“数学思考”教学如何引向深入———“数学思考”教学片断与评析

执教/ 陈光明 评析/ 陈华忠(特级教师)

片断一：创设情境，提出问题

教师与两位同学两两握手。

师：刚才我们三个人一共握了几次手？

生：3次。

师：如果相互握手的人一共有4个，将一共要握几次手呢？

生 1：4次。

生2：不对，应该是6次。

师：怎么会是6次呢？你能用什么方法使我们相信你的结论。

（生2在黑板上画图说明）

师：刚才这位同学用4个点代表4个人，用4个点之间的连线表示他们之间相互握手。这是一种很了不起的方法。我们通常称之为“数形结合”。

师：猜一猜，纸上的任意8个点，一共可以连成多少条线段？

生1：8条。

生2：24条。

生3：16条。

生4：28条。

师：大家来验证一下，你们猜得对吗？请大家拿出纸和笔在纸上任意点上8个点，并将它们每两点连成一条线，再数一数，看看连成了多少条线段？

师：有结果了吗？

生：太乱了，都数昏了。

师：别急，今天我们就一起来用数学的思考方法去解决这个难题。（板书课题:数学思考—化难为易）

【评析：先让学生猜一猜任意8个点，一共可以连成多少条线段？然后让学生进行验证，看似简单，连线时感觉很乱也很容易出错。这样在课前制造一个悬念，不仅激发学生学习的欲望，同时又为探究“化难为易”的数学方法埋下伏笔。】

片断二：自主探究，寻找规律

1.从简到繁，动态演示，经历连线过程。

师：用8个点进行连线，大家觉得有些麻烦也很乱，应该怎么办呢？

师：有什么好办法吗？

生1：如果把点减少一些，就会容易一些。

生2：先从2个点开始，逐步增加点数，寻找其中的规律。

师：好的，我们就从简单的2个点入手，逐步增加点数，找一找有什么规律？

1.学生独立研究点数是2～6的情况。并发现其中的规律。

?

师：大家认真观察、对比分析，思考增加线段与点数的关系。

师：仔细观察这张表格，在这张表格里有哪些信息呢？看着这些信息你有什么发现吗？

生：每次增加的线段数和点数相差1。

师：当3个点时，增加条数是几？

生：2条。

师：那点数是4时，增加条数是多少？

生：增加3条。

师：点数是5时呢？

生：增加4条。

师：点数是6时呢？

生：增加5条。

教师小结：我们可以发现，每次增加的线段数就是（点数－1）。

师：数学的探究可不是得出结论就结束了。我们更应该探究结论背后的原因。为什么“每次增加的线段数就是（点数－1）”呢？

（学生同桌讨论，再让学生在班上交流，并结合课件，使学生明白：“因为每增加一个点都要和原先的所有点连一条线。”）

【评析：在经历了丰富的连线过程之后，引导学生从整体上进行观察、分析与比较表格中的线段与点数，逐渐增加点，从中发现每次增加条数就是点数－1，为后面推导总线段数的算法做好铺垫。】

2.进一步探究，推导总线段数的算法。

（1）分步指导，逐个列出求总线段数的算式。

师：大家知道了5个点可以连10条线段，现在你们有什么办法知道6个点、8个点可以连多少条线段吗？

生：连一连，算一算。

师：（追问）如果当点数再多一些时，我们这样去计算是不是很麻烦呢？看看它们有没有什么规律，行吗？

师：我们先来看，2个点连1条线段，那么3个点时，可以连多少条线段？你是怎么知道的？

生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线段。

师：4个点共连了6条线段，这又可以怎么计算呢？

生：计算3个点连出的线段数时，我们用了1＋2，再增加1个点，就增加了3条线段，我们就再加3，所以列式为 1＋2＋3＝6（条）。

师：那么按着这个方法，你能列出5个点共连线段的算式吗？

生：1＋2＋3+4＝10（条）。

（2）观察算式，探究规律。

师：大家仔细观察这些算式，有什么发现吗？

生1：计算3个点的总线段数是1＋2，计算4个点的总线段数是1＋2＋3，计算5个点的总线段数是1＋2＋3＋4，它们都是从 1 开始依次加的。

生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加2，加3，加4，一直加到比点数少1的数。

师：那么你说的点数少1的那个数其实是什么数？

生：就是每次增加一个点时，增加的线段数。

（3）引导小结，归纳规律。

师：现在我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。同学们，明白了吗？

师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连的线段数，请同学们把算式写在作业纸上。

（学生独立完成，教师巡视，之后学生板演算式集体评议）

师：如果是n个点，该如何列式？

生：1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）÷2。

【评析：在探讨总线段数的算法时，同样延用从简到繁的思考方法，让学生观察发现这些算式的共有特征：都是从1依次加到点数减1的那个数，从而让学生明白总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。接着让学生用已建立的数学模型去推算6个点、8个点时一共可以连成多少条线段。若有n个点，让学生进行拓展引伸，归纳出可连接n(n-1)÷2条线段，这是数学思考在这节课中的一个升华。也是从特殊到一般的规律的探究。】

片断三：变换问题，建立对应

师：将6个点移到同一条直线上，这6个点能决定多少条线段？

生：6×5÷2=15。

师：与例题中的问题有什么联系？

（建立“一一对应”）

师：将同一直线上的六个点与直线外一点依次连接，图上有几个三角形？

师：你是如何思考的？

师：还能像这样继续改变题目，通过“一一对应”寻找答案吗？

【评析：经历丰富的连线过程，引导学生通过观察、分析与比较，从而进一步发现规律，再通过变式训练与例题中的问题建立了“一一对应”的联系，使学生懂得运用一定的规律去解决较复杂的数学问题，提高学生解决问题的能力。也渗透转化与化难为易的数学思想与方法，】

片断四：运用规律，解决问题

师：在上课开始，大家就发现连线问题和握手问题直接的联系。如果我们班的全体同学每个人之间都握一次手，总共要握多少次手呢？该如何列式？

师：生活中还有哪些问题和今天的“连线问题”相类似？你能提出这样的问题吗？

生1：单循环赛问题。

生2：从我们小组中推选两位组长，一共有多少种方法？

生3：在几个城市之间开辟航线，一共需要开辟多少条航线？

【评析：运用所学知识，解决日常生活中的实际问题，让学生感受到数学源于生活，又服务于生活，产生要学好数学的情感体验。】

【总评：《数学思考》是总复习的例题。实质上就是通过寻找规律来解决实际问题。这里的规律的一般化表述是：以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。即例1：“6个点可以连成多少条线段？8个点呢？”这种以几何形态显现的问题，便于学生动手操作，通过一边画图一边探究，有利于学生对化归、数形结合和化繁为简等数学思想方法形成系统的认识。

1.由浅入深，深化学生的数学思考。

柏拉图说：“我们应该区分两种不同的存在——经验的存在和理性的存在。经验的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”教学中，遇到复杂的问题，我们往往采取化难为易的方法，先从简单问题去思考，逐步找到其中的规律，再用规律去解决复杂的问题。本节课教材中呈现的探究方法是：从简单问题即两个点开始，逐个增加点数进行探讨，去找寻其中的规律。这样，还不能让学生体验到从无序到有序、从杂乱中找到规律的思维过程，从而引导学生用每一个点与其他点分别相连，并寻找其中的规律。即当3个点时，增加条数是几？（生：2条）点数是4时，增加条数是多少？（生：3条）点数是5时呢？（4条）6时呢？（5条）引导学生发现，每次增加的线段数就是（点数－1）,总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。为此，只要知道点数是几，我们就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。这样，有利于学生对数学思考中的条理性与有序性的认识，更利于学生清晰感受化难为易等数学思想方法。这样，不仅激发了学生的学习欲望，同时又为渗透“有序思考”和“化繁为简”的数学思想方法埋下伏笔。

2.由点到面，促进学生的数学思考。

学生从一个个具体的点向知识的面汇聚的过程，也是学生思维从具体向抽象生长的过程。在这一过程中学生的数学思考由点到面不断生长，思维能力不断提高。本节课中教师采用从简到繁的思考方法，依托课件先探究2个点时连成一条线段，之后列出3个点、4个点、5个点……让学生通过一边画图一边探究，并引导学生观察,当3个点时，增加条数是几？点数是4时，增加条数是多少？点数是5时呢？ 6时呢？这样，学生就会有新的发现，再引导学生通过不完全归纳，让学生观察发现这些算式的共有特征：都是从1依次加到点数减1的那个数，线条数=1+2+3+……+（点数-1），并归纳出公式为：线条数=点数×（点数-1）÷2。这样，学生在探究中发现、建立基本计算线条数的模型，体验到探究的快乐与成功感，真正实现了在探究中学有所乐，在快乐中学有所获，同时也促进学生进行数学思考。

3.由定到变，激活学生的数学思考。

在数学教学中，我们需要培养学生数学思考的有序性与条理性，也要培养学生解决问题的灵活性与多样性，从有序的“规定”到看似无序的“变化”，往往能激发学生的认知冲突与解决问题的欲望。学生在这种心求通而不能，口欲言而弗达的“愤悱”之中，思维的火花被点燃，主动积极思考成为可能。本节课中教师先引导学生思考并探究“6个点可以连成多少条线段？8个点呢？”再到n个点可连成多少条线段？然后通过变式将6个点移到同一条直线上，这6个点能决定多少条线段？再变成将同一直线上的六个点与直线外一点依次连接，图上有几个三角形？并延伸出可以找出几个扇形？几个角？还可以从几个长方形到用几条小棒等。通过不断地变式训练，引导学生积极思考，不断探究，有利于激活学生的数学思考。】