高等数学中的数学文化观

【摘要】高等数学中的主要内容有微积分、常微分方程、级数和空间解析几何等，本文探讨高等数学中的数学文化观。

【关键词】数学文化；微积分；常微分方程

高等数学是高校理工科专业的基础数学课。高等数学的知识点涉及面广泛，主要内容有微积分、常微分方程、级数和空间解析几何等内容。教师做到从文化的层面了解现代数学，欣赏数学，以便能在高等数学教学过程中将数学文化渗透每个知识点，以拓宽学生的知识面，调动学生学习高等数学的积极性。下面具体分析高等数学四大主要知识：微积分、常微分方程、级数和解析几何中的数学文化。

一、微积分中的数学文化

微积分的创立，是为了解决17世纪主要的科学问题。当时主要有四种主要类型的问题。第一类是物理中的问题，变速直线运动中已知加速度求速度和距离。第二类是求曲线的切线。第三类是求函数的最大值和最小值。第四类是求曲线长、物体的中心、引力。这些问题被很多个数学家诸如罗贝瓦尔、巴罗、费马、卡瓦列里、沃利斯研究过，其中贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿受沃利斯的影响比较多，他主要运用无穷小的方法来研究微积分。莱布尼茨从1684年开始发表微积分论文，他非常注重微积分的规范，建立了微积分的法则和公式。他很早就意识到，微分和积分是相反的过程。他的工作借助于伯努力兄弟做了大量的发展。对于微积分的优先权一直在争论，莱布尼茨被认为是剽窃者。后来的查证发现他们二人都是独立的完成微积分的创立工作。所以现今把他二人作为微积分的创立人。

在有了定积分和不定积分后，两者之间有什么关系呢？求曲边梯形的面积和变速直线运动下的路程过程中，数学家们定义了定积分。定积分和微分学本无直接联系。不定积分，莱布尼茨早就发现不定积分是“导数”的反问题。两者之间的关系在牛顿—莱布尼茨公式中找到了答案。

二、常微分方程中的数学文化

18世纪，数学家谋求用微积分解决越来越多的物理问题，很快他们发现不得不对付一类新的问题。微分方程就应运而生了。有几类物理问题促进了微分方程的研究，比如：弹性理论这一领域的问题；摆的问题；月球的运动。常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中或者出现在那些常常重登书信中建立的或说明的结果的刊物中。

三、级数中的数学文化

在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。实际上，牛顿研究级数是和他的流数法分不开的，因为对于稍微复杂一些的代数函数和超越函数，只有把他们展成无穷级数病进行逐项潍坊或积分，他才能处理他们。数学家们学会欧诺个有尽的形式来研究初等函数。虽然如此，级数仍然是某些函数的唯一表达式，而且是级数初等超越函数最有效的工具。17世纪后期和18世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值。为了适应航海、天文学和地理学的进展，要求三角级数、对数函数和航海表的插值有较大的精度。格雷戈里—牛顿内插公式由泰勒发展成一个把函数展开成无穷级数的最有利的方法。

四、空间解析几何中的数学文化

18世纪欧拉，克莱罗等数学家在空间解析几何中的贡献非常大。1700年前就已经有了二次曲面的概念。惠更斯引进了微积分来处理平面曲线。克莱罗开创了空间曲线的理论。和空间曲线的理论意义，曲面的理论经历了一个漫长的开端。曲面理论是从曲面（主要是地球）上的测地线的研究开始的。曲面论的一个主要方面是由于绘制地图的需要而发展起来的，这就是研究可展曲面，即可以将其平摊在平面上而不产生畸变的曲面。欧拉是研究这个问题的第一人。

高等数学的数学知识点是18世纪西方数学发展的内容。其发展过程曲折。现今我们所学知识得益于数学家们的独创性。这些知识点都是数学家们在解决当时热点问题所提出来，并且作了不断的理论完善和论证。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

作者简介：欧阳云（1982—），女，江西萍鄉人，河池学院数学与统计学院，副教授，研究方向：微分方程。