常见能量表达式中的惯性含义

吴书含

(中央民族大学附属中学 100081)

能量是物理学中十分重要的概念，描述着物质世界的运行规律，隐含着研究对象的性质和信息.从能量入手可以深刻地理解物理规律的本质.在高中阶段我们接触过多种能量，很多都是在变化过程中产生并积累的，例如质点运动动能、弹簧弹性势能、电容器静电场能和自感线圈中自感磁能.我们可以运用功能转化关系并借助做功数值导出其表达式.不过，在能量积累过程中研究对象的状态可能变化，类似恒力做功公式W=FScosθ这类恒定条件过程的结论是否适用需要讨论.对这类问题，我们通常将完整过程分解为无数个小段，即使从整体来看物理量是变化的，但是在小段内由于所涉及的时间和空间均很小，这些物理量可近似不变，高中阶段的公式和经验在特定小范围内可以应用.整个过程又可以看成是这些小段的积累，将全部小段内做功相加即得到全过程做功，再借助功能转化关系可以求出能量的表达式.在这种“微元法”的思维下，高中常见能量表达式得到了研究，并指出了各能量表达式中隐含的惯性含义.

一、质点的动能

描述质点机械运动的能量称为动能，当质点速度为零时动能为零，而当质点速度不为零时，其表达式可以通过动能定理得出.动能定理指出质点动能改变量等于外力做功大小.外力既可能是恒力也可能是变力，若将整个过程分解为无穷多小段，在每一小段中均可认为外力大小恒定，则第n段中外力做功可表述为

ΔWn=FnΔsn

其中Fn是第n段中外力的大小，Δsn是第n段的小位移，数值趋于零.根据牛顿第二定律

其中an、Δvn和Δtn分别是第n段的加速度、速度改变量和时间，Δvn和Δtn均趋于零但比值不为零.第n段做功改写为

vn为第n段内质点的速度，由于Δvn趋于零，vn近似为常数.画出mv-v的图象得到一条斜率为m的直线，如图1所示.

图1

将v=0至v=v0范围分成无穷多份，第n份中图象与横轴围成小长方形且面积为mvnΔvn，与第n段外力做功数值相等.其他小段结论与第n段结论相似.若初始时质点速度为零，外力作用后末速度为v0，则对于整个过程，外力做功大小等于每一小段做功之和，数值等于所有小段对应面积之和，即与图中标示的三角形面积数值相等.整个过程外力做功为

除了动能，常见的能量还有弹簧弹性势能、电容器中静电场能以及自感线圈中自感磁能.下面利用与讨论动能相同的方法推导它们的能量表达形式，并揭示它们包含的各种形式的“惯性”.

二、弹簧弹性势能

一端固定的弹簧，另一端受到沿弹簧轴线方向的外力作用而发生形变，其内部有弹力的作用，具有弹性势能.轻质弹簧缓慢伸长过程中，外力做功数值等于弹性势能增加量.对于轻质弹簧缓慢伸长这一情况，外力大小与弹簧弹力大小相等，外力是一个变力，其做功不能应用恒力做功公式.如果将这一过程分解为无穷多个小段，每一小段弹簧伸长量趋于零，在小段内弹力可以近似为常量.第n段外力做功表示为

ΔWn=FnΔxn

其中Fn是第n段中外力的大小，Δxn是第n段形变量，数值趋于零.根据胡克定律Fn=kxn，第n段做功改写为

ΔWn=kxnΔxn

画出kx-x的图象将得到斜率为k的直线，与图1的图象类似.仿照动能讨论，将kx-x图象横轴分解为无穷多小份，其中第n份图象与横轴围成的面积为kxnΔxn，与第n段外力做功数值大小相同.对于弹簧从原长缓慢伸长到形变量为x0这一状态，外力做功数值与这个形变范围内图象与横轴围成的面积相同，表述为

三、电容器中的静电场能

对于电容为C，初始两极板不带电的电容器，经外力做功搬运电荷使两极板间产生电势差U0.外力做功转化为电容器存储的静电场能，通常取初始电势差为零时静电场能为零.欲推导静电场能的表达式，需求解该过程中外力做功，再利用功能转化关系求得.随着两极板间电势差逐渐增大，外力搬运相同电荷所做的功不同.若将整个过程分解为无数个小段，在每一小段中两极板电势差变化量趋于零，两极板电势差近似不变.在第n段中，外力做功

ΔWn=UnΔqn

其中Un是第n段内两极板间电势差，Δqn为该段内搬运的电荷量，根据电容的定义式得出Δqn=CΔUn，ΔUn为该段内电势差改变量趋于零.代入第n段做功表达式得出

ΔWn=UnΔqn=CUnΔUn

画出CU-U的图象将得到一条斜率为C的直线.与前方讨论类似，若将横轴分成无数个小份，第n份中图象与横轴围成的面积等于第n段外力做功大小.对于初状态不带电，末状态两极板间电势差为U0的电容器，外力在整个过程中做功大小等于在横轴相应范围内图象与横轴围成的总面积

四、自感线圈中的自感磁能

自感线圈由于自感作用，线圈中电流变化会产生自感电动势，若线圈中电流由初始为零增大到末状态I0的过程中，电荷通过线圈需克服线圈自感电动势做功，该过程使得电荷的能量转化为线圈的自感磁能.在电流逐渐变大的过程中，相同时间内通过的电荷量不同，转化为自感磁能的数量不同.将整个过程分解为无穷多个小段，每一小段中电流改变量趋于零，电流近似为常量.但是在相同的小段内时间也趋于零，趋于零的电流改变量与趋于零的时间比值不为零，即自感电动势不为零.第n段中电荷通过线圈克服自感电动势做功

ΔWn=εnΔqn

画出LI-I的图象将得到一条斜率为L的直线.与前方讨论类似，将横轴分成无穷多份，第n份中图象与横轴围成的面积等于第n段做功数值.对于电流由初始状态为零增大到末状态为I0的过程，电荷克服自感电动势做功等于图象与横轴围成的总面积

五、总结

参考文献：

[1] 李刚.弹性势能表达式的推导方法[J].中学物理教学参考，2007,36(6):12.

[2] 袁俊.探究电容器中的能量计算问题[J].中学物理，2015,33(3):62.

[3] 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程电磁学篇[M].合肥：中国科学技术大学出版社,2014:450-453.