绳、杆牵连模型中的加速度关系剖析

李志强

(济宁市任城区教育体育局教研中心 山东 济宁 272000)

绳、杆牵连模型是高中物理中常见力学模型，也是高考、自主招生和物理竞赛的热点．解决这类问题的关键，是要搞清用绳或杆相连的两物体的运动关系．高中物理中一般地只涉及到两物体的速度关系，对此人们已总结出了一些可行的方法．一种简单且易接受的方法是，利用绳或杆不可伸缩的特点，根据两物体在绳或杆长方向的速度分量相等，建立起两物体间的速度关系．但加速度关系就不是那么简单了．这里就此问题略作探讨，希望对读者能有所帮助．

下面用一个实例来具体说明.

如图1所示，长为L的均匀直杆两端固定着两个小球A和B，A球在竖直墙壁上运动，B球在水平地面上运动．当杆与竖直墙壁的夹角为α，B球向右的速度为vB时，A球的速度和加速度分别为多少？

图1 题图

解析：如图2所示，B球速度沿杆长方向的分量为

vA=vBtanα

图2 A球、B球速度分解

假如B球有向右的加速度aB，那么A球的加速度为多少呢？

不少人认为：因绳、杆不可伸长，当其受到弹力作用时，绳和杆上各点的加速度在绳和杆方向上的投影相等．故常常这样得出A球的加速度.

将B球的加速度沿杆方向投影，则

设A球的实际加速度为aA，其方向竖直向下，将它沿杆方向投影，则有

考虑到沿杆方向的加速度大小相等，所以

aBcos(90°-α)=aAcosα

解得

aA=aBtanα

其实上述两球的加速度关系是错误的．正确的分析思路如下.

以B球为参考系，杆做逆时针转动，A球的速度是B球的速度vB与A球随杆转动速度的矢量和，如图3所示．由矢量关系得到

图3 以B球为参考系

A球的运动可以看作是B球平动与绕B球逆时针转动的合运动．B球有向右运动的加速度aB，它沿杆长方向的加速度分量

那么A球也具有这个加速度分量

另外由于转动，A球还有沿杆的加速度分量

A球实际加速度aA竖直向下，所以有

通过讨论我们认为：绳、杆牵连模型中的加速度关系超出了高中物理课本的知识范围(但不超出高中学生的智力范围，不超出高中物理竞赛要求的能力范围)，一般地不要求学生掌握．但作为教师应正确理解绳、杆牵连模型中的加速度关系，以免“以其昏昏，使人昭昭”，把错误传给学生，谬论流传，误人子弟．

参 考 文 献

1 舒幼生.物理学难题集萃(增订本).北京：高等教育出版社，1999.1 108～1 111

2 周衍柏.理论力学教程(第2版).北京：高等教育出版社，1986

3 王春胜.绳杆两端物体速度的几种处理方法.物理通报，2015(4)：56～57