微结构表面磁极化共振频率的色散关系预测模型

张玉涛，岳 慧，林嘉轩

(电磁散射重点实验室，上海200438)

0 引言

负折射率材料是近二十年光谱控制领域的新课题，因其在超级透镜、热辐射器、传感器等光电器件方面具有广阔的应用前景[1-3]，因此负折射率的概念一经提出，就引起了广泛的关注。近年来，在穿孔的金属/介质/金属(MIM)结构光谱特性研究中，有效实现了复磁导率和负折射率[4-5]。在穿孔MIM结构的负折射率研究中，发现了一系列共振引起的吸收峰，并将这种共振效应称为磁极化。这种共振在其他的MIM微结构中同样存在，比如一维金属光栅，二维光栅等[6-7]，同时这些吸收峰的位置随着入射角的变化移动很小，具有等方性的特征，预测磁极化效应引起的共振频率对微结构表面的设计具有重要意义，可减少结构表面设计的时间。

表面等离子激元(SPPs)是入射电磁波与金属表面集体振荡的电子之间相互作用产生的沿金属表面传播的电磁波，可以有效增强微结构表面的吸收，在单一的金属/介质界面上，SPPs引起的吸收峰位置随入射角的变化会发生明显的移动。然而，在MIM微结构表面中，SPPs会变得更复杂，在两个金属/真空界面和两个金属/介质界面都会激发SPPs，金属/真空界面上的SPPs为外SPPs(e-SPP)，金属/介质界面上的SPPs为内SPPs(i-SPP)。当介质层厚度足够小时，两个i-SPP之间会相互耦合，这就是MIM微结构表面中的磁极化效应[8]。描述MIM结构中SPPs传播特性的方程即为色散关系，只要满足色散关系，就可激发磁极化效应。因此，利用色散关系可以预测出MIM微结构表面的共振频率。

本文将从描述SPPs的色散关系出发，建立MIM光栅结构的共振频率预测模型，并利用时域有限差分(FDTD)方法计算微结构表面的光谱特性，对预测模型进行验证，并讨论结构表面中的电磁场分布，分析磁极化效应的物理机理。

1 计算模型

MIM结构表面如图1所示。上、下两层金属光栅之间夹着一层SiO2介质膜;两层金属光栅的厚度分别为h1和h2;A为光栅周期;B为金属带宽度;b为光栅缝隙宽度;d为介质层厚度。整个微结构表面沿x方向周期性排布，沿y方向无限延伸。在MIM光栅结构中，金属材料选用银，其介电常数由Drude模型表示为[9]

式中：ωp为银的等离子频率(2 175 THz);γ为电子碰撞频率(4.35THz);w为电磁波频率。SiO2的相对介电常数设为定值2.1。由于MPs和SPPs只能在TM波入射时激发，所以本文只考虑TM波入射，磁场沿y方向振荡，电磁波沿-z方向入射，θ为入射角。微结构的初始结构尺寸：B=0.25μm，b=0.25μm，h=0.05μm，d=0.03μm。

色散关系是基于膜层结构提出来的，如图2所示MIM膜层结构，上、下金属膜层厚度分别为h1和h2，金属薄膜中间夹着厚度为d的介质层。

在TM波入射下，磁场可用波动方程表示为[10]

上式称为Maxwell旋度公式，由此可写出MIM结构各层中的电磁场表达式。

当z＞(d/2+h1)时，则有

当d/2＜z＜(d/2+h1)时，则有

当-d/2＜z＜d/2时，则有

当(-d/2-h2)＜z＜(d/2+h1)时，则有

当z＜(-d/2-h2)时，则有

式中：A1-A8为待定系数;εm、εd和εv分别为银、SiO2和真空的介电常数;

令km/εm=qm，kd/εd=qd，kv/εv=qv，根据电磁场切向分量在四个界面上的连续性条件，可以得到关于待定系数的线性方程组为

将线性方程组写成矩阵形式为

式中：M为系数矩阵;A为未知数矩阵。

当激发SPPs时，金属/介质表面的电磁场取得极大值，即A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8有极值，而取得极值的条件是系数矩阵M的行列式为0。令det M=0，exp(kmh1)=l1，exp(kmh2)=l2，exp(kdhd)=ld，可得

求解方程(20)，就可以得到MIM膜层结构的色散关系。

在光滑的金属/介质界面上，无法满足色散关系要求的水平波矢，通常利用光栅结构的衍射效应来补偿水平波矢，从而满足色散关系，激发SPPs。对于一维光栅结构，传播常数和入射电磁波以及光栅结构之间的关系为[11]

式中：k0为入射波矢;m为光栅衍射级数;Λ为微结构表面的周期。利用式(20)和式(21)，就可以预测MIM光栅结构的磁极化共振频率。

2 计算结果

根据图1所示的MIM光栅结构，取金属层的厚度为h1=h2=0.05μm，介质层厚度为d=0.03μm，色散关系曲线如图3所示。深色线条为内SPP曲线，其在Ag/SiO2界面激发。浅色线条为外SPP曲线，在Ag与真空界面激发。

结合式(21)，可以预测当结构周期为0.5μm时，一级内SPP的激发波长为259.2 THz，二级和三级内SPP的波长分别为494.1 THz和692 THz。当m=1时，该共振频率为577.8 THz。

为了对预测结果进行验证，利用FDTD方法计算了MIM光栅结构的光谱特性，如图4所示，在光谱吸收曲线明显呈现出四个吸收峰，分别位于228.8，551.5，600.0，642.4 THz。通过将吸收峰的位置与SPP引起的共振频率对比分析，认为228.8 THz和642.4 THz处的吸收峰分别是由i-SPP(1)和i-SPP(3)模式引起的。600 THz处的吸收峰是由e-SPP(1)的激发引起的。由于垂直入射下电磁场的对称性分布，i-SPP(2)模式并没有引起明显的吸收峰。

图5 为Ag/SiO2/Ag光栅结构在228.8 THz处的磁场分布，从图中看出，当激发磁极化效应时，电磁场被束缚在中间的介质层内，并且在Ag/SiO2界面上磁场较强，并沿界面法线方向衰减，与SPP的特征吻合，并且两个界面上的电磁场之间相互耦合。

3 结束语

本文利用色散关系建立了金属/介质/金属光栅结构共振频率预测模型，利用FDTD方法计算了微结构表面的光谱特性，并对预测频率进行验证，预测模型可以较好的预测磁极化共振频率。计算了MIM光栅结构中的磁场分布，研究发现激发磁极化效应时，电磁场分布与SPP的电磁场分布特征吻合，并且内SPP之间相互耦合，从而证明磁极化效应是由内SPP耦合产生的。