“比”不同设计，“思”数形结合思想的渗透

杨熙

摘要：数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。本文通过教学案例的对比分析，探究在课堂教学中如何进行数形结合思想渗透的操作。

关键词：数形结合；互相参照；渗透

人教版六年级《数学》上册“数学广角”中新增添了《数与形》内容，因为是新内容，且笔者明白数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法，教材穿插此教学内容意义非同一般，因此我以《数与形》例1的教学内容为平台，开展了关于“数形结合”思想渗透如何操作的教学研究。

教学内容如下：（人教版《数学》第11册第107页例1）

一、[案例1]

三角形数的小故事引入后，教师指出还有一些数与各种各样的图形有着一定的联系，这节课就来研究“数与形”。

出示题目：1=（）2 ， 1+3=（）2、1+3+5=（）2，并提供磁性学具。

师：观察这些数，你能摆出什么样的图形，能让我们更容易看出算式中的各数以及计算的结果。

学生小组合作，多数小组摆出的图形如下：（图1）

1=（ 1 ）2 1+3=（ 2 ）2 1+3+5=（ 3 ）2

仅有一个小组摆出下图：（图2）

1=（ 1 ）2 1+3=（ 2 ）2 1+3+5=（ 3 ）2

教师指出图2更容易观察出算式中的各数及结果。

师：因此我们将象12、22、32这样的数叫做正方形数。你认为正方形数还有哪些？它们有什么规律？

生：42、52、62……有几个加数就是几的平方。

接着，按顺序完成书后练习。教师问得最多的问题是：你从图（或算式）中发现了什么规律？经过评课，再次研读教材，第二次试讲中呈现出了以下教学情景：

二、[案例2]

“三角形数”小故事的引入与揭题同案例1。然后，教师请学生在练习纸上完成以下“试一试”的内容：

教师巡视后，指名板书，呈现两种不同答案：

1=（1）2 1+3=（2）2 1+3+5=（3）2

1=（1）2 1+3=（4）2 1+3+5=（9）2

师：请同学们在小组里讨论2个问题：

第一：你认为黑板上的答案哪一种对，为什么？

第二：和同组的同学说一说：“试一试”中图与下面的算式有哪些关系。接着，教师走进小组中了解学生的发现。

交流汇报阶段，学生非常容易的说出第四个图是怎样的一个图？算式中的“+7”在图中加在哪里？

师：同学们的想法都很正确，说明你们一定是发现了图和算式中内在的规律。结合图和算式，说说你的发现。（教师自始至终、有的放矢抓住图或式两个角度来把握以下几点）

1、算式中的加数在图形中的哪里？请辅以手势。你还发现算式中的这些数都是我们学过的什么数？今天我们研究的算式都是从1开始的连续奇数的和。

2、如果不看算式，通过观察图，能不能得到“32”？是怎么得来的？

3、“32”中的3与这些加数有没有关系？有什么关系？请你再根据图说说算式中22怎么得来的？22中的2是指什么？又怎么想到是4的平方的？

（4）拓展：像这样的第五个算式会是什么，和是多少？像这样的第十个算式和是多少？如果是从1开始的N个奇数相加呢？

师小结：同学们从数和形两个角度对本题进行观察和思考，发现了从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。像这样的数，叫平方数，也叫正方形数。在数学学习中，需要我们经常看看图、想想数，以形助数，以数辅形。

学生进行同类题型练习后，教师引导学生回忆在小学阶段还有哪些数形结合的例子。如借助米尺进行小数的认识；用数对表示位置；借助线段图来分析应用题的数量关系……

对比案例1和2的設计、课堂、效果，我通过这一节课体会到“数形结合”思想的渗透具体操作时需要侧重关注以下几个要点：

1、课的定位是核心问题

通过观察题目和课堂反应，发现孩子们结合1是12、4是22、9是32……很容易推出42、52、62……因此，正确填写例1中的算式并无难度。那么，这节课如何定位就显得很重要。是一节简单的找规律的课？还是如题目“数与形”所示希望渗透数形结合思想？如果力图体现数形结合，是不是让学生动手摆一摆，感知数与形是对应的？就在这种不确定与迷糊中，有了第一次试讲——案例1。评课时，问题凸显：根据算式，设计图形的意义何在？作为教师，我们也想不到图2这样的摆法，学生更不会想到。如果摆一摆就为了体现数形结合，是不是太牵强？如果按照找规律的思路教学，为什么对学生如何发现规律没有方法的指导和总结？规律的揭示为什么只停留在数本身，没有进行通式（字母）的提炼？本节课的教学为中学找规律的课提供了什么数学活动经验呢？教师主导作用太明显……大家的问题尖锐而多，但其实都是直指本节课的定位问题。

再读教材和《教师教学用书》，后者指出：《数与形》例1，是通过数形结合，让学生探索从1开始的连续奇数之和与“正方形数”（即平方数）之间的关系。

案例2的定位，即借助找规律，通过数与形的对照，利用图形（正方形）直观形象的特点表示出数的规律（12、22、32……）——借助于“形”的直观来理解抽象的“数”——以形助数、运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征——以数辅形。真正的体现了“数形结合”的思想方法。后面的练习中，进一步突显数与形相对照，“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来，更利用问题的解决。因此，课的准确定位为这节课奠下了重要的基石，它决定了往哪里去的问题。

2、巡视的细节很重要

可怎么去呢？“学生主体、教师主导、独立思考、动手实践、合作交流……”这些课标中的时髦词语如何能真正在我的课中生根，并实在的为我的课堂服务，让孩子们自觉自发的去寻找渴求的知识答案？经过多次试讲、体会与思考，发现“有的放矢”的课堂说起来简单，做到难啊！其中巡视的细节就更容易被大家忽视。

大家理解的巡视，一般的——在学生间来回走动，装装样子；实在点的——给个别学生以指导，辅导辅导后进生；好的——了解一下多数学生的情况，心中有数。其实，最后一种巡视才是有效的。以案例2为例，例1教学中为了更好的渗透“数形结合”，无论是对“数”还是对“形”的规律的探讨都是相对照的，随着观察角度不同，发现规律的描述也不一样，因此作为施教者定要各种思路、描述及如何启承转后成竹在胸，但不能大放厥词，应是大胆放手让学生去探索、去表达。可是找哪位同学，他会说出什么规律？说到什么程度？教师就是应在刚才的巡视中了解到的，这样才能在学生的发现中帮助他们完成启承转接的工作。基于这样的巡视，后续的学生与教师之间的交流才能更为默契与灵动，让一切引领都不着痕迹，知识的传授也是水到渠成。这样的课堂看似无力，实则用心，让人很舒服。

3、拓展与应用是灵魂

去哪儿？怎么去？都解决了。可为什么要去呢？——为什么要学习“数与形”呢？这节课到底要传递给学生什么？我做到了吗？这样一问一想，觉得案例1的设计中还少一些东西。于是案例2出现了对小学数学中应用数形结合思想方法的回顾：同学们能想起在我们小学阶段有哪些数形结合的例子？学生们通过回忆，意识到数形结合的例子很多很多，回忆过往，联系现在，进一步明确：确实是在探究数的规律遇到困难时，可以通过直观图示发现规律；研究图形时，可以用数字阐释图形中隐藏的规律。这一补充，让课的设计显得更周全了。

三、结语

通过这次对“数与形”例1的教学探索，深切体会到数学家华罗庚提到的“数形结合”：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”它简明扼要的说明数形结合的重要性。也正因为它重要，就更需要我们在日常教学中重视像“数形结合”等有关数学思想方法的教学，让数学思想扎根于学生的头脑，让它们更好的为数学学习服务。

参考文献：

[1]李兵双.对数感及其数学的思考[J].数学大世界（中旬版）.2017（5）.

[2]黄南京.培养小学生数感的实践研究[J].数学大世界（上旬版）. 2017年（1）.

[3]陈万勤.小学生数感的培养[J].学周刊. 2017（4）.