理清知识发展能力——《长方体和正方体整理与复习》教学实践与思考

张 麟

【教学内容】

浙教版五年级下册第四单元。

【教学过程】

一、梳理知识，形成网络

1.交流梳理方法。

（课件呈现点动成线、线动成面、面动成体的动画）

师：点、线、面、体是我们学习图形知识中非常重要的元素，动画最后形成的是一个什么形状？

生：长方体。

师：长方体是我们今天的主角，要复习已经学习过的长方体知识，可以从哪些方面来整理？

生：可以从顶点、棱、面、体这些方面进行整理。

生：可以利用表格进行梳理。

2.梳理长方体知识。

师：请把学过的有关长方体的知识整理在表格中，比比谁整理得好。

（学生展示汇报，在课件中整理得到下表）

师：怎样记忆这些知识呢？

生：我们可以利用长方体的特征来理解公式，比如因为相对的4条棱都相等，所以才有了棱长总和的计算方法；因为相对的面完全相同，所以就有了表面积的计算公式。

3.梳理正方体知识。

师：我们都知道正方体是特殊的长方体，说一说在哪些方面比较特殊呢？

生：它的每一条棱长度都相等，所以棱长总和等于“棱长×12”，体积就是棱长的三次方。

生：它的6个面是完全相同的正方形，所以表面积等于“棱长×棱长×6”。

师：因为正方体的每条棱都是相等的，所以相关的计算都可以变得简单些。

【设计意图：通过顶点、棱、面、体这四个方面让学生自主地对长方体知识进行整理，尝试让学生理解特征与计算公式之间的联系，使学生原有的点状分布的知识连成片，减轻记忆负担。通过说一说正方体如何特殊，从而联系长方体的知识来理解正方体的相关知识，同时进一步理解正方体是特殊的长方体。】

二、解决问题，查漏补缺

1.加单位，想物体。

师：请给下面长方体或立方体的数据加上单位，并想象它可能是生活中的什么物品？（出示课件）同学说了之后，大家都要想一想是否合理。

生：正方体加分米，可能是个魔方。

生：长方体加米，可以想象成一个冰箱。

生：正方体加厘米，可以是一块方糖。

生：长方体加分米，可能是一个电脑的机箱。

……

（根据学生的回答，请全班进行想象判断）

师：知道这两个是什么物品吗？（出示课件）

师：现在要加什么单位呢？

生：鱼缸加米比较合适，饼干盒加分米。

2.议问题，辨难点。

师：关于这两个物体有一些问题，你能帮助解决吗？

课件出示相应问题：

（1）制作这样一个鱼缸至少需要多少玻璃？鱼缸最多能装多少升水？

（2）饼干盒一周贴上标签，至少需要用多少纸？

（学生独立完成后，教师通过投影展示一位学生的练习纸，请其他学生进行评价、修改）

师：这两个问题中哪些地方是需要我们注意的？

生：鱼缸有五个面，计算的时候要注意。

生：第一个问题是最多能装多少升水，这里计算出的单位是立方米，还要乘1000把单位转化成升。

生：饼干盒是计算侧面的面积，上下两个底面不能算。

师：饼干盒的侧面积你们是怎么算的？

生：先用公式计算出表面积再减去两个底面。

生：先算出一个面的面积再乘4。

师：为什么可以这样算？

生：因为底面是一个正方形，所以4个侧面都是一样的。

生：还可以用1×4×2来计算侧面积。因为侧面展开是一个长方形，底面周长就是长方形的长，高就是长方形的宽。

（教师利用课件动画展示将侧面进行展开，帮助学生理解）

师：解决完这两个问题，以后在解决类似问题时有什么要提醒大家的？

生：要看清题目意思，弄清楚到底要算几个面。

生：要注意题目中的单位，单位不一样要进行统一。

【设计意图：通过加单位猜物品这样一个开放的环节，增强了学习的趣味性和学生的参与度，同时通过多次的想象判断，培养了学生的空间观念。通过解决两个带有实际情境的问题，将学生的易错点暴露出来，在辨错、议错、纠错的过程中进一步查漏补缺。】

三、巩固提升，发展能力

1.思考最大的面。

师：王师傅想做一个无门的长方体木柜，其中的两块木板已经做好了，是下图这样的。

师：这个柜子最大的面是哪个面？

生：是B面，因为B面比A面要大。

生：我觉得不对，应该选C面。

师：选C面的同学举手。这里只有A面和B面，怎么会有C面呢？

生：把A、B两个面拼起来，这样就会有一个C面，它的长是4dm，宽是3dm，是最大的面。

师：刚才没有想到C面，但现在想到的同学请举手。看来还有一部分同学没有想到，没有关系，我这里有一块A面，有一块B面，谁来让大家都能想到这个C面。

（请一位学生上来操作拼的过程，让每位学生能够想出C面）

师：那么这个C面是一定存在的吗？

生：一定存在的，因为是无门的衣柜，就算少的那面是C面，但是还有1面C是肯定存在的。也有可能两面C都在，所以C面一定在的。

师：那么这个C面还能比长4dm，宽3dm的面更大吗？

生：不能大了，因为A面和B面一拼，这个长方体的长、宽、高就已经确定了，不能再大起来了。

【设计意图：通过思考判断无门木柜中最大面的环节，个性化地培养学生的空间想象能力，学生参与度高。通过“最大面一定在吗？还可以更大吗？”两个问题的追问，让学生不断进行想象推理，在培养空间观念的同时进一步理解“长、宽、高”的意义。】

2.思考不同形状。

师：这个木柜的体积是多少？

生：2×4×3=24dm3。

师：如果体积不变，这个柜子还可以做成什么形状？

（学生独立思考，将自己想出的形状记录在练习纸上）

师：用手势告诉老师想出了几种？（请学生汇报）

生：想出了三种，长24dm，宽和高都是1dm；长8dm，宽3dm，高1dm；长6dm，宽2dm，高2dm。

师：有补充吗？

生：还有长 12dm，宽 2dm，高1dm；长6dm，宽4dm，高1dm。

师：怎样快速想到这些形状？

生：三个数的乘积是24就可以了。

师：还有没有其他形状？

生：我做成了底面是三角形的一个柜子。

（展示学生画的图形，图略）

师：这个是否可以呢？要解释这个问题，我们可以先回顾一下长方体的体积公式是怎么得到的。

生：我们是用小立方体块去摆的，长就是一排摆几个，宽就是摆了几排，高就是有这样的几层，长宽高相乘就是一共有多少个小立方体。

（课件展示学生表述的过程）

小立方体测量长方体

师：那底面变成三角形了，是否还可以呢？（课件出示图形）

底面为直角三角形的三棱柱

生：可以，它的底面积是2×6÷2=6dm2，高是 4dm，6×4=24dm3。

师：为什么可以这样算呢？

生：用“底面积×高”可以计算出体积。

师：为什么“底面积×高”就能算出体积呢？谁能来解释？

生：我们也可以用小立方体去摆，只是现在底面是三角形，先当成长方形的摆，摆完之后再切一半就可以了。

（教师通过课件演示）

小立方体测量三棱柱

师：这里的底面积和高分别相当于什么呢？

生：底面积相当于一层能摆几个，高相当于摆了这样的几层。

师：那底面变成梯形可以吗？（出示课件）

底面为梯形的四棱柱

生：可以，底面积是（2+4）×2÷2=6dm2，相当于一层可以摆6个，高是4，就是摆了这样的4层，一共就是有24个小立方体。

师：谁能来说一说你对“底面积×高”有什么新的理解？

生：直直的柱体我们都可以用“底面积×高”来计算体积，底面积相当于一层的小立方体的个数，高相当于有几层。

【设计意图：通过思考体积一定时还能做成怎样形状的柜子这一环节，先想到长方体的形状，从无序到有序，发展了思维。再由长方体形状想到其他的直柱体，在培养学生空间观念的同时，也在复习长方体体积公式推导的过程中进一步形象地理解底面积乘高的意义，有了新的认识和收获，增加了思维的深度和广度。】

【课例评析】

小学数学单元复习的目的是引导学生深化对知识的理解，弥补学习过程中的缺漏，把学过的本单元知识进行梳理和沟通，从而更好地理解、掌握知识，发展数学思维和能力，提升学生学习数学的兴趣与信心，为进一步学习数学奠定更好的基础。可见，单元复习课教学效率的高低关系到单元目标任务是否能圆满完成，影响到学生今后在数学方面的发展。如何让复习符合学生的实际，充分发挥学生的自主性，让复习变得高效而不失学习兴趣，一直是一线教师探究的话题。本节课以《长方体和正方体整理与复习》为抓手、以自主复习为手段、以梳理知识提升能力为目的，做了一些思考与尝试。

一、基于学生认知经验的回顾梳理，增强学生思维参与度

整理是复习课必不可少的环节。复习课应根据知识的重点、学习的难点和学生的薄弱点，引导学生按照一定规律把已学的知识进行分类、梳理、整合，弄清它们的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识，使知识系统化。

本课的回顾整理环节充分体现了学生的自主性和能动性，由课前观看“点动成线、线动成面、面动成体”动画后，直接切入主题，讨论如何整理本单元的知识。根据学生的建议，在“点、棱、面、体”四个方面进行尝试整理，然后通过独立整理、同桌交流、全班汇报、分析知识点间的联系等环节，将原本零碎的知识点连成了片，增强了对知识的理解，减轻了记忆负担。

二、基于学生解决问题的反思自省，让思维过程可视化

查漏补缺是复习课的一项重要功能。查漏补缺的前提是要知道学生缺在哪里，漏在何处？只有针对性的查漏补缺才能形成高效的复习。

在本课中教师选择恰当的实际问题为载体，在解决问题的过程中将这一单元最容易出现的错误暴露出来，比如“面积和体积混淆”“单位忘记换算”“算几个面判断失误”等常见问题。然后进一步对这些错误进行共同分析、回溯反思、同伴提醒等，对每个错误点都进行了细致分析并赋予一定的意义，不但达到了查漏补缺的目的，而且通过这些错例提升了学生的反思、辨析能力。

三、基于学生能力发展的拓展提升，促进学生深度思考

拓展与应用是复习课中的一项重要功能，可以达到温故而知新的效果。当然拓展方向的选择可以是多样的，可以是在知识的深度上进行突破，可以在知识的广度上进行联系，也可以在知识的实际运用方面进行强化，这些方向和维度可以根据不同的复习内容做出不同的选择。

在《长方体和正方体整理与复习》一课中，教师选择了在发展能力和知识理解深度两个方面进行了突破。通过给长、正方体加单位后想象是什么物品、无门的木柜已知两块木板的情况下想象最大的面的面积等环节，充分给予学生空间想象的机会，并进行想象策略的指导，从而进一步发展学生的空间观念。通过找相同体积的木柜环节，让学生进一步理解“体积=底面积×高”的含义，底面积相当于一层的小立方体数量、高相当于层数，从而为后续学习柱体的体积打下了坚实的基础。

小学数学单元复习课中，要根据学情有针对性地设计教学，充分发挥学生复习的自主性，“从学生中来，到学生中去”，让学生感觉复习课很真实也很有收获，这样才能让复习课更加合理、高效。