让学引思，让学生数学学习真正发生

陈海鲸

摘 要：“让学引思”是主体性学习的新范式。“让学”需要“引思”，“引思”是为了更好地“让学”，“让学引思”是辩证的统一体。通过“让学引思”，能够拓展学生思维的宽度，开掘学生的思维深度，提升学生的思维高度。

关键词：让学；引思；深度学习

主体性学习是当下教学改革的核心，其主要表现是“学生位于课中央”。作为“主体性学习”的一种范式，“让学引思”实现了教与学的深度融合。让学，要求教师要适时放手，赋予学生学习的自主权，让学生从学会转向会学。引思，要求教师要搭把手，适时助力学生数学学习，帮助学生完成自主建构。“让学”和“引思”在数学教学中是辩证统一的，“让学”是前提，“引思”是保证。“让学”需要“引思”，而“引思”则是为了更好“让学”。“让学引思”能够让学生的数学学习真正发生。

一、让学引思，拓展学生数学思维的宽度

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，学生学习数学的唯一方法是“再创造”。教师不是将各种数学知识“灌输”给学生，而是创设各种条件，赋予学生学习时空和权利，让学生探究、合作、发现。在这个过程中，教师要善于引导、启发、唤醒，以便让学生的大脑处于活跃状态。通过“让学引思”，拓宽学生数学思维的宽度。

教学“三角形的面积”一课，学生已经拥有了探究平行四边形面积的活动经验，基于此，教师放手让学生探究。

师：三角形的面积可以怎样推导呢？

生1（类比）：我想，平行四边形的面积推导是转化成长方形的，三角形的面积也应该可以转化成长方形。

生2（迁移）：三角形的面积应该也可以转化成平行四边形的面积。因为转化就是将未知转化成已知。对我们来说，平行四边形面积公式现在是已知的。

师：说得很好。那么，怎样转化呢？

生3（类比）：转化成长方形，我想和平行四边形转化成长方形一样，要沿着高剪，以便产生直角。

学生由于缺乏必要的方法支撑，沉默片刻。为此，笔者出示了一个三角形，同时画出了三角形的中位线，如图1。

生4（兴奋地）：可以将上面小三角形绕大三角形中点旋转180度，转化成平行四边形。

生5（受启发）：我认为可以沿大三角形两条边中点往下作垂线，然后将两边小三角形往上旋转180度，转化成长方形。

生6（受启发）：我觉得上面小三角形和整个大三角形形状相同，既然小三角形可以旋转，那么将这个大三角形旋转，和原来大三角形拼起来，也应该可以转化成平行四边形。

……

通过“让学引思”，学生思路拓宽了，他们大胆提问、猜想，形成多种探究方案。在此基础上，学生分小组展开实验探究。在对比中建构了三角形面积公式。

二、让学引思，开掘学生数学思维的深度

如果说，“让学”是改变学生被动学习的状态，那么，“引思”就是改变学生的浅表学习状态。从这个意义上来说，“让学引思”既是一种主动学习，也是一种深度学习。教学中，教师要引发、引导、引领学生深度思考，让学生把握数学知识的本质，培育学生良好的思维品质。

教学“公顷和平方千米”时，笔者从两个角度建立学生的概念表象。一是运用多媒体课件向学生展示学校和一个小区的航拍图，让学生获得“替代性感知”；二是让28个学生手拉手围成一圈，让学生直接体验一百平方米的大小。在此基础上建立“公顷和平方千米”的概念，即“百米平方是公顷”“千米平方是平方千米”。在此基础上，学生建构平方米、公顷和平方千米之间的进率。然后，将平方厘米、平方分米、平方米等面积单位引入其中，引导学生认识面积单位之间的进率链。学生发现，其他两个相邻面积单位之间的进率都是一百，唯独公顷和平方米之间的进率是一万。有学生展开深度猜想：在公顷、平方米之间或许还有一个面积单位，这个面积单位是十米的平方，而且这个单位与公顷、平方米之间的进率都是一百。这种深度的合情推理，正是建立在对面积进率链的观察、理解基础之上的。课后，学生借助互联网，在公进制里找到了这样的面积单位——公亩。

学生的“学”“思”与教师的“让”“引”有机融合，真正做到了“让学引思”，促使学生从无思走向有思，从浅思走向深思。在这个过程中，学生的思维逐渐思之有向、思之有理、思之有序、思之有创。

三、让学引思，提升学生数学思维的高度

“让学引思”不仅要拓宽学生思维宽度，开掘学生思维深度，更要提升学生思维高度。数学思维高度是什么？是对数学整体知识结构的把握，是对数学高观点、大观念的领悟，是对具有包摄性、统御性数学思想、方法的感悟，是对数学文化与精神的感受与体验。

教学“圆柱的体积”后，教师有必要将长方体体积、正方体体积和圆柱的体积进行比较、概括。一位教师在教学中运用多媒体课件，让长方形、正方形和圆形向上生长成长方体、正方体和圆柱体，形象地展示了从平面图形到立体图形的演变过程。在这个过程中，不仅让学生感受到极限的思想方法，而且形成学生整体性认知：原来长方体、正方体和圆柱体的体积都是一个家族的。这个家族是怎样的呢？教师让学生比较长方体、正方体和圆柱体公式中的“长×宽”“边长×边长”以及“πr2”，学生发现，它们都是这些立体图形的底面积。在比较的基础上，学生自主建构了体积公式“V=Sh”。受平面图形生长成立体图形的启发，有学生认为，三棱柱、空心钢管等的体积都可以用这个公式。那么，这些几何形体有着怎样的共同特征呢？笔者让学生以“V=Sh”公式为基础，课后借助互联网自行研究“直棱柱体积”。这样的“让学引思”，提升了学生思维高度。

教学不能囿于教材，锁定于課堂，而应积极提升学生思维，深化学生认知。“让学引思”不是将学生看成“等待填充的容器”，而是将学生看成需要“被点燃的火把”（普拉泰戈拉语）。“让学引思”让学生领悟知识本质，形成举一反三的学习样态。

“让学引思”是基于学生立场，顺应学生能力发展的教学范式。适度地让，有效地引，辩证处理好“让学”与“引思”的关系，赋予学生自主学习的时空，让学生自行探索，能够让学生的数学学习真正发生。学生的数学思维在这种“让学引思”教学中逐渐从低阶走向高阶。