古典概型学习直通车

古典概型是高考考查的重点和热点,考查的主要内容是事件发生的概率的求解,且常与其他相关知识交汇命题。那么什么是古典概型?古典概型的概率该如何计算呢?下面就让我们一起登上古典概型学习的直通车吧!

一、知识要点梳理

1.古典概型。

(1)定义：一个试验满足以下两个特征：①有限性：试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果。②等可能性：每一个试验结果出现的可能性相等。我们把具有这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典概率模型)。

(2)计算公式：对于古典概型,通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的。如果试验的所有可能结果(基本事件)的总数为n,随机事件A包含的基本事件的个数为m,那么事件A的概率规定为

(3)求古典概型概率的步骤：①反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意;②判断试验是不是等可能事件,并用字母表示所求事件;③利用列举法或其他方法计算基本事件的总数n及事件A包含的基本事件的个数m;④计算事件A的概率

2.建立概率模型。

(1)一般来说,在建立概率模型时,一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的,每次试验有且只有一个基本事件出现。只要基本事件的个数是有限的,并且它们的发生是等可能的,那么这种概率模型就是古典概型。

(2)对于同一个随机试验,可以根据需要建立满足要求的概率模型。

(3)从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转化为不同的古典概型来解决,而所得到的古典概型的所有可能结果数越少,问题的解决就会越简单。

二、重要题型导学

1.基本事件的个数判断。

例1一口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球,从中摸出2个球。

(1)共有多少种不同的结果(基本事件)?

(2)摸出2个黑球有多少种不同的结果?

思路分析：由题目可获取以下主要信息：口袋内的4个球是有区别的,摸出其中任意2个球都是一种结果,要把各种情况一一列举出来。

解：(1)基本事件共有6种不同的结果,分别为(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),(白,黑1),(白,黑2),(白,黑3)。

(2)从上面所有结果可看出摸出2个黑球的结果有3种。

评注:基本事件个数的探求方法:①列举法,此法适合于较简单的试验。②树状图法,树状图也是列举的一种常用方法,适合较复杂问题中基本事件个数的探求。

2.古典概型的判断。

例2一口袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每个球都有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球。

(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看成是一个基本事件的概率模型,则该模型是不是古典概型?

(2)若将球的颜色作为基本事件,则有多少个基本事件?以这些基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?

思路分析：由题目可获取以下主要信息：①袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球。②每个球都有一个区别于其他球的编号,现从中摸出1个球。解答本题可先确立概率模型,以及它是由哪些基本事件所构成的,然后再判断该模型是否满足古典概型的特点,进而确定是不是古典概型。

解：(1)由于共有11个球且每个球都有不同的编号,故共有11种不同的摸法。又因为所有球的大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型。

(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个基本事件,分别记为：A：“摸到白球”,B：“摸到黑球”,C：“摸到红球”。又因为所有球的大小相同,所以一次摸球时每个球被摸中的可能性均为,而白球有5个,故一次摸球时摸中白球的可能性为。同理可知,摸中黑球、红球的可能性均为。显然这3个基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型。

评注:针对这个类型的题目,首先要看这个概率模型是由哪些基本事件构成的,然后再研究这些基本事件的个数是否有限、出现的可能性是否相等。要注意的是选择的基本事件不同,结果可能有所不同。

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3.列举法求古典概型的概率。

例3一口袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率：

(1)事件A：取出的2个球都是白球。

(2)事件B：取出的2个球中1个是白球,1个是红球。

思路分析：先将基本事件一一列出,并加以计数,再用古典概型的概率计算公式求解。

解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6。从袋中的6个球中任取2个球的取法有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种。

(2)从袋中的6个球中任取2个球,其中1个是白球,1个是红球,其取法包括(1,5), (1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),共8种。所以取出的2个球中1个是白球,1个是红球的概率为

评注:①列举法可以使我们明确基本事件的构成,该法适合于基本事件的个数比较少的情况。②列举时要按规律进行,通常采用分类的方法列举,这样可以避免重复或遗漏。

4.图表法求古典概型的概率。

例 4汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现着人类追求“均衡对称、和谐稳定”的天性。如“土”“口”“木”三个汉字,均可以看成是轴对称图形。

(1)请再写出两个可看成是轴对称图形的汉字。

(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后先抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能组成上下结构的汉字(如“土”“土”组成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜。你认为这个游戏对谁有利?请用列表的方法进行分析,并说明写出组成的汉字。

思路分析：可以先用列表法列出所有可能的结果,再用古典概型的概率计算公式求解。

解：(1)如田,日,王等。

(2)这个游戏对小慧有利。每次游戏时,所有可能出现的结果如表1所示。

表1

由表1可知共有9种结果,且每种结果出现的可能性相等,其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：(土,土)组成“圭”,(口,口)组成“吕”,(木,口)组成“杏”或“呆”,(口,木)组成“呆”或“杏”。所以小敏获胜的概率为,可知小慧获胜的概率为。故这个游戏对小慧有利。

评注:在求古典概型的概率时,通常先将总的基本事件用表格或直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接、更准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数,然后再根据古典概型的概率计算公式求出相应的概率。

5.树状图法求古典概型的概率。

例5甲口袋中装有2个相同的小球,它们的标号分别为2和7;乙口袋中装有2个相同的小球,它们的标号分别为4和5;丙口袋中装有3个相同的小球,它们的标号分别为3,8,9。从这3个口袋中各随机地取出1个小球。

(1)求取出的3个小球的标号全是奇数的概率。

(2)以取出的3个小球的标号分别表示3条线段的长度,求这些线段能构成三角形的概率。

思路分析：读懂题意,利用树状图列出所有可能情况。

解：(1)画出树状图,如图1所示。

图1

由图1可知共有12种等可能的结果。取出的3个小球的标号全是奇数的情况有(7,5,3),(7,5,9),共2种,所以所求概率为

(2)由图1可知这些线段能构成三角形的有(2,4,3),(7,4,8),(7,4,9),(7,5,3), (7,5,8),(7,5,9),共6种情况,所以所求概率为

评注:画出树状图,用列举法表示等可能的有限个试验结果,可以直观地理解题意,寻找解题思路。

三、易错点剖析

例6一对年轻夫妇喜得双胞胎,请问双胞胎中一男一女的概率是多少。

错解：双胞胎有双男、双女、一男一女共3个基本事件。设事件“一男一女”为A。

因为n=3,k=1,故一男一女的概率

剖析：以上3个基本事件不是等可能的。实际上,按出生时间先后,双男有(男,男)这1种,双女有(女,女)这1种,而一男一女有(男,女),(女,男)这2种。等可能事件要抓住“等可能”这个实质,“等可能”重在结果,而不是事件本身。

正解：双胞胎的性别按出生时间先后有(男,男),(女,女),(男,女),(女,男)这4个基本事件。设事件“一男一女”为A,则n=4,k=2,所以一男一女的概率

评注:求古典概型的概率应注意以下问题:①判断是否具备有限性和等可能性这两个特征,特别是等可能性。②由于观察的角度不同,基本事件的个数就不同,因为基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数的计算必须站在同一角度。

四、实战演练

1.从甲、乙、丙3人中任选2名代表,甲被选中的概率是( )。

2.一盒中有1个黑球和9个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别。现有10个人依次摸出1个球,设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1,第10个人摸出黑球的概率是P10,则P1与P10的关系是____。

参考答案：

1.C2.P1=P10