在几何公式教学中如何引导学生进行建模

摘要：本文通过笔者执教的规则教学研讨课例《圆柱的体积》，就如何引导学生进行建模，在建模中如何培养学生的数学模型思想，提出具体做法和想法。公式教学建模分三步骤：1、创设问题情境，体会建模的必要。2、引导自主探索，体验建模的过程。3、求解应用公式，验证建模的意义。本课例中建立的几何公式类规则教学的模式，可以应用到小学阶段其他平面图形和立体图形公式的推导的课例。

关键词：公式教学；模型思想；实验演示；公式推导

《2011版数学课程标准》指出，数学模型是根据特定的研究目的，采取形式化的数学语言，去抽地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。而小学阶段的数学模型一般是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象的数学模型。数学建模就是通过建立模型的方法求得问题解决的数学活动过程。

笔者在本学期初，在越秀区数学六年级教研中，上了一节规则教学研讨课例《圆柱的体积》（人教版六年级下册）。以下通过这节课的课堂呈现、分析意图等，就如何引导学生进行建模，在建模中如何培养学生的数学模型思想，谈谈自己的具体做法和想法。

一、创设问题情境，体会建模的必要。

【课堂回放】在本课例中，要学生明确推导圆柱的体积计算公式的必要性和方向。先复习：长方体的体积=长×宽×高，长方体和正方体体积的统一公式“底面积×高”，即长方体的体积=底面积×高），所有的长方体都可以用这个公式计算出体积。引导学生猜想，圆柱的体积也有这样的计算公式吗？

1、有些圆柱体的物体如硬币、萝卜、蛋糕等可以用排水法或用切拼转化的方法，测量出它的体积。再出示柱子、压路机车轮等，提问：这些物体能用排水法测量体积吗？怎么办呢？引导学生说出如果能有计算公式就好啦。

2、出示三组圆柱体，第一组是：等高，底面积相差很大，让学生可以通过观察的方法直接比较得出结论：等高时，圆柱的底面积大，体积就大。第二组是：一个一元银币和一叠一元银币，让学生也可以通过观察的方法直接比较得出结论：等底时，圆柱的高越大，体积就越大。再出示第三组的两个圆柱体：让学生观察，这两个圆柱，底面积差不多大，高也差不多高，能通过直接观察的方法比较它们的体积大小吗？生：不能，可以通过计算出它们的体积进行比较，所以要推导出圆柱的体积计算公式。

[设计意图]1、复习长方体、正方体的体积计算方法，为圆柱体积的计算做准备。通过实物和图片的展示，提问，从生活中分析，有些圆柱物体不能用我们学过的排水法等测量出体积，得出推导公式的必要性，也就是建模的必要性。2、从数学的角度比较，当不能通过观察直接比较体积大小时，就要推导出公式，利用公式计算出体积才能比较。再从数学的角度得出推导公式的必要性。这样，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，即发现和提出问题是数学建模的起点。

二、引导自主探索，体验建模的过程。

【课堂回放】在本课例中，师提问：能不能将圆柱转化成我们学过的立体图形长方体？引导学生观察圆柱的底面是个圆，长方体的底面是个长方形。（生：转化成长方体）可以转化成长方体吗？你猜想的依据是什么？（同桌讨论）

提出猜想，引导学生回想圆面积计算公式的推导过程，明确实验方向。根据圆面积计算公式的推导过程来猜想，可以把圆转化成長方形。因为圆柱的底面是一个圆，可以把圆的底面分成很多等份，把圆柱切开，就可以拼成长方体。课件出示：圆转化为长方形。复习圆面积计算公式的推导过程：把圆等分切割，拼成一个近似的长方形，找出圆和所拼成的长方形之间的关系，再利用求长方形面积的计算公式导出求圆面积的计算公式。（强化把圆转化为直的思想）。可以把平面图形的方法类比到立体图形。大家都认为是可以把圆柱转化成长方体，对吗？明确了实验方向，我们动手操作验证一下。

2、实验演示：先让学生用学具，分小组操作，在操作中思考问题，并填好实验单。用动态课件再演示一次。想象分成无限多份时会怎样。先课件展示操作过程：把底面分成许多等份，再拼成圆柱.分4人小组合作（学生用学具，准备8个学具）：你们想自己操作试一试吗？用学具圆柱体的拼一拼，（注意把小份的放外面拼。）并填写实验纸。用课件再展示一次把圆柱拼成长方体的过程。

3、对比分析；（观察对比，寻求关系）学生展示作品并说明自己推导公式的过程。（要让学生拿起学具说，多个讲）。讨论：把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？讨论重点：1、圆柱通过切、拼后，转化出近似长方体，什么变了，什么没变？ 2、长方形的底面积等于圆柱的（）？3、长方体的高等于圆柱（ ）？4、因为长方体的体积=底面积乘高，你认为圆柱的体积怎样计算？用课件再展示一次，找出各部分间的对应关系。

4、推导公式：提升认识：通过观察，使学生明确：把圆柱转化成长方体后，形状变了，体积不变。长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。（长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高，V=Sh）

[设计意图]在学生探明方向的基础上，通过课件演示，学生动手实验操作后，通过观察、对比等，自主推导出圆柱的体积计算公式。在建模的过程，要通过学生的观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模的最重要环节。

三、求解应用公式，验证建模的意义。

【课堂回放】。在本课例的教学中，在推导出圆柱体积计算公式后，应用公式解决问题，巩固新知。出示例1：一根圆柱形木料，底面积为12.56cm?，长10cm，它的体积是多少？（先简单练习知道底面积和高求体积。）再出示三个圆柱体，给出不同的条件，应用几种不同变式练习，再解决实际的问题：柱子是一个顶天立地的圆柱体，要求它的体积是多少？怎么办呢？让学生说思路：用实际的物体说明有时只能量出圆柱的底面周长，不能量出半径或直径，也就是知道圆柱的底面周长，求体积的情况。利用公式解决实际问题。再到逆向应用公式，即逆向应用公式练习，使学生会正向和逆向应用计算公式。

[设计意图]通过模型求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。通过这节课例的教学，圆柱体积公式的推导过程，可以建立几何公式规则教学的模式，基本流程是：先提出问题（即为什么要推导公式，即建模的必要性。）；再建立模型（提出猜想，明确实验方向；实验操作演示；观察对比分析；利用旧图形的公式推导出新图形的公式。）最后要用模型，即求解验证。可以把这教学模式迁移到其他的几何图形的公式推导的教学。

数学建模的一般步骤可以简化为三个环节：1、从现实生活或具体情境中抽象出数学问题。即发现和提出问题是数学建模的起点。2、用数学符号建立方程、不等式等表示数学问题中的数量关系和变化规律。在这步中，现实要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等数学活动，完成模式抽象，得到模型。（这是建模的最重要环节。）3、通过模型求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。

總之，模型思想需要一线教师在教学中逐步渗透和引导学生不断感悟，要经历一个比较复杂的过程，不可能在一两节课就可以让学生完全感悟深刻的，需要老师在课堂上长时间的重视和不断渗透，针对具体问题进行教学，学生才能经历一个从模糊到清晰的领悟过程。例如，在本课例中建立的几何公式类规则教学的模式，可以应用到小学阶段其他平面图形和立体图形公式的推导的课例。让学生在这一类的几何图形教学中，不断积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。

参考文献：

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[5]课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育数学课程标准实验教科书数学六年级下。

[6]《新版课程标准解析与教学指导小学数学》.[G].北京师范大学出版社.北京：2012.07

作者简介：梁石云，1972.7.12，籍贯：广东云浮市，职称：一级教师，学历：教育硕士。