数学建模思想在高等数学中的应用探讨

黄艳

摘 要：随着数学建模比赛的开展和普及，越来越多的学校已经认识到数学建模教育对培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的重要性。首先介绍一下什么是数学建模，分析其对高等数学教学过程中的重要性，结合一些实际情况来探讨数学建模思想在高等数学教学过程中的应用。

关键词：高等数学；数学建模；应用

随着我国高等院校不断的扩大招生，学生的个体性差异和数学基础的差别已经越来越大，而作为高等学校的数学基础课程《高等数学》也在不断地面向教学改革。与此同时，随着数学建模比赛的开展和普及，越来越多的学校已经认识到数学建模教育对培养学生逻辑思维能力和解决实际问题的重要性。将数学建模思想融入到高等数学的教学过程中，将理论与实际相结合，已俨然成了高校研究高等数学教学改革等教研项目的一个十分重要的研究领域。

1 数学建模的方法与过程

数学建模的概念是针对一个具体的实际现象，依据其内在的发展规律，给出一些理想性的假设，利用数学知识建立一个数学模型的过程。即，数学建模简单来说就是利用我们所学的数学知识解决一些实际问题的过程。

建模的方法一般有两种：（1）原理分析，这类方法主要是针对一些有具体实际意义或物理背景的模型，根据对研究对象的实际认识，分析其内部因果关系，找出其内部的反应原理。（2）系统辨识，将研究对象看成一个“黑箱”，我们并不知道其内部反应原理，只能通过测量得到一些实验数据，再利用这些数据，利用计算机技术或统计的方法，拟合得出最好的模型，从而解决实际问题。一般在建模的过程中，我们既要用到原理分析，又要用系统辨别，首先利用原理分析建立数学模型的框架，然后利用系统辨识方法来计算出我们所建立模型的参数。

数学建模的步骤主要分为以下几步：（1）问题分析；（2）模型假设；（3）符号说明；（4）数据处理；（5）模型建立与求解；（6）模型评价；（7）模型改进与推广等。

数学模型的类型主要有两类：（1）依据研究对象与研究方法主要分为：逻辑模型、优化模型、几何模型、图论模型、扩散模型、微分方程模型等。（2）依据研究对象所属学科主要分为：生态模型、人口模型、生态模型、交通模型、环境模型、社会模型、城镇规划模型、生理模型、物理模型、经济模型等。

2 数学建模思想在高等数学教学过程中的重要性

近年来，随着目前高等学校办学规模的不断扩大，导致现在招生规模也进一步扩大，然而我们的生源质量却出现整体下滑趋势，大部分高校学生的数学基础十分薄弱，数学水平参差不齐。其次，目前大多数高等学校教师的教学方法与手段比较传统和单一，主要是讲授法，授课内容也比较枯燥，没有实际的应用价值，导致学生学习数学的兴趣不高，从而大部分学生带有“数学无用”的主观意识。另外，高校的考核方式也十分单一，主要采用平时成绩与期末考试成绩的双评价方式，考试的内容主要还是有关高等数学理论性知识的考核，导致很多同学考完高等数学就把数学知识丢掉了，完全不清楚学校开设这门学科的意义，也不清楚高等数学对自己专业学科的帮助。

虽然，加入大量的数学建模案例，在高等数学教学过程中是不太现实的，但是数学建模思想，我们可以可以尝试融入到高等数学教学过程中的，融入数学建模思想到高等数学教学过程中也是高等数学教学改革的一个十分重要的研究领域。

数学建模的思想在高等数学教学过程中的作用主要有以下几个方面：

（1） 培养学生学习数学的兴趣，提高学生的综合素质，如分析和解决实际问题的能力、创新能力、论文写作能力和团队合作精神等。如：一次数学建模的过程需要我们利用各种数学理论知识与方法以及对研究对象的实际认识去分析和解决实际问题，建立理想的数学模型，并利用计算机软件和统计软件进行处理和计算，反复验证，得到该模型最优的解，这些对培养学生的分析问题和解决问题的能力是有利的。另外，一次数学建模的完成是依据一个团队的力量来完成的，需要融合各个学科的综合知识，一般三个人，通力协作来完成的，另外在整个建模的过程中包含建模、编程、写论文等工作，所以要求学生具有较强的分析问题能力、写作能力、合作精神等。

（2） 培养教师的创造性思维，从而有助于提高教师的教育教学能力。教师只有不断的加强自己的创造性思维，在教学过程中慢慢渗透建模思想，在日常实际教学过程中慢慢增加一些实践环节，引导学生掌握“自发式”的学习方法，从而也达到了激发学生学习兴趣的目的。

（3） 推动高等数学课程建设的改革，包括教学内容、教学方法、教学手段等多方面的改革。

（4）为大学生参加数学建模比赛创造了基础。融入数学建模思想到高等数学教学过程中，可以使学生在平时的学习中受到数学建模思想的一些熏陶，督促学生自觉的去查阅相关信息，掌握相关知识，为学生参加一些全国性的数学建模比赛创造了良好的条件。近年来，已经越来越多的学校比較关注数学建模的教育以及建模比赛的参与。

3 数学建模思想在高等数学教学过程中的应用

3.1 建模思想在理论教学中的应用

数学概念的产生主要是根据实际需要而提炼的，所以在整个高等数学的教学过程中，我们教师应该重视数学概念的产生过程，引导学生从实际问题中抽离出数学概念，可以激发学生学习数学的积极性，提高学生学习数学的兴趣。高等数学中有几个核心的概念始终贯穿在整个教学过程中，如函数、极限、导数、微分、积分、向量、级数等。教师在讲解这些概念后可以补充具有代表性的案例，融入建模思想，从而使学生加深对抽象概念的理解。比如：在学习导数时，导数的概念是从物理问题中的变速直线运动求瞬时速度，几何问题中的求切线斜率等实际应用问题抽象出来的，这就足以已经说明导数的概念其实具有十分广泛的应用的，导数的应用主要是解决一些变化率的问题，以此为依据，可以针对导数的定义，引入边际成本、化学反应速度、最优价格等实际问题；在学习定积分的概念时，概念的提出主要是从几何问题求曲边梯形面积和物理问题求变力做功抽象出来的，定积分的基本思想是“化整为零”，基本过程有四步“分割、近似、求和、取极限”，概念的建立关键是以局部代替整体，以常量代替变量，以具体代替抽象。在所有的定积分的应用问题中，分析每一个局部是关键，因此提出了“微元”的思想。

3.2 建模思想在实际问题中的应用

在高等数学的教学过程中，尽可能选用一些与生活实际相结合的数学建模案例，使学生充分感受到，数学应用就在身边。通过对应用问题的分析和教材上已有模型的讲解，介绍数学建模思想方法，融入建模思想，从而使学生学会从实际问题中筛选出有用的信息与数据，建立模型，提供学生的理解能力、计算机能力、解决实际问题等能力。应用意识的融入，主要是通过一些具体的实际问题，让学生明确什么类型的问题可以用什么样的方法。例如：“存款问题”与极限方法、“贷款购房”与函数的应用、“投资费用问题”、“助学基金问题”与级数的应用、“电学问题”与微分方程、“倒酒问题”与向量代数等。高等数学中的应用问题有很多，下面主要从以下两个问题来分析：（1）最值问题。在导数的应用中，尤为重要的部分就是求已知函数的单调性与极值、最值和凹凸性与拐点了。在高等数学的教学过程中可以归纳出求最值的基本解题步骤，可以适当的增加一些实际问题来开拓学生的思路，如“平台的设置与调度问题”，通过练习使学生掌握求最值问题的方法，让学生体会到广泛性的应用。（2）微分方程问题。高数中微分方程这一章以计算为主，分别介绍了几种特殊的微分方程并给出相应的求解方法与过程。学习微分方程的计算实际就是为了解决一些应用问题的。一般的过程是，首先确定一些变量，分析这些变量之间的关系，然后依照数学、物理、化学、生物等理论知识或实践建立微分方程，并给出初始条件，利用高等数学中所学的微分方程求解方法得出结果，并分析和验证所得到的结果。微分方程概念的建立是从具体的实际问题抽离出来的，因此可以解决很多实际问题，如“期权问题”。

数学建模思想在什么时候融入最合适呢？当所学内容与已有经验相联系时，才是最有意义、最有效的，也是最能提高学生的学习积极性的。引进数学的模型是应借助已知的概念与定义，在解决模型的过程中，引入新的定义方法，这个时候融入数学建模思想是最合适的，效果也是最理想的。

4 加强培养教师的数学建模思想和创造性思维

作为学生学习道路的领航人，我们教师应该自觉加强自身的创造性思维，培养自己的创新意识，突破传统的教学模式，利用数学建模这个强有力的工具，引导学生掌握“自发式”的学习方法，在教学过程中融合数学建模思想。此外，还可以引导学生多积极参加数学建模比赛，还可以在大学数学基础理论课程中增加一些应用型的课程，如“数学建模”、“运筹学”、“统计学”、“数学实验”、“计算机基础”等，在其余与数学相关的专业课程教学中，也可以慢慢渗透数学理论以及建模思想，增加实际应用方面的内容，从而达到使教学内容不断更新的目的。

在高等数学教学过程中融入数学建模思想是目前高等学校推动高等数学教学改革的一种有效途径和重要方向，也有利于全面提高学生综合素质。通过融入数学建模思想到高等数学教学过程中，可以使学生提高学习数学的积极性，感受到数学的无窮魅力。

参考文献

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