利用导数化解数学中的问题

曾 美 陈国林

(1.赣州市蓉江新区潭东中学 341000;2.赣南师范大学科技学院 341000)

陈国林(1994.10-)，男，安徽亳州人，本科，从事中学数学解题，中学数学教育研究.

一、证明超越不等式利用函数的单调性来破解

例1 利用函数的单调性证明: sinx

解析设f(x)=sinx-x，因为f′(x)=cosx-1，且cosx<1,x∈(0,π)，所以f′(x)<0，f(x)在(0,π)上为减函数，故f(x)

评注此不等式是超越不等式，要想利用常规方法证明本题是难以进行的.若构造函数利用导数判断函数单调性，使用单调性予以证明则较为简单、快捷.

变式1 当x>0时，证明：

当x> 0时，f(x)>f(0)=0，即ln(1+x)>x-

二、利用导数求解参数问题

例2 (2017年新课标全国Ⅰ卷理)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

解析(1)由于f(x)=ae2x+(a-2)ex-x，故

f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①当a≤0时，aex-1<0，2ex+1>0，从而f′(x)<0恒成立．f(x)在R上单调递减.

②当a>0时，令f′(x)=0，从而aex-1=0，得x=-lna．

x(-∞，-lna)-lna(-lna，+∞)f′(x)-0+f(x)单调减极小值单调增

综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；

当a>0时，f(x)在(-∞,-lna)上单调递减，在

(-lna,+∞)上单调递增.

(2)由(1)知，

当a≤0时，f(x)在R上单调减，故f(x)在R上至多一个零点，不满足条件．

故当01时，g(a)>0.

又f(x)在(-∞,-lna)上单调减，在(-lna,+∞)单调增，故f(x)在R上至多两个实根．

综上，0

注意到h(1)=0，所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，即g(t)max=g(1)=1.

三、利用二次求导破解函数单调性

(1)证明：当a≥1时，f(x)有唯一的零点；

(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围.

解(1)略.

③当a≥1时，由(1)知，f(x)≥0.

综上，若f(x)≥0时，a的取值范围为[1,+∞).

评注二次求导的原因是导函数方程f′(x)=0无法用初等方程的求解方法求解，如果遇到的是超越方程，借用图解法大致判断解的位置，甚至通过观察获得特殊的解.在题目的设计当中一般二次求导后对于一阶导数是具有单调性的.

参考文献：

[1]陈国林,寇桂晏.追踪导数高考涉及的证明问题[J].数理化解题研究,2016(12).