聚焦核心问题 发展学生素养——《最大公因数》教学

钟阳藩 钟世文

【教学内容】

人教版五年级下册第 60、61页例 1、例 2。

【教学过程】

一、开门见山，揭示课题

（齐读课题后，引导学生从“是什么、怎么样和为什么”的角度提出相关数学问题）

师：刚才几位同学对本节课应该学习什么内容谈了各自的看法，综合起来本节课的学习目标：一是理解什么叫公因数？什么叫最大公因数？并能够在集合图例把它们表示出来；二是掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法；三是掌握求特殊关系的两个数的最大公因数的方法。

【说明：课始，开门见山揭示课题后教师顺势引导学生看着课题提问，培养了学生的问题意识。继而，提炼概括出本节课的学习目标，让学生学有方向。】

二、学生自学，独立尝试

师：接下来，请同学们对照学习目标，自学课本第60页的内容。

（教师引导学生理解“对照”的意思，明确自学具体要求）

师：请拿出“个体自学反馈单”，对照学习目标进行自学，并认真做好记录。

【说明：学习目标是学生进行自学的“灯塔”，理解“对照”的具体要求，让学生行进在目标明确的自学道路上。“个体自学反馈单”为学生搭建了自学的桥梁，让学生有事可做、做有收获、学有印痕。】

三、自学反馈，生成问题

师：刚才老师进行巡视，收集了两位同学的“个体自学反馈单”。现在请他们上来汇报。

（学生分别汇报，提出各自的疑问）

【说明：学生通过自学，有了一定收获的同时还存在一些疑问，都有一种急于跟同伴交流的冲动。这时，让学生上台展示汇报自学成果，既满足了学生的表现欲，又增强了学习的自信心。学生提出的问题，为聚焦核心问题提供了丰富的素材。】

四、聚焦问题，展示汇报

1.再次尝试探究。

师：刚才几位同学从不同的角度对最大公因数提出了自己的疑问。下面，我们就围绕“怎样求两个数的最大公因数”这一问题进行深入探究。

【说明：个体独立思考、尝试探究越充分，小组合作交流、完善补充就越到位。】

2.交流讨论。

师：请同学们以四人小组为单位，围绕“核心问题探究单”进行交流。

交流要求：（1）组长分工，有序交流；（2）各抒己见，取长补短；（3）不同见解，协商讨论；（4）推荐代表，准备汇报。

（学生有序交流，教师及时巡视、适时个别指导、了解讨论情况、收集典型案例）

【说明：小组交流的质量决定学生展示汇报的实效，影响课堂教学的效率。小组有序交流是提高合作学习质量的重要保障，也为后续的展示汇报活动奠定了坚实的基础。教师深入小组了解交流进程，收集典型案例，为高效展示汇报提供了可能。】

3.汇报探究成果。

汇报问题一：怎样求一般关系的两个数的最大公因数？

师：老师在巡视中收集到几种找18和24的最大公因数的方法，现在请这几位同学进行汇报。

（大屏幕展示一一列举、写小找大、分解质因数等方法）

生：一一列举法就是分别找出18和24的因数，再在他们公共的因数中找出最大的。

生：写小找大法就是先找出18的因数，然后用24除以这些因数，看看谁是24的因数，最后找出最大公因数。

师：一一列举和写小找大两种方法的相同与不同之处是什么？你喜欢哪一种？为什么？

（引导学生交流、体会两种方法的实质均为一一列举，但是写小找大方法更简便）

师：最后，请一位同学介绍他的方法。

生：我用的是分解质因数的方法。

【说明：教师重点捕捉貌似不同、实则相同的两种找最大公因数的方法，在学生初步掌握一一列举“找”的方法基础上，提炼出“写小找大”的巧妙求法，通过对比沟通这两种方法之间的内在联系，完善了学生的认知结构。分解质因数的方法介绍，激发了学生的数学阅读兴趣，拓宽了学生找最大公因数的渠道。】

汇报问题二：怎样求特殊关系的两个数的最大公因数？

师：刚才我们研究的是一般关系的两个数的最大公因数，那么特殊关系的两个数的最大公因数又应该怎么求呢？

师：谁愿意与大家一起分享第二个问题？

生：我先来汇报“找一找”，1和16的最大公因数是1……

生：我来汇报“分一分”，我们根据每组数最大公因数的特点把1和 15、8和 9、11和 13、7和 12分为一类，因为这一类数的最大公因数都是1；把24和12、3和15分为一类，因为这一类数的最大公因数都是较小的数。

生：我们是根据两个数的关系进行分类的。把1和15、8和9、11和13、7和12分为一类，因为它们每组数都是互质数；把24和12、3和15分为一类，因为这一组数存在倍数关系。

生：你是怎么知道互质数这个数学概念的？

生：我是从书本第64页的“你知道吗”中看来的。

师：上述两种分类方法有什么相同点，又有什么不同点？

（教师引导学生观察、比较、发现：两种分法结果一样，但是思考的角度不同）

师：根据刚才的分类，谁来说说特殊关系的两个数有几种情况？它们的最大公因数又各自有什么特点？

（教师引导学生观察、讨论、梳理得出：特殊关系的两个数可能是互质数关系，也可能的倍数关系。互质的两个数的最大公因数是1，倍数关系的两个数的最大公因数是较小数）

师：最后一个问题谁来回答？

生：我来汇报“议一议”，互质的两个数的最大公因数就是1。

师：现在请同学们仔细观察，互质的两个数到底有几种情况呢？

生：四种情况：1和任意自然数，两个质数，两个连续自然数，一质一合。

【说明：在学生掌握了“写小找大”求最大公因数的基础上，通过分类分析，引导学生研究、发现特殊关系（互质及倍数）数的最大公因数的特殊求法，使学生对数与数之间的关系形成了一定的敏感性。通过二级分类，让学生明确了构成互质的两个数有四种情况，发现了判断互质数的方法。】

4.梳理提炼方法。

师：现在，我们一起来梳理一下，怎样快速找出两个数的最大公因数？你认为求两个数的最大公因数时要注意什么？

（引导学生回顾梳理，结合学生回答，生成表格式板书）

【说明：通过回顾梳理，总结出求两个数的最大公因数首先要分析两个数的特点，然后再求它们的最大公因数。如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是两个数中的较小数；如果两个数是互质数关系，那么它们的最大公因数就是1；如果两个数没有上述两种特殊关系，就用一般的方法求两个数的最大公因数。】

五、回顾梳理，拓展延伸

师：这节课你有什么收获？还有什么问题？