凸函数在不等式中的应用

钟佳炜

摘 要：凸函数是一类重要的函数，在许多数学问题之中都有广泛的应用。本文论述了利用Jensen不等式以及凸函数性质证明不等式的应用。

关键词：凸函数；性质；不等式

引言

在函数的研究领域中，凸函数无疑占有着一块非常重要的地位，它被广泛的应用于许多的领域，譬如控制论、数学规划等等。当然，作为一门科学知识，凸函数经历了许许多多的科学研究历程，从最初科学家们定义了凸函数开始，科学家们就开始对它进行了大量的研究，主要集中在凸性以及凸性的应用方面，今天我们主要在不等式的推导这方面进行论述。作为数学分析中的一类特殊函数，在实际课本中只介绍了凸函数的性质以及它的判定，却没有去阐明它在证明不等式方面所具有的独特的优势。所以，需要有人去将一些凸函数的性质总结出来，并且将其在证明一些初等数学中无法证明的不等式的证明的优势展现出来。

利用Jensen不等式以及凸函数性质证明不等式

结束语

由于凸函数其独特而良好的性质，使得其在许许多多的数学领域中都有着应用，但是，科学在不断进步，知识在不断翻新，因此需要对凸函数的理论进行进一步更深入的探讨，而要进一步研究函数的凸性，那么对于凸函数在不等式方面的应用的研究就是非常必要的，必然的，就要不断推進其研究工作。

本文阐述了Jensen不等式等来进行不等式证明的一些想法。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册.第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010（2011重印）

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册.第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001（2008重印）

[3]张晓宁.高等数学指导[M]. 北京：教育出版社，2005.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1988.

[5]朱均华，周健伟.数学分析选讲[M].广州：广东科技出版社，1986.

[6]胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[7]马仲藩，魏权龄，赖炎连，数学规划讲义.北京：中国人民大学出版社，1991.

[8]时贞军，岳丽，凸函数的若干性质及应用[J].应用数学，2004.

[9]史树中，凸分析.上海：上海科技出版社，1990.

[10] 常庚哲，史济怀.数学分析教程（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003.