问题引领思维对话 探究提升核心素养*——“直线与平面垂直(第1课时)”课堂实录与思考

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(南京市第二十九中学,江苏 南京 210036) ●张云飞 (南京市第十二中学,江苏 南京 210011)

问题是思维的源泉，以问题为教学的抓手，将“学生发展为本”的理念融合到教学设计中，在问题的驱动下引领学生思维，促进师生对话，在交流互动中让学生理解、感悟，并主动、自觉地融入数学课堂.数学教学设计就是引起、维持和促进学生思维活动的设计，应基于“理解数学、理解学生、理解教学”，以“学”定“教”，引发学生主动进行知识建构、方法探究，实施有效的迁移应用，进而实现核心素养的提升[1].

直线与平面垂直是联系直线与直线垂直、平面与平面垂直的桥梁，也是高考命题的重要知识点之一，因而本节课是本章教学内容的重中之重.在《普通高中数学课程标准(2017年版)》中，特别强调提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(简称“四能”)，结合数学核心素养，通过问题引领学生思考、交流、探究，并激发学生的学习潜能，以此获得较高的教学效益.

着力于以问题引领思维对话的“直线与平面垂直(第1课时)”教学设计是笔者的粗浅实践，以期各位同行批评指正.

1 教学过程

1.1 温故知新，导入课题

师：直线和平面的位置关系有几种？

生(众)：3种位置关系.

(教师指导学生用实物演示给大家看.)

师：请大家回顾一下,我们已经学习了直线与平面平行的哪些内容？

生1：它的定义、判定定理和性质定理.

师：直线与平面平行是直线与平面的一种特殊位置关系，还存在其他的特殊位置关系吗？

生(众)：垂直.

(教师板书课题.)

师：类比“直线与平面平行”的学习，“直线与平面垂直”要学习哪些内容呢？

生2：直线和平面垂直的定义、判定定理和性质定理.

师：借助于研究“直线与平面平行”的路径和方法，下面我们来研究“直线与平面垂直”的相关内容.

设计意图通过问题帮助学生回顾、复习、巩固已经学过的知识，让学生动手操作演示直线与平面的各种位置关系，增强学生的空间感，促进学生对直线与平面位置关系的理解.借助问题的递进性、关联性以及与直线与平面平行内容的对比等，指明所要研究新课题的内容、路径和方法.

1.2 设置情境，感悟垂直

情境1在现实生活中，有许多与地面垂直的建筑物，请学生举例.

师：大家能否“就地取材”，用我们手中的笔和桌面摆出它们垂直的样子？

(给学生观察和动手操作的机会，进一步了解直线与平面垂直的结构特征，进而让学生直观感知直线与平面垂直．)

情境2有没有与地面不垂直的建筑物呢？请学生举例.

(教师让学生观察比萨斜塔，并以此为例，在追问中让学生感悟垂直的定义.)

师(追问1)：为什么感觉斜塔与地面不垂直？

教师让学生继续动手操作，当笔表示的直线与桌面表示的平面不垂直时，桌面上放一些笔表示直线，学生会发现桌面上的笔所在的直线与平面外笔表示的直线不一定垂直，让学生观察和直观感知直线与平面不垂直的情境.同时教师引导学生观察三棱锥模型，侧棱与底面不垂直，进而也能找到底面上也有其他的直线与侧棱不垂直，通过不同的视角促进学生对直线与平面垂直本质的理解.

师(追问2):有了对直线与平面垂直情境的了解，大家能否从数学的视角用数学语言描述垂直呢？

教师引导学生回顾如何用数学的语言来定义直线和平面平行、如何用数学的方式刻画直线与直线平行实现直线与平面平行……通过类比和联想，启发学生思考，进而研究直线与平面垂直的关系.

师(追问3)：能否用已知的“直线与直线的垂直关系”刻画未知的“直线与平面的垂直关系”呢？

通过教师的追问，激发学生思考，借助于讨论比萨斜塔与地面不垂直的原因，从反面例子研究垂直，从而引导学生把握直线与平面垂直的本质.

设计意图让学生列举直线与平面垂直的生活实例，直观感知“线面垂直”，从而归纳出它们共同的特征，为概念的形成作好铺垫，再借助“比萨斜塔”的“斜”启发定义.通过正反例子的比较，引发学生的认知冲突，更真切地暴露学生的思维过程，加深学生对概念本质的理解.

1.3 借助模型，建构定义

图1

师：如图1，观察圆锥SO，它给我们以“轴SO垂直于底面”的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？

生3：轴SO垂直于底面内的所有半径.

师：为什么？

(教师让学生独立思考、合作交流，再让学生用几何画板演示，进而阐述猜想的合理性.)

师：旋转△SOC，SO与OC的位置关系是怎样的？

生(众)：垂直.

师(追问)：随着△SOC旋转，SO与OC的位置关系会发生改变吗？

生4：不会，SO所在的直线始终与底面上任意一条过点O的直线垂直.

师：SO所在的直线与底面上任意一条不过点O的直线的位置关系又是怎样的？

生(众)：垂直.

师：为什么轴SO垂直于底面内所有的半径，就有SO垂直于底面内的所有直线呢？

生5：由于圆锥SO是由Rt△SOC绕直角边SO旋转一周形成的，因此轴SO与底面内的每一条半径垂直，从而轴SO垂直于底面内的所有直线.

设计意图通过具体的实例和直观演示，让学生探索想象直线与平面垂直的形态是客观存在的，再设计一些层层递进的问题.在教师的追问中，学生渐渐明白研究问题的思路和方法，即用线线垂直研究线面垂直，同时学生理解了“降维”思想在立体几何中的运用.

1.4 理解定义，深化认识

师：请大家思考，如何用数学的语言定义“直线与平面垂直”？

图2

(教师让学生独立思考，并请一个学生在黑板上画出直线与平面垂直的图示，如图2.)

生6：如图2，如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α．直线l叫平面α的垂线,平面α叫直线l的垂面,直线与平面的交点B为垂足．

师：很好.

(教师给予鼓励和评价，让学生看课本，学习用规范的语言表述定义.)

接着，教师让学生思考下列两个命题是否正确？并说明理由.

1)若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则该直线垂直于这个平面;

2)若一条直线垂直于一个平面，则该直线就垂直于这个平面内的所有直线.

师(追问)：定义中“任意”的含义是什么？等价于“无数”吗？

(教师给学生足够的时间，让学生思考和交流.)

设计意图学习是一个主动建构知识的过程，在这个过程中不是被动接受课本上的现成结论，而是一个主动参与和自主探索的思维活动.通过对概念的辨析，深化对概念的理解，促进学生的深度思考，锻炼思维的严谨性.

1.5 探究交流，获得猜想

师：工人师傅是怎样检验旗杆与地面垂直的？

(教室里很安静，学生开始思考问题，不一会听到同桌间的讨论声……)

生7：可以用线面垂直的定义来检验.

(好多学生点点头，表示赞同生7的想法.)

师(追问)：工人师傅具体是如何操作的？

(学生又安静下来，这时笔者听到有学生说不是太好操作……)

师(提示)：工人师傅有专用的检验工具——直角尺，大家知道他是怎么使用该工具的吗？

生8：用直角尺的一条直角边贴合地面，将直角尺竖直，看另一条直角边是否贴合旗杆，选择几个不同的方向重复做几次.如果另一条直角边和旗杆都贴合，那么旗杆所在的直线与地面是垂直的.

师：很好，看来生8的生活经验很丰富.

(大家给生8鼓励的掌声，然后教师再让学生观看工人师傅检验旗杆与地面垂直的视频.接着让同桌两名学生作为一组，做旗杆与地面垂直的模拟实验，一名学生将铅笔竖在桌面上不动，另一名学生用直角三角板模仿工人师傅的做法，检验铅笔所在的直线与桌面是否垂直.)

师：用定义来检验，要不要再多重复几次？

生8：不需要，也不可能去做无数次.再重复操作几次其实效果是一样的，只要在地面上找到一条直线与旗杆垂直就行了.

师：大家同意生8的观点吗？

生：不同意，否则比萨斜塔就和地面垂直啦.

师(追问)：一条不够，要几条呢？

生9：找两条直线让它们都和旗杆所在的直线垂直.

师：你们同意吗？

生10(补充)：所找的两条直线必须是相交的.其实选择两条相交直线，也就是从两个不同的方向操作.

(大家给生10赞许的掌声，然后让学生继续操作刚才的模拟实验，现在只要做两次，再感悟线面的垂直关系.)

师：通过刚才的模拟实验，能得到什么结论？

生11：一条直线垂直于平面内的两条相交直线就可以得到一条直线垂直于这个平面.

设计意图通过旗杆与地面垂直的分析，引导学生思考“为什么用定义判断不方便”，给学生动手实践的机会和时间，获得猜想.通过从具体到抽象的辨析过程，不但增强了学生的空间想象能力，更重要的是提升了学生的思维水平和能力.

1.6 启发引导，形成定理

师：请大家拿出事先准备好的三角形纸片，如何折叠，才能使折痕与桌面所在平面垂直？

(同桌两名学生作为一组，一名负责操作和演示，另一名负责观察和记录操作步骤.)

图3

生12：如图3，只要保证折痕AD垂直于角A的对边，就会有AD⊥BD，AD⊥CD，即满足从两个不同的方向看都与折痕AD垂直于点D．

师：为什么将BD和DC换到其他位置，折纸还能立在桌面上.

(教师一边让学生带着问题思考，一边让学生操作，最后选择一组来谈谈自己的理解.)

生13：刚才分析的圆锥模型和这个模型原理是一样的，将BD和DC换成其他的位置，其实是Rt△ADB或Rt△ADC绕直角边AD旋转而得到的，显然AD垂直于桌面所在平面内过点D的任何一条直角边，从而AD垂直于桌面所在平面内的所有直线.

(生13联想类比圆锥模型，并给予合理的解释，其他学生也深受启发，为把握“直线与平面垂直判定定理”的本质奠定基础，同时，教师用几何画板动态演示上述情境，增进学生对上述情境本质的理解.)

师：在同一平面内从两个不同的方向看，如何用数学的语言描述和表达?

生(众)：两条直线相交.

师：同学们回答得很好!通过我们的直观感知和动手操作，可以用“两个不同的方向”替代“每一个方向”，也就是说和我们的定义相吻合了，为我们判断直线与平面垂直找到一个更简洁的途径，能否用数学的语言总结一下这个结论？

生14：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

师：很棒！这就是直线与平面垂直的判定定理，该定理中有哪些需要我们特别关注的关键词呢?

生14：平面内、两条相交直线．

师：如图4和图5，哪一个作图更具有一般性？

生15：图4.

师：为什么？

图4 图5

生16：在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直是应用定理的关键，与两条相交直线和已知直线有无公共点没关系．

师：该定理也是由“线线”垂直得到“线面”垂直，它和定义有何不同？

生17：定义中“所有的直线”简化成判定定理中的“两条相交直线”.

师：由此可见，“线不在多，相交则行”，你会选择哪种途径判断直线与平面垂直？

生18：判定定理.

师：为什么？

生18：判定定理比定义更容易操作和表达.

师：非常好，它体现了“降维转化”的思想.

设计意图通过折纸的实验和几何画板动态演示，在教师引导和师生对话中，比较判定定理和定义在数学语言描述中的区别，培养学生的迁移能力，增进学生对判定定理本质的理解；同时引导学生根据“直线与平面垂直的判定定理”的文字语言，作出图形，最后用符号语言表达，从而培养学生直观想象、数学抽象等素养，提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.

1.7 应用举例，深化理解

师：如果让你检验旗杆是否与地面垂直，你会如何做？

图6

生(众)：当然选择判定定理了.

师：直线与平面垂直的判定定理能为我们解决生活中很多与线面垂直的相关问题，可见学数学是很有用处的.

例1如图6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面C1BD.

设计意图通过再现生活中的实例，增强学生的应用意识和激发学生的学习兴趣，从而认识数学的科学价值、应用价值等.由于学生刚刚接触线面垂直的判定定理，因此教师选择学生熟悉的正方体作为例题模型.同时，教师不但给予引导还要给予示范，规范学生的书写和表达，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.

1.8 反思回顾，提炼总结

判断直线与平面垂直的途径和方法有哪些？本节课你学到哪些处理数学问题的思想和方法？对于本节课内容的学习你还存在哪些疑问？

(让学生回顾、归纳、交流和反思，教师进行适当的引导、提示和补充.)

设计意图通过课堂小结让学生养成独立思考问题的习惯，不断树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，同时在归纳和反思中不断加强学生的学习规范化和系统化.

2 教学思考

教师对教学进行问题化设计，以问题为起点、以问题为载体、以问题为抓手，在活动探究和交流中萌发学生的学习动机和欲望，形成积极主动的学习态度，真正让学生成为信息加工的主体和知识的建构者，在问题探究和解决的过程中提升学生的数学核心素养.

2.1 问题引领，关注生成，培养数学核心素养

在立体几何的教学中，通过设置情境，激发学生的问题意识，在问题解决的过程中培养学生的空间想象能力和推理论证能力.课堂教学以生为本，为学生搭建思维的平台，为培养学生的数学核心素养找到支点.特别是对概念的教学，不仅要认真准备课前的问题进行“静态设计”，还要在“动态生成”中贴近学生的认知规律去解决问题.比如本节课让学生经历了判定定理的发现、形成、验证的过程.在学生的最近发展区内设计问题，调动学生探究的欲望，在教师的引导下思考问题，在交流互动中解决问题，让学生不仅获得本节课要学习的重点内容，而且获得了学习数学知识的过程体验以及对问题本质的理解，从而为培养学生的数学核心素养创造条件和奠定基础.

2.2 问题引领，注重思维，提升数学核心素养

苏联教育家加里宁曾说过：“数学是思维的体操.”通过设计一系列问题，层层深入，以此诱发学生的求知欲，通过对问题情境的分析、对问题求解途径的探究，从而暴露学生思维的过程，这对提升学生的数学核心素养具有促进作用.数学教学应顺应学生思维发展的规律，教师要把培养学生自己“发现和提出问题”的能力作为一项重要的任务来抓，关键是要把它落实在课堂上.因此教学过程中要放慢节奏，把第一思考时间还给学生，把动手操作机会让给学生，把第一表达机会让给学生，把回顾反思机会让给学生.同时问题的设计一定要贴近学生的思维，问题的呈现不仅为学生提供思考的素材、思考的方向，更为学生提供思维的动力.比如本节课在教师的组织和引导下，不仅让学生获得直线与平面垂直的判定定理，更让学生获得一种数学方法和数学思想.在动手操作中，感悟问题情境；在交流对话中，深化问题理解，以此提升学生的数学核心素养.

[1] 陈柏良.追寻更有价值的学与教——对一节省优质课教学设计的改进[J].中学数学教学参考：上旬，2016(6)：41-43.