一种新的圆迹SAR快速后向投影算法

阚学超，李银伟，王海涛，付朝伟

(上海目标识别与环境感知工程技术研究中心，上海201109)

0 引言

后向投影(Back Projection，BP)算法是一种精确的时域成像算法，可以很好的解决圆迹合成孔径雷达(Circular Synthetic Aperture Radar，CSAR)成像中存在的距离向和方位向耦合的问题[1]。圆迹SAR的BP算法成像需要将成像区域网格投影到各个方位向距离压缩数据对应的位置上，并在所有方位向相干叠加，其计算复杂度与N3(假设方位向个数为N，成像网格点的数量为N×N)成正比。在圆迹SAR成像中，相邻成像网格点的间距与雷达波长成正比，当雷达发射高频信号时，成像网格点数N较大，此时BP算法成像效率低下，严重影响了其在实时成像领域的应用。

针对BP算法运算效率低下的问题，国内外学者从算法的层面上提出了多种方法以降低运算量。文献[2-3]提出了局部后向投影(LBP)算法，划分成像子区域，但在子图像拼接的精度受到误差影响较大。文献[4-5]提出了基于极坐标下划分子孔径的快速后向投影(FBP)算法，通过子孔径图像相干叠加的方法缩减了计算量，但FBP算法中成像质量受到插值运算影响较大。文献[6-7]在FBP的基础上提出了快速分解后向投影(FFBP)算法，建立了子孔径分解、波束形成和子孔径(子图像)递归融合的基本框架，但FFBP算法无法直接结合自聚焦技术进行运动补偿。文献[8-10]提出了使用LOS虚拟极坐标系来改进FFBP的算法和加速后向投影(Expediting BP，EBP)算法，解决了自聚焦和运动补偿结合的问题，但同时也存在角域波数谱折叠的问题。

本文根据BP算法的原理，提出了一种将目标区域投影到一维距离的快速BP算法。此方法通过将成像区域投影到目标区域中心与雷达连线的一维距离r上，减少了目标区域投影到各方位向距离压缩数据对应位置上的复杂度，实现了运算量的缩减。同时，文章对传统BP算法和快速算法的计算量进行分析和对比，并通过仿真验证了该方法的有效性。

1 算法原理

首先分析传统的BP算法成像原理，并在此基础上提出快速BP算法。

1.1 传统BP算法

后向投影(BP)算法是一种时域算法，其主要过程就是沿着斜距历程对成像区域网格上的各像素点进行重建。本文基于圆迹SAR的工作模式，对BP算法进行了讨论。

图1是圆迹SAR的工作模式下BP算法的成像原理示意图。

式中：R0为雷达运动圆周的半径;θ为雷达转动的角度;H为雷达飞行高度。

将成像网格的每一个网格点(xi，yj)投影到距离向匹配压缩后的数据上，并与exp(j4πRθ;ij/λ)相乘作方位向相位补偿，得到雷达运动角度θ时网格点的散射特性函数为

将成像网格在各个方位向(θp，p=1，2，…，N)的散射特性相干叠加，可得到目标区域成像聚焦为

式中：f(x，y)为目标区域的散射特性系数。

1.2 快速BP算法

BP算法中划分的成像网格中相邻网格点的间距与信号频率成反比，同一大小的目标区域高频信号成像时划分的网格点数较低频信号成像时划分的网格点数多，此时传统BP算法的运算量将很大。因此，减少BP算法的运算量是高频信号时圆迹SAR实时成像的关键技术。

本文提出一种将成像网格点投影到一维距离的快速BP算法，图2是快速BP算法的工作原理示意图。

由图2可见，快速BP算法以雷达平台到目标区域中心的方向为参考方向，以目标区域中心与雷达平台的距离为参考距离，等间隔的划分一维距离点，可以表示为

式中：r为一维距离;Δr为距离间隔;M为一维距离包含的距离数。

快速BP算法将一维距离r代替成像网格点投影到各个方位向经距离压缩后的信号上，投影位置的数据可以表示为

式中：s(τ，θ)表示投影信号;τ表示快时间;A表示信号幅度;B表示信号带宽。

在方位向进行相位补偿时，需与相位因子exp[-j4πrk(θ)/λ](k=1，2，…，M)相乘，雷达转动角度θ时一维距离r的散射特性系数为

式中：γFBP_θ表示一维距离r在雷达转动θ度时的散射特性。

对目标区域成像时，需将传统BP算法的成像网格(xi，yj)|i，j=1，2，…，N;投影到一维距离网格rk|k=1，2，…，M上，投影关系为

式中：rθ;ij表示雷达转动角度θ时网格点(xi，yj)投影到r上的位置，且r1≤rθ;ij≤rM，其散射特性系数为γFBP_θ;ij。

在本文提出的快速BP算法中，目标区域划分的成像网格点投影到了一维距离r上，由于一维距离r是等间隔非连续的，因此成像网格点并不能准确的投影到r上的每一点上，而是投影到r中与rθ;ij最接近的一点上，此时投影误差和投影相位误差的表达式为

式中：ΔRθ;ij为角度θ时的点(xi，yj)投影到r上的rθ;k与实际距离rθ;ij的误差，且满足ΔRθ;ij＜Δr，Δr=rk+1-rk;Δφθ;ij为投影误差相位。

投影误差将导致方位向相位补偿时产生相位误差，当投影误差较大时，旁瓣升高，分辨率下降，严重影响成像质量。为了减少投影误差，应减小r的间隔Δr，即当投影距离固定时，应增大一维距离划分的点数M。

将成像网格点投影在一维距离r上对应的位置的散射系数代入成像网格的散射系数，可得到雷达转动角度θ时成像网格点的目标散射特性系数，如式(9)所示。

将各个方位向的γFBP_θ相叠加，可得目标区域的散射系数为

式中：γFBP为快速BP算法得到的成像网格点的散射系数。

2 传统BP算法和快速BP算法成像效率对比

为了验证快速BP算法在减少运算量方面的有效性，应对传统BP算法和快速BP算法的运算量做出定量分析和对比。

2.1 传统BP算法运算量

传统BP算法在计算过程中，假设方位向采样个数为Na(θi|i=1，2，…，Na)，划分的二维成像区域网格点数为N×N，则成像网格在各个方位向距离压缩数据上的投影运算量为

成像网格点在各个方位向做相位补偿，运算量为

BP算法中各个方位向的成像网格点的散射系数相干叠加的运算量为

因此，传统BP算法总的运算量为

2.2 快速BP算法运算量

假设方位向采样个数为Na(θi|i=1，2，…，Na)，在对每一个方位向投影时，投影的一维距离元数目为M，此时各个方位向相位补偿的乘法运算量为

将成像网格点投影到一维距离r上的运算量为

将各个方位向的成像网格点散射特性相干叠加，可得到加法运算量为

快速BP算法总的运算量为

2.3 两种算法运算量成像效率对比

在上述的分析中可以观察到，快速BP算法相比于传统BP算法运算量的减少主要在于各个方位向相位补偿过程中运算量由NaN2减少到NaM(M＜N2)，式(19)表示快速BP算法相比于传统BP算法运算效率提高的倍数。

当Na≈N且N较大时，κ≈1.5。但在软件仿真的过程中，相位补偿和投影过程中包含多个乘法计算和加法计算，此时κ＞1.5，快速BP算法具有更高的运算效率。

3 仿真验证快速BP算法的有效性

在分析快速BP算法的原理和运算量的基础上，通过仿真进一步验证快速BP算法的有效性。

以太赫兹圆迹SAR的运动模型为基础进行仿真，雷达载频为220 GHz，雷达带宽为1 GHz，采样频率为1.2 GHz，距离向采样数为512，方位向采样数为5 120。

在传统BP算法成像时目标区域划分的成像网格点数目为1 000×1 000，快速BP算法成像时，设一维距离元的数目为1×20 000，则两种方法的成像结果和峰值旁瓣比(PSLR)如图3所示。

由图3(a)和图3(c)可以观察到，快速BP成像算法得到的目标成像结果与传统的BP算法成像结果近似一致。比较图3(b)和图3(d)可以得到，相比于传统BP算法，快速BP算法成像的旁瓣略有升高，但变化不大，并不影响成像质量。

此外，由图3中观察到，快速BP算法成像的旁瓣略有波动不平滑，这是由于成像网格投影到一维距离r上，而r并不连续造成的，对成像质量影响可忽略。

在快速BP算法不影响成像质量的前提下，通过仿真分析了快速BP算法和传统BP算法的运算效率。经多次仿真分析后可得到，当一维距离元之间的间隔Δr与波长λ相近时，成像网格点投影误差对成像质量影响较小，可忽略不计。设单行网格点数目为N，则网格点数为N×N，对于不同的成像网格点数目，两种方法运算时间如图4所示。

由图4可以观察到，当N较小时，传统BP算法和快速BP算法的成像时间相差并不大;但当N迅速增大时，传统BP算法成像所用时间迅速增加，而快速BP算法成像时间增加较为平缓。当单行网格数N=1 000时，快速BP算法成像所用时间是传统BP算法成像所用时间的1/3。随着N的增大，快速BP算法成像所节省的时间越多。本仿真验证了快速BP算法在减少运算量方面的有效性。

4 结论

在传统BP算法的原理上，文章提出了将成像网格点投影到一维距离上的方法，实现BP算法成像运算量的缩减，并定量分析和对比了传统BP算法和快速BP算法的成像运算量。同时，通过仿真验证了快速BP算法对成像质量的保证，并在相同条件下对两个算法的成像时间作对比，验证了快速BP算法在缩减运算量方面的有效性。