高等数学极限定义教学方法初探

焦佳

本文以高等数学中极限的定义为载体，在教学实践的基础上，提出了融入数学史、数形结合、渗透数学思想、引入数学实验等教学方法。在教学过程中，通过恰当的教学方法帮助学生理解极限的定义，有意识地引导学生体会极限的含义，让学生更深入地掌握极限的思想。

极限是高等数学的基础概念，贯穿微积分学的始终，连续、导数、定积分、级数等定义都是建立在极限的基础上。因此，对极限定义的准确理解直接关系到后续课程的学习，也是教学中的重点和难点。

对于刚步入大学的学生，他们中的大部分人还没有完全适应大学的教学方法，对数学的学习仍以解题为主，很少关注数学思想。这也导致他们将主要精力放在计算上，缺乏去对数学概念本质的理解。而极限的定义，具有较强的逻辑性，数学语言抽象。因此在教学中，为了让学生能够更深层次地理解极限的定义，从以下几个方面入手：

1 融入数学史

数学是一门古老的学科，与人们的生活、社会的发展息息相关。数学来源于生产、生活实践，是从人们生产、生活的经验中抽象概括出来的，同时生产、生活又是数学知识应用的广阔天地。数学不仅凝结着人类认识和改造客观世界的成果，而且凝结着人类的主观精神。数学发展到今天，更富有自然、社会、历史、人文等丰富的文化内涵。

在极限教学中融入数学史的教育，一方面可以让学生了解数学是一门怎样的科学，提高学习的兴趣；另一方面，讲述数学史的过程也是讲述数学思想应用的过程。通过数学史的融入，学生能更深层次地了解极限的来源，从而体会到数学思想在知识中的应用。极限思想萌芽、发展、不断完善的过程，使学生认识到极限是为了求解实际问题而产生的，体会到极限在高等数学中的重要地位。

战国《庄子·天下》中惠施说，“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是，一尺长的木棍，每天截去它的一半，随着不断截去，留下的木棍长度“无限接近于零，但又不等于零”，千秋万代也截不完。这体现出极限“无限趋近”的思想。在课堂教学中，可利用粉笔演示这句话的意思，让学生对极限有初步的了解。用数列来描述，每日的截取量为 ，即可得到极限的定义，给定一个数列 ，随着 无限增大， 无限地趋近于一个确定的常数 ，则 称为该数列当 时的极限。

2 数形结合

数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家萬分休。”讲解极限定义时，采用数形结合的方法，能将抽象的函数具体到图像上，学生理解起来更容易。教师可与学生一起作出图像，观察图像的变化趋势，从而得到极限的定义。学生在学习时会发现，高等数学中的相关概念，可以通过形的认识，来发现质的规律。通过对数学中形的理解，加深对高等数学概念的理解，这也是一种数学文化的积累。

3 渗透数学思想

魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术》割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，这正是运用极限思想的实际例子。极限的思想和方法，可以使学生在分析问题时，看到事物发展的趋势，从而抓住主要矛盾和矛盾的主要方面。化圆为方、化曲为直的极限思想，通过观察有限分割、想象无限细分，根据变化趋势想象终极状态，不但使学生掌握了知识，而且进行了变与不变、近似与精确、有限与无限、量变与质变等辩证唯物主义教育。

笛卡尔说：“数学是使人变聪明的一门科学，而数学思想的教学则是传导数学精神，形成世界观不可缺少的条件。”数学不仅是作为专业学习的工具，数学思维更应该是大学生必备的素养，不但能利用数学知识解答专业和生活中所遇到的问题，还能把数学思想融入到日常生活和工作中。

在学习高等数学的过程中，教师应借助数学科学的文化价值，把蕴含在数学知识、技能中的价值观念、审美情趣、思想方法和行为规范加以挖掘和提升，通过再现、重演数学知识中隐含的原始实践和认知活动，使学生接受数学文化的熏陶，在获得数学知识和技能的同时，在情感、学习态度、价值观念等方面得到较好的发展。

4 引入数学实验

信息技术为数学课程提供了切实可行的方案、技术、方法和工具，信息技术与数学课程的整合，是将信息技术与数学课程内容、数学课程实施融为一体，以便更好地完成数学课程目标。基于信息技术的数学实验能使一些过去只能通过思维、表象和想象领会的数学内容，得到直观地表示和处理。借助数学软件，结合所学的数学知识，解决实际问题。极限是教学的难点，学生可通过改变参数 的值，计算机随时显示 随 变化的动态过程，观察 的变化。在此过程中，学生亲自参与、反复实践，体验“无限趋近”，理解极限概念。在数学实验中，学生主动地进行观察、描述、猜想、实验、思考、推理、应用等等，让学生目睹数学过程形象而生动的性质，体验如何实现数学过程，并从中感受到数学的力量，促进数学的学习。

（作者单位：天津铁道职业技术学院）