式(8)给出

(26)

故一般而言小球在斜面上做抛物线运动(以沿y轴方向的匀变速直线运动为特例)．若λ<1，则式(25)表明vD一直增加，小球一直做有滑滚动，会如上所述一直运动下去．若λ>1，则经过一段时间后vD=0．此后小球一直做无滑滚动，由式(9)～(10)所描述．

(2)vD0=0，这使得θ0无意义．此时，若λ>1，则小球一直保持vD=0而做无滑滚动．若λ<1，则可以先假设没有摩擦，即令式(17)中λ=0，于是极短时间后vD沿g1方向，于是et也沿g1方向．此时恢复摩擦，式(17)给出同情形(1)一样的结果．小球的运动轨迹一般而言也是抛物线．

(3)vD0沿y轴正方向，即vD0≠0且θ0=0．此时，小球至少在开始后的一段时间内保持θ=0．式(18)给出

(27)

式(8)给出

(28)

(注意此时g1=-g1j=-g1et)式(27)说明，经过一段时间后一定会出现vD=0．此后的运动已由情形(2)给出．一般而言，不论λ如何，前一阶段(有滑滚动)的轨迹与后一阶段(无滑滚动或新的有滑滚动)的轨迹不是同一条抛物线．

(4)α=0，即斜面其实是水平面．此时

g1=0λ→

(29)

小球最终一定做无滑滚动．式(17)变为[1]

由于dvD=d(vDet)=etdvD+vDdet，而et⊥det，故上式给出det=0和

(31)

于是，vD的方向不变，而大小随时间线性减小．由式(30)和式(8)可求出

aC=-μget

(32)

故而小球一般而言也是做抛物线运动，且其质心加速度的方向决定于初始时vD0的方向．由式(31)得到，经过时间

(33)

后，小球转为无滑滚动．此后，式(9)给出aC=0，即小球做匀速直线运动．式(32)亦可由式(16)、(26)或(28)得到，而式(33)也可由式(22)得到，只要考虑到条件式(29)即可．

(5)yz平面中的平面平行运动，这是最常见的情形．此时，ωy=ωz=0，即角速度只有x分量，而小球上任一点的速度只有y，z分量．前面的无滑滚动和上面的情形(1)～(4)都存在这种特殊情形，其讨论皆对此情形成立，只要再加上“vD0,vC0都沿y方向”的条件即可．

5 小结

本文从刚体力学出发，研究了粗糙斜面上小球的一般运动(质心做二维运动，球体本身做三维转动)．研究表明，系统(斜面与小球)存在一个参数 ，它对小球的运动(无滑还是有滑滚动)有决定作用．无滑滚动时的一般轨迹是抛物线，而有滑滚动时的一般情形则要更复杂，本文给出了其理论分析和质心运动轨迹图也分析了一些特殊情形还指出了一些易混淆之处，如，摩擦力的方向与轨道的切向无直接关系，小球沿最斜方向运动时并不一定做平面平行运动．

参 考 文 献

1 马尔契夫.理论力学(第三版).李俊峰译．北京：高等教育出版社，2006.287