薄板结构加筋布局优化设计方法研究

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(西北工业大学 航空学院,西安 710072)

1 引 言

加筋板(壳)结构(或称板架结构)通常由薄壁板(壳)与加强筋组成，如图1所示。因其质量轻和结构效率高等特点而广泛应用于航空、船舶以及建筑等工程结构中[1-5]。大型薄板结构利用加筋构件来增强其面内和面外的强度与刚度，减小结构的变形，提高结构的稳定性[4,5]和振动频率[6]等。加筋板结构失效模式众多，设计优化的模型十分复杂。近年来，很多学者对加筋板结构的优化设计进行了多方面研究，提出了一些优化方案和算法，以期改善加筋板结构的静、动态力学性能，提高优化设计的效率。

加筋优化设计包括加强筋的引入、位置及方向确定和加强筋截面尺寸设计等[7,8]，其中加筋的位置和截面尺寸优化设计(以下统称加筋布局优化设计)是加筋设计的重点。加筋布局设计是否合理，对结构的变形、固有频率和稳定性乃至结构的重量都有很大的影响[4-8]。为了提高加筋板结构的承载能力，提高结构设计的安全性和可靠性，在已有加强筋初步设计的情况下，可以通过横向移动加筋位置的策略，在基本不增加重量的情况下，改善结构的刚度分布，提高结构的固有频率，避免发生结构变形过大或危险的共振现象。

针对薄板结构加筋位置和截面尺寸(宽和高)的优化设计，常采用结构拓扑优化的策略[1,3，8-10]，以单元的厚度[3,8]或密度[9,10]为设计变量，将薄板上的加筋布局设计问题转化为基板材料的分布问题。通过不断改变材料的分布或基板单元的厚度，构造出加筋的位置、方向走势以及截面尺寸；或采用自适应生长技术，按照加筋对结构刚度贡献最大的原则，沿有利方向引入加筋，然后再对加筋截面尺寸进行优化设计[2]。然而，采用拓扑优化设计公式复杂，难度也较大。同时还存在加筋分布不清晰以及加筋截面不均匀[1,3]的问题，甚至出现不连续的现象[9]，难以满足工程设计的要求。本文旨在探索一种思路清晰、简单易行的优化策略，开展薄板结构加筋布局优化设计研究，以提高加筋布局优化设计的效率。

当薄板加强筋的方向和截面形状设计初步确定后，通过先移动加筋的位置，再修改加筋截面尺寸的方法，也能对加筋布局进行优化设计。本文以结构的第一阶固有频率最大化为设计目标。约束条件为加筋板结构在静载荷作用下，最大变形需满足设计要求。在结构设计之初，加筋的位置一般由设计人员根据工程经验确定。对于已经选定了加筋型式和数量的薄板结构，可将加筋作为一个整体横向移动，以确定其最优位置。然而，计算加筋移动的灵敏度非常困难[11]，目前还没有公式能直接计算加筋横向移动的灵敏度值。因此本文基于参考文献[12]的优化策略，首先将连续、贯穿性加筋离散为一系列等效的弹性铰(点)支撑。然后通过设计变量的快速灵敏度分析，同步移动这一列铰支撑，从而实现加筋在薄板上的横向移动。在基本不增加结构系统重量的情况下，通过不断移动支撑位置，使加筋板结构的固有频率提升到最大值。若加筋板的最大静变形仍不满足设计要求，可再进行加筋截面的尺寸优化设计，使结构的变形明显得到改善，最终获得满意的加筋板结构静、动力学性能。

图1 加筋薄板结构

Fig.1 A stiffened plate of straight stiffeners

2 加筋简化模型基础

分析图1所示典型、有规则的加筋薄板结构，此时加筋(或筋条)主要起增强薄板面外刚度的作用。通过弯曲变形，加筋限制了板在该处的横向位移，这相当于在薄板的局部增加了一条弹性线支撑。首先，对加筋板结构进行有限元网格划分，由于加筋的宽度相对于板的宽度尺寸很小，可以假设加筋位于网格线上，如图2所示。当加筋作横向移动时，可实现加筋位置的优化设计。为了降低加筋优化分析的难度，可将加筋视为一系列作用在节点上的弹性铰(点)支撑，其位置由s表示。由于加筋条上各点的变形并不相同，因此各点等效弹性支撑所具有的刚度系数也不尽相同。可以认为靠近约束边界端的等效刚度系数较大，而中间部位的约束能力要小一些。若将这一系列铰支撑作为一个整体一起移动，即可实现加筋位置的改变。

对于有一定质量的弹性铰支撑，加筋板结构的第i阶固有频率ωi对其沿横向(x轴方向)移动的一阶导数为[12,13]

(1)

式中nj为沿加筋方向，内部节点的个数(即弹性铰支撑的数量，如图2中，nj=4)。wi j为第i阶振型在节点j的横向位移，θi yj为第i阶振型在节点j沿y轴的转角。通过对加筋板进行有限元分析计算，可以很方便地获得对应响应值。kj是加强筋在节点j的等效刚度系数，mj是加筋在节点j的等效质量。如果能够获得加筋的等效刚度和质量，式(1)也就不难计算。

图2 加筋简化成一系列弹性铰支撑

Fig.2 Simplify a stiffener by a series of elastic point supports

通常情况下，加筋的两端应该适当固定。本文将加筋视为矩形截面梁，高度为h，宽度为b，如图3所示。按照加筋梁两端的固定情况，其基本(名义)等效刚度系数可按照梁的弯曲刚度计算。若加筋构件的两边简支，则有

k0= 48EI/(2L)3= 6EI/L3

(2)

式中L为加筋长度的1/2，I为加筋的截面抗弯惯性矩。对于矩形截面加强筋：

I=bh3/12

(3)

对于其他截面形状的抗弯惯性矩，也可按材料力学公式计算。若加筋构件两边固支，其基本等效刚度系数为

k0= 192EI/(2L)3= 24EI/L3

(4)

而在每个有限元节点上，考虑到弹性铰支撑到加筋板边界(加筋两端)的距离各不相同，假设其等效刚度系数线性变化为

kj=Lk0/lj

(5)

式中lj为节点j到加筋固定端的最短距离。式(5)表明，节点j距离薄板边界越近，其等效刚度系数越大。这是因为越靠近加筋板边界，加筋梁的变形越小，加筋的约束效果越大，故其刚度系数也就越大。值得注意的是，固有频率对加筋移动的一阶导数计算公式(1)不包含薄板边界的约束节点，这是因为不论是简支还是固支，薄板边界节点的横向位移都等于0，其对加筋移动的灵敏度没有贡献。

若每条加筋的总质量是M，将其平均分配到加筋占据的所有节点上，可得加筋在节点j上的等效质量为

mj=M/(nj+1)

(6)

式中 (nj+1)代表了沿加筋纵向单元的总数。上述对加筋的简化处理只适应于优化设计模型的灵敏度计算，对于加筋板结构的静、动力特性和变形分析，仍按照有限元的要求建模和计算。

图3 矩形加筋截面

Fig.3 Cross section of a stiffener

3 加筋布局优化算法

对加筋薄板结构的加筋布局优化设计，以结构的第i阶固有频率最大化作为目标函数，以加筋的位置为设计变量，优化模型的数学表达式为

max.ωi

(7)

(8)

式中 优化设计要求加筋板结构的第i阶固有频率ωi达到最大值，同时满足相应的静变形约束条件。Dj为第j列加强筋在薄板上允许移动的范围，n为薄板结构附带加筋条的数量。设置加筋的可移动限制范围，是为了防止加筋跨越特定的区域。Δsj k为相邻加筋条之间的距离，dmin为加筋间的最小距离。设置加筋的最小距离约束，可以防止两条加筋重合。|δ|max为结构受到外载荷作用后的最大变形。外载荷包括，加筋板表面压力和惯性载荷，甚至还可以包括温度载荷等。δ*为加筋板最大允许变形。

加筋布局优化设计采用两步优化的策略。首先，在加筋截面尺寸不变的情况下，移动加筋的位置在基本不改变原有加筋板结构重量的前提下(有时加筋的长度会改变)，使结构的第i阶固有频率ωi增加到最大；随后，调整加筋截面的高度，使加筋板的变形满足约束要求。

加筋板动力优化策略是寻找和移动效率最高的加筋[12]，即寻找绝对值最大的频率灵敏度所对应的加筋：

(9)

加筋移动的方向也由灵敏度确定，保证结构的振动频率不断增加：

(10)

式中 Δsj为加筋位置移动距离。本文假设加筋总是作用在有限元的节点上，因此加筋移动距离是一个单元的尺度。于是在加筋位置优化过程中，结构的有限元网格可以始终保持不变。按照上述优化策略不断改变加筋设计的位置，使加筋板结构的第i阶固有频率不断增大，逐渐达到其最大值。

移动加筋位置实际是改变了加筋板结构的刚度分布，能够显著增加结构的整体刚度，减小结构的变形。在加筋到达最优位置以后，判断结构的最大位移是否满足给定静变形的约束条件。若满足变形约束条件，则优化过程结束。否则，需小幅调整加筋的高度以提高加筋的约束刚度，

(11)

4 优化算例

(1) 矩形板加筋布局优化设计

图4所示是一个矩形加筋板结构的有限元模型，板的四边简支。长为3 m，宽为1 m，厚为2 mm。材料的弹性模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比ν=0.3，热膨胀系数α=1.25×10-7℃-1。初始设计时，四条加筋沿着x轴随意布置。其截面是矩形，宽为5 mm，高为10 mm，材料与板相同。假设结构整体温度升高10 ℃，整个板上表面受均布压力p=1 kN/m2并考虑结构自身重力的作用(g=9.8 m/s2)。优化目标是结构的第一阶固有振动频率达到最大值，而加筋板的最大位移要求小于1 cm。

有限元计算得到由外载荷作用引起的板最大变形出现在加筋间距较大处，最大位移是2.94 cm。结构的前二阶固有频率分别是10.32 Hz和12.55 Hz，相应的振型如图5所示。可以看出，由于加筋布置不合理，结构的第一、二阶振型都属于局部变形。

图4 加筋板结构有限元模型

Fig.4 Initial design of a stiffened plate

图5 加筋板结构的第一、二阶振型

Fig.5 First two modes of the stiffened plate designed initially

优化过程分两步完成。首先，通过横向移动加筋的位置，结构的第一阶固有频率从10.32 Hz逐渐升到15.65 Hz，第二阶固有频率升到15.76 Hz。在当前网格划分情况下，加筋板结构的基频已达到最大值，而结构重量并未因加筋移动而改变。此时，由于加筋位置的优化设计使结构的最大静变形减小到1.82 cm，但仍未满足设计约束条件。继续优化加筋的截面尺寸，将加筋的高度逐渐升到13.8 mm，使得板的最大位移降到1.0 cm以下。结构重量从原来的48.36 kg略微增加到48.95 kg。优化设计完成以后，加筋沿着板的长度方向均匀布局，如图6所示。

由于修改了加筋的高度，结构的第一阶频率也发生改变，从15.65 Hz升到17.85 Hz，增幅达14.06%；加筋板结构的前二阶频率出现重合，振型都是整体变形，分布也更加合理，如图7所示。虽然结构的重量有了小幅增加，但结构的静变形和振动特性均有明显改善。结构性能参数及响应变化结果列入表1进行比较。由表1可知，结构的重量仅增加了1.22%，而结构的力学性能得到显著改善。

(2) 开孔梯形板加筋布局优化设计

一个梯形加筋板中间有一个矩形开孔，加筋初始设计位置、板的尺寸以及有限元网格如图8所示。假设基板厚为3 mm，左右二边固支，上下二边简支。材料的弹性模量E=210 GPa，密度ρ=7800 kg/m3，泊松比ν=0.3。加筋在开孔两侧区域内布置，固有截面是矩形，宽15 mm，高10 mm。所有加筋截面尺寸相同。假设整个板结构表面受p=1 kN/m2并考虑自身重力的作用，要求其最大位移小于1 cm。优化设计目标是结构的第一阶固有振动频率达到最大。

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表1 矩形加筋板结构加筋优化设计前后结构参数比较

Tab.1 Comparison of the structural responses of the stiffened flat rectangular plate before and after layout design optimization

结构 参数第一阶频率/Hz第二阶频率/Hz结构重量/kg加筋高度/mm最大位移/cm优化前10.31612.55248.3610.02.94优化后17.8517.8548.9513.80.98增加率/%73.042.21.2238.0-66.6

图6 优化后加筋的布局设计

Fig.6 Optimal design of the stiffeners’ locations

图7 优化后加筋板结构的前二阶振型

Fig.7 First two mode shapes of stiffened plate after the layout optimal designf1=f2

薄板上开孔不仅降低了结构的刚度，同时也严重影响板的静、动力强度，因此需要用加强筋来改善开孔薄板结构的力学性能。初始设计时，结构的第一阶固有频率只有4.95 Hz，重量为124.64 kg。由外力作用引起的最大位移是9.26 cm，出现在开孔边缘。要求加筋只能在开孔侧边的区域内移动，不能跨过开孔。

首先，按照优化设计的目标，根据加筋移动的灵敏度值，沿横向或纵向移动加筋位置。每次设计循环移动灵敏度值最大的两条加筋，最终使全部加筋移到了开孔的边缘，即设计可行域的边界。此时，结构的第一阶固有频率增加到11.23 Hz。由于加筋移动使其长度发生改变，结构重量略有减少(124.61 kg)。图9给出了加筋位置的优化设计结果。可以看出，若基板上有开孔，其四周需要加筋件来加强，否则结构的刚度及其强度都会有很大下降[8]。加强筋离开孔越远，刚度下降得越大。

图8 中间有一矩形开孔的梯形加筋板

Fig.8 A trapezoidal plate with a rectangular cutout and four straight stiffeners

图9 开孔梯形加筋板结构优化设计结果

Fig.9 Optimal position design of the stiffeners

在加筋移动到设计区域的边界后，加筋板的最大位移降至2.88 cm。虽然结构的整体刚度有了显著增大，但最大变形仍大于设定的允许值上限，未满足对变形的约束条件，因此还需对加筋高度进行优化设计。经过优化循环设计，加筋截面高度增加到17.0 mm，结构的重量增加到132.36 kg时，结构的最大位移下降到0.97 cm。虽然此时最大位移仍出现在开孔边缘处，但开口周围的受力状况有了明显改善，整个加筋板的变形也比较均匀。图10 是开孔加筋板结构的第一阶频率优化过程，基频最终上升到了15.00 Hz。

结构性能参数及响应变化结果列入表2。通过梯形板加筋布局优化设计，即移动加筋的位置和修改加筋的尺寸，结构性能改善非常显著，而结构的重量仅增加了6.2%。

表2 开孔梯形加筋板结构优化设计前后结构参数比较

Tab.2 Comparison of the structural responses of the stiffened trapezoidal perforate plate before and after layout design optimization

结构 参数第一阶频率/Hz第二阶频率/Hz结构重量/kg加筋高度/mm最大位移/cm优化前4.9548.486124.6410.09.26优化后15.00421.420132.3617.00.966增加率/%202.9152.46.270.0-89.6

图10 开孔梯形加筋板第一阶频率优化过程

Fig.10 Optimization process of the first frequency of the trapezoidal plate

5 结 论

本文提出了一种两步优化策略，分别对大型薄壁加筋板结构的加强筋位置及其截面尺寸进行优化设计，使加筋板结构的基频达到最大，同时也减小结构的静变形。采用一系列等效的弹性铰(点)支撑，代替原来加强筋对板的作用。运用已有铰支撑移动灵敏度计算公式，快速获得加筋横向移动的频率灵敏度值。这种简化的优化模型极大地降低了加筋位置优化设计的难度和复杂性，提高了加筋位置优化设计的效率。随后，在加筋位置优化设计的基础上，通过对加筋截面的高度参数进行优化设计，以满足对结构变形的约束要求。最后，对两个薄壁加筋板结构进行优化设计,证明了所提加筋板频率优化方法的可行性和有效性，可以应用到工程中的板壳结构加筋优化设计中。

此外，优化算例结果表明，加筋位置设计对加筋板结构整体刚度有很大的影响，在基本不改变结构重量的情况下，能极大地改善加筋板结构的静、动力学性能，提高结构的承载能力。当基板上有开孔时，开孔周围需要有加筋构件，以改善开孔周围的力学性能。

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