围压与径向荷载共同作用下巴西盘裂纹应力强度因子的解析解

，

(大连理工大学 土木工程学院，大连 100084)

1 引 言

随着现代煤矿石油开采深度的增大以及考虑到放射性废弃物的安全储藏，需要研究深部岩石的力学性质。深部岩石在地下往往承受围压荷载作用，因此，有必要研究岩石在围压作用下的断裂特性。岩石在围压作用下，裂纹将发生扩展，当岩石所承受的压应力大于裂纹面闭合应力时，岩石原有裂纹面将发生闭合现象。李世愚等[1]提出了受压闭合裂纹的两个特性,(1) 由于闭合裂纹面之间的物质不可侵入性，使得裂纹只能产生滑动，从而形成剪切型裂纹；(2) 裂纹面闭合后将产生相互摩擦作用，由于摩擦本构关系的复杂性，使得裂纹面之间相互作用成为高度非线性问题，同时还影响到裂纹端部的扩展。应力强度因子是断裂力学中的重要参量[2]。含预制中心裂纹巴西盘试样常用来研究复合(I～II)型裂纹问题并测试样品的断裂强度因子[3,4]，通过改变荷载施加方向与裂纹面之间的倾角，可以得到不同裂纹类型下的应力强度因子，且在不同裂纹长度条件下，裂纹表面产生纯II型裂纹的裂纹倾角不同[5]。因此，该试样广泛应用于岩石等脆性材料的应力强度因子测试。Ayatollahi等[4]利用有限元法计算了巴西盘试样裂纹尖端的应力强度因子，但主要针对的是I型裂纹。文献[6，7]利用权函数法来计算裂纹尖端应力强度因子，但没有考虑围压的影响，并且没有认识到裂纹闭合后裂纹面间拉应力消失以及裂纹面之间摩擦力的影响。Atkinson等[8]提出了考虑裂纹面摩擦力的KII计算方法，但没有给出具体的解析解公式。文献[9，10]利用含中心预制裂纹的巴西盘试样和液体加压装置测试了围压和径向荷载作用下裂纹尖端的应力强度因子，但是仍然采用文献[8]的计算公式，同样没有考虑围压和裂纹面闭合后摩擦力的影响。徐积刚等[11，12]虽然计算了围压对应力强度因子的影响，但是认为围压对II型应力强度因子没有影响，其合理性与正确性有待商榷(其未考虑裂缝的闭合)。Dorogoy等[13]通过有限差分法利用J积分和位移相关法求解径向荷载作用下的应力强度因子，但没有给出考虑摩擦力的解析解。

求解应力强度因子的方法有三大类,解析法、数值法和实测法[14]。Bueckner[15]应用权函数的概念提出了Bueckner原理，对于一定形状的含裂纹构件，其权函数是唯一的，与外荷载的作用形式无关。若已知某裂纹体的权函数，那么在任意荷载作用下，该裂纹体的应力强度因子都可以利用权函数求得解析解。Fett[16]利用权函数法计算了部分闭合裂纹在复杂荷载作用下考虑裂纹面闭合，并引入裂纹面有效剪应力时的II型应力强度因子。本文在Fett[16]的研究基础上，利用权函数法求解围压和径向荷载作用下，考虑裂纹面摩擦的含预制中心裂纹巴西盘试样的应力强度因子的解析解，并与有限元数值法计算结果对比以验证本文解析解的正确性；分析了裂纹闭合后考虑裂纹面摩擦情况下，围压和径向荷载对应力强度因子的影响。

2 摩擦与围压双重作用下强度因子

2.1 完整巴西盘应力分布

图1所示为完整巴西盘承受围压作用，根据弹性理论[17]可得，在中心极坐标下的应力分布为

σr=-σc，σθ=-σc，τr θ= 0

(1)

图2所示为完整巴西盘承受径向荷载作用，在中心极坐标下的应力分布为[18,19]

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中A1i=icos(2iθ)-icos[2(i-1)θ]

(7)

A2i=isin(2iθ)-(i-1)sin[2(i-1)θ]

(8)

式中i=1,2,3，…，n。

图1 承受围压作用的巴西盘

Fig.1 Disk subjected to confining pressure

图2 承受径向荷载作用的巴西盘

Fig.2 Disk subjected to diametrical force

2.2 径向荷载作用

含预制中心裂纹的巴西盘试样模型如图3所示。裂纹面闭合后相互接触，此时需要考虑裂纹面之间产生的摩擦力。裂纹面上的有效剪应力[16]如下，

(9)

式中μ为裂纹面的摩擦系数，τr θ在0°～90°范围内为正值。

利用权函数法求解裂纹尖端应力强度因子。由式(9)可知，在裂纹闭合情况下求解应力强度因子需要利用有效剪应力，权函数的表达形式为[20]

(10)

(11)

式中σθ(x)和τeff(x)分别为完整巴西盘的应力状态，由式(1～4)求得；KI和KII分别为I型和II型裂纹的应力强度因子；hI(x,a)和hII(x,a)分别为I型和II型裂纹对应的权函数。

含预制中心裂纹巴西盘试样权函数[20]为

(12)

(13)

式中

C0= (8-4α+3.8612α2-15.9334α3+

(14)

C1= (-8+4α-0.6488α2+14.1232α3-

(15)

D0= (5-2.5α+1.4882α2-2.3766α3+

(16)

D1= (-4+2α+0.4888α2+0.81112α3-

(17)

式中α=a/R。

图3 承受围压和径向荷载共同作用的中心裂纹巴西盘

Fig.3 Central cracked Disk subjected to confining pressure

and diametrical force

对于径向荷载作用下含预制中心裂纹的巴西盘试样，将式(5～9,12～17)分别代入式(10,11)可得径向荷载作用下的裂纹尖端应力强度因子为

(18)

(19)

式中

(i= 1,2,3,…,n)

(20)

(i= 1,2,3,…,n)

(21)

2.3 围压作用

将式(1,9,12～17)分别代入式(10，11)可得围压作用下的裂纹尖端应力强度因子为

(22)

(23)

式中f11= 1+C0/2+3C1/8,f21= 1+D0/2+3D1/8。

根据应力强度因子的叠加原理，含预制中心裂纹巴西盘承受围压和径向荷载共同作用时，可得

(24)

(25)

令σc/σ=λ代入式(24,25)并将应力强度因子KI和KII无量纲化得

(26)

(27)

由式(26，27)可得，围压不仅对I型裂纹的应力强度因子有影响，对II型裂纹的应力强度因子同样有显著影响，这与徐积刚等[12]认为的围压对II型应力强度因子没有影响有很大区别。

3 围压对KI的影响

为验证理论计算的正确性，本文利用有限元法来计算含预制中心裂纹巴西盘的应力强度因子并与解析解结果进行比较。巴西盘模型示意图如图3所示，其中半径R=50 mm，弹性模量E=2940 MPa，泊松比υ=0.38，径向荷载P=10 kN。围压系数λ分别取0.1,0.5和1。通过ANSYS提供1/4奇异单元生成裂纹尖端网格，并用接触单元模拟裂纹面闭合产生的摩擦力。图4为不同围压系数λ和a/R条件下利用式(26)求解的应力强度因子YI值。由此可知，在裂纹未闭合之前，利用权函数法求解的理论解与ANSYS数值解相吻合。当围压系数λ<1时，应力强度因子随着围压的增大逐渐减小；当λ>1时，在不同a/R下利用权函数法计算的应力强度因子均为负值，而利用有限元法并添加接触单元计算裂纹面闭合后裂纹尖端的应力强度因子，得到YI=0，说明裂纹面始终处于闭合状态，此时只有裂纹面之间的剪应力引起的II型应力强度因子存在。裂纹面闭合后由于裂纹面之间的物质不可侵入性，不可能出现KI<0的情况，ANSYS数值解与岩石等脆性材料的物理性质相符合。

图5为由式(26)理论计算的纯II型(KI=0)闭合裂纹出现角度[12]与ANSYS数值解的对比。

图4 不同a/R和围压系数下的YI值

Fig.4YIvalues under differenta/Randλ

数值解与理论解相吻合。对于相同的a/R，围压系数越大，纯II型闭合裂纹出现的裂纹倾角越小，说明围压有加快裂纹闭合的作用，并且当围压系数相同时，随a/R增大，纯II型裂纹出现的裂纹倾角均逐渐减小。

4 摩擦和围压对KII的影响

由式(27)可知，当裂纹面之间摩擦系数μ= 0时，不同围压系数对II型裂纹的应力强度因子大小无影响。但是，当裂纹面闭合考虑裂纹面之间产生的摩擦力时，围压和摩擦系数将对应力强度因子产生显著影响。

图5 不同a/R和围压系数下纯II型裂纹出现角度

Fig.5 Angle for pureIIbehavior under differenta/Randλ

图6为只有径向荷载作用下(λ=0)，利用式(27)考虑裂纹面摩擦力计算得到的II型裂纹应力强度因子。结果表明，应力强度因子不仅与预制裂纹倾角有关，而且当裂纹面闭合之后，还与裂纹面之间的摩擦系数有关。从图6(a)根据式(27)计算的理论值结果与Dorogoy等[13]的有限元数值解对比可以看出，本文理论方法与数值解相吻合；图6(b)为利用ANSYS的接触单元考虑裂纹面摩擦力求得的计算结果与本文理论解的对比。结果表明,(1) 裂纹闭合后，利用权函数法求解应力强度因子需要考虑裂纹面的有效剪应力；(2) 对于复杂试样模型在理论解求解困难时，可以利用ANSYS求解裂纹面闭合后的应力强度因子。随着裂纹面摩擦系数的增大，KII的值逐渐减小，表明不考虑摩擦影响所得的应力强度因子偏大，裂纹面摩擦力的存在阻止裂纹尖端的扩展。

图7为围压和径向荷载共同作用下，利用式(27)计算的II型裂纹应力强度因子理论解与有限元考虑裂纹面摩擦力的数值解对比。结果表明，围压和径向荷载共同作用下，本文理论解计算得到的裂纹闭合前和闭合后的II型应力强度因子都与有限元数值解相吻合。在相同裂纹长度和裂纹面摩擦系数下，应力强度因子随着围压的增大逐渐减小，表明围压对II型应力强度因子也有显著影响。因此，在计算围压和径向荷载共同作用下的II型应力强度因子时，需要考虑围压和裂纹面摩擦系数的影响。

图6 不同a/R和摩擦系数下的YII值

Fig.6YIIvalues under differenta/Randμ

图7 应力强度因子理论解和数值解对比

Fig.7 Comparison between theoretical and numerical solutions for stress intensity factors

图8为利用式(27)计算的在不同围压和裂纹面摩擦系数下YII=0的裂纹倾角。从图8(a)可以看出，YII=0时的裂纹倾角将出现两个值。当λ<1时，对于不同围压和摩擦系数，在裂纹倾角为0°时YII恒等于0，此时为纯I型裂纹；随着裂纹倾角增大，裂纹闭合产生的摩擦力导致II型应力强度因子逐渐减小，YII值将再次等于0，裂纹倾角范围在35°～90°之间。在相同的摩擦系数下，围压越大，出现YII=0的裂纹倾角越小；围压相同时，YII=0的裂纹倾角随着摩擦系数的增大逐渐减小。说明围压和摩擦系数均对裂纹扩展有抑制作用。

从图8(b)可以看出，当λ>1时，围压的作用逐渐增强，裂纹面均闭合。这时当YII=0式(27)同样有两个解，第一个解介于裂纹倾角在0°～15°之间，且随围压和摩擦系数的增大而增大；第二个解介于裂纹倾角在20°～85°之间，且随着围压和摩擦系数的增大而减小，表明随着围压和摩擦系数的增大，出现YII>0的裂纹倾角范围将逐渐减小，围压和摩擦系数对II型裂纹应力强度因子的抑制作用加强。当裂纹面闭合且YII<0时，预制裂纹将不会滑动，这种情况下，预制裂纹的起裂角和起裂应力需要利用基于节理岩体的摩尔库伦理论进行计算。

图8 不同λ和μ下YII=0的裂纹倾角

Fig.8 Crack angle forYII=0 under differentλandμ

5 结 论

本文推导了围压和径向荷载共同作用下，考虑裂纹面间摩擦力的应力强度因子理论计算方法，并将本文理论解与有限元数值解对比。得出以下结论。

(1) 围压对I型应力强度因子有显著影响。围压使裂纹趋于闭合，并且当围压系数λ≥1时，裂纹面完全闭合，此时只有裂纹面剪应力引起的II型应力强度因子。考虑裂纹面接触的有限元数值解证明了裂纹面闭合后YI=0，这一结果与岩石材料的特殊物理性质相符合，即不会出现YI<0。巴西盘试样在不同a/R情况下，出现纯II型裂纹的裂纹倾角不同，并且随着围压系数的增大，裂纹倾角逐渐减小。

(2) 围压和裂纹面的摩擦系数对II型应力强度因子同样有显著影响。由于裂纹面闭合，利用权函数法计算应力强度因子时，需要考虑裂纹面有效剪应力。本文计算的理论解与添加接触单元的有限元数值解相吻合。II型应力强度因子随着围压和裂纹面摩擦系数的增大而减小，表明围压和裂纹面上的摩擦起到抑制裂纹扩展的作用。

(3) 裂纹面闭合后，YI= 0，且在一定围压和裂纹面摩擦系数下会出现YII< 0的情况，也即裂纹面不会产生相对滑动。此时，预制裂纹的起裂角和起裂应力需要利用基于节理岩体的摩尔库伦理论计算。

参考文献(References):

[1] 李世愚，和泰名，尹祥础.岩石断裂力学导论 [M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010.(LI Shi-yu，HE Tai-ming，YIN Xiang-chu.IntroductionofRockFractureMechanics[M].Hefei:University of Science and Technology China Press，2010.(in Chinese))

[2] 章 青，刘 宽，夏晓舟,等.广义扩展有限元法及其在裂纹扩展分析中的应用[J].计算力学学报.2012,29(3):427-432.(ZHANG Qing，LIU Kuan，XIA Xiao -zhou,et al.Generalized extended finite element method and its application in crack growth analysis[J].ChineseJournalofComputationalMechanics，2012,29(3):427-432.(in Chinese))

[3] Al-Shayea N A.Crack propagation trajectories for rocks under mixed mode I-II fracture[J].EngineeringGeology.2005，81(1)：84-97.

[4] Ayatollahi M R,Aliha M R M.Wide range data for crack tip parameters in two disc-type specimens under mixed mode loading[J].ComputationalMaterialsScience,2007，38(4)：660-670.

[5] Awaji H,Sato S.Combined mode fracture toughness measurement by the disk test [J].JournalofEngineeringMaterialsandTechnology,1978，100(2)：175-182.

[6] Fett T，Munz D.StressIntensityFactorsandWeightFunctionsforSpecialCrackProblems[M].Karlsruhe:FZKA.1998.

[7] Dong S M,Wang Y,Xia Y M.Stress intensity factors for central cracked circular disk subjected to compression [J].EngineeringFractureMechanics,2004，71(7)：1135-1148.

[8] Atkinson C，Smelser R E，Sanchez J.Combined mode fracture via the cracked Brazilian disk test[J].InternationalJournalofFracture1982，18(4)：279-291.

[9] Al-Shayea N A，Khan K，Abduljauwad S N.Effects of confining pressure and temperature on mixed-mode(I-II) fracture toughness of a limestone rock [J].InternationalJournalofRockMechanicsandMi-ningSciences,2000，37(4)：629-643

[10] 楼一珊，陈 勉，史明义,等.岩石I、II型断裂韧性的测试及其影响因素分析 [J].中国石油大学学报(自然科学版).2007，31(4)：85-89.(LOU Yi-shan，CHEN Mian，SHI Ming-yi，et al.Measurement of type-I and type-II fracture toughness for rocks and its influence factors analysis [J].JournalofChinaUniversityofPetroleum(EditionofNaturalScience),2007，31(4)：85-89.(in Chinese))

[11] Xu J G，Dong S M，Wang Z L.Theoretical analysis of effects of confining pressure on the stress intensity factors for cracked brazilian disk[A].13t hInternational Conference on Fracture[C].Beijing,China,2013.

[12] 徐积刚，董世明，华 文.围压对巴西裂纹圆盘应力强度因子影响分析.[J].岩土力学，2015，35(7)：1959-1965.(XU Ji-gang，DONG Shi-ming，HUA Wen.Effect of confining pressure on stress intensity factors determined by cracked brazilian disk [J].RockandSoilMechanics,2015，35(7)：1959-1965.(in Chinese))

[13] Dorogoy A，Banks-Sills L.Effect of crack face contact and friction on Brazilian disk specimens—A finite difference solution [J].EngineeringFractureMechanics,2005，72(18)：2758-2773.

[14] 杨 慧.双轴压缩下含闭合裂纹有限岩板的断裂研究[D].中南大学，2007.(YANG Hui.Closed Crack in the Finite Rock Plates Under Biaxial Compression Fracture Research [D].Central University,2007.(in Chinese))

[15] Bueckner H F.Novel principle for the computation of stress intensity factors [J].ZeitschriftfuerAngewandteMathematik&Mechanik,1970，50(9)：529-546.

[16] Fett T.Effective mode-II stress intensity factor for partially opened natural cracks under mixed-mode loading[A].ICF10[C].Honolulu,USA,2001.

[17] 铁摩辛柯，吉地尔.弹性力学(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2013.(Timoshenko S P,Goodier J N.TheoryofElasticity(ThirdEdition) [M].Beijing：Higher Education Press,2013.(in Chinese))

[18] Timoshenko S P，Goodier J N.TheoryofElasticity(ThirdEdition)[M].New York：Mc Graw-HiU,1970.

[19] Coker E G，Filon L N G.ATreatiseonPhoto-Elasticity[M].Cambridge University Press,London 1931.

[20] Fett T.Stress intensity factors and T-stress for internally cracked circular disks under various boundary conditions [J].EngineeringFractureMechanics,2001，68(9)：1119-1136.