基于复合函数的复杂机械系统分层响应面建模与可靠性分析

王骞， 张建国， 彭文胜， 杨乐昌

(1.北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院， 北京 100191； 2.北京航空航天大学 可靠性与环境工程重点实验室， 北京 100191；3.中国航空综合技术研究所， 北京 100028)

0　引言

对于简单机械产品，根据已知的输入输出关系，容易构建其设计功能对应的显式极限状态函数，进而采取阶矩法(F/SORM)、渐近积分法、蒙特卡洛仿真(MCS)等方法求解可靠度。对于复杂机械产品，其输入输出间存在高度非线性，基于二次多项式[1]、Kriging[2]、支持向量机[3]及人工神经网络[4]等替代模型的响应面法(RSM)，可拟合隐式极限状态函数，给可靠性建模分析提供了另一种可行手段。

在实际工程中，机械系统与各零部件间具有典型的层次型结构[5-7]，低层的输出作为高层的输入，最终作用于系统的性能参数，是一个响应逐级上传的过程,例如:弹簧刚度- 悬架刚度- 汽车刚度；轴承游隙- 关节间隙- 指向误差。然而以上传统RSM及其衍生方法忽略了已知的零部件响应，直接将系统视为一个整体黑盒进行建模分析。当底层基本变量数目过多时，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长，求解效率极低，且结果往往不收敛。即便是具有全局统计特性的Kriging响应面，也难以找到模型参数最优值，精度甚至低于二次响应面[8]。现有研究或改进替代函数形式[9-11]，或赋予样本点合理的权重系数，淘汰了离极限状态曲面较远的劣质样本[12]，但没有充分利用系统内部的物理关系，其迭代过程仍极易陷入远离验算点的局部极值，庞杂变量导致计算耗费指数激增的难题依然存在，求解精度及速度始终不能满足要求，且始终无法认知底层变量到系统的作用过程。

本文针对具有物理层次模型关系的机械系统可靠性建模分析问题，将极限状态函数表示为部分基本变量及若干零部件响应函数组成的复合函数，提出分层响应面法(HRSM)。该方法将庞杂的基本变量分配至中间层的零部件来构建响应函数，再整合中间层响应来拟合系统顶层极限状态的响应面，从而解决了传统RSM一次考虑所有变量的不合理性和难以收敛的问题。以双轴驱动机构为研究对象，考虑影响最终指向精度的所有零件误差及其累积传递关系，验证了HRSM的有效性和可行性。

1　分层响应面法

1.1　系统分层与HRSM基本思想

(1)

式中：a、bi和ci分别为各项待定系数；s为变量数目。

复杂机械系统的性能可靠性问题涉及众多零部件和影响因素，为减少其建模分析过程的计算量和复杂度，一般根据功能属性、组成结构、物理尺度等准则将系统分为多级层次节点，每级存在不同的决策变量及影响最终性能的要素[13]。如图1所示是一个典型的3级层次型系统。

图1中：底层节点包括Xl=[Xl1,Xl2,…,Xln]及Xh=[Xh1,Xh2,…,Xhm],表示系统的基本变量；中间层节点为Z=[Z1,Z2,…,Zn],表示零部件及其功能；顶层节点为G=F(Xh,f(Xl)),表示所要研究的系统对象；各层以物理关系连接，系统信息遵循从低到高的传递方式。为有效对上述层次化系统进行可靠性分析，本文提出基于复合函数的HRSM. 具体步骤如下：

1)定义底层节点，将影响系统响应的全体变量集合分为Xl和Xh两个子集。其中：Xl通过影响中间层节点响应f(Xl)，间接作用于顶层节点；Xh是顶层节点的直接输入。

2)构建中间层节点Z，即根据结构层次、运动传递等物理关系，确定影响系统性能的若干零部件响应，作为中间层节点Z；再通过Z中元素的输入样本Xl及其输出响应f(Xl)，分别拟合各自的响应面模型，作为顶层节点的间接输入。

3)构建顶层节点G，即对若干中间层节点协同抽样，求得Z的参数特征；将其与基本变量Xh重新整合，构建系统极限状态的响应面。

1.2　系统HRSM的数学模型

基于1.1节的系统层次模型，对极限状态函数为复合函数F(Xh,f(Xl))的可靠性问题，按照HRSM思想建立其分层响应面模型如图2所示。

具体建模流程如下：

1)根据系统失效的具体定义分析其影响因素，确定底层节点的两类基本变量：直接输入系统失效函数的Xh；间接输入系统失效函数的Xl. 其中：部分Xl变量可能是数个子模型的公共输入，可视为系统的直接耦合因素；各子模型的局部变量往往也存在深层相关性，是系统的间接耦合因素，虽然不能直观显示，但经协同抽样并进行实验仿真后，局部变量彼此的影响会反映到最终输出。

2)根据基本变量Xl与零部件响应的物理关系，构建中间层节点Z的响应模型：

Zi=fi(Xli),i=1,2,…,n，

(2)

(3)

式中：Xli=「x1i,x2i,…,xTi⎤包含T个变量；a0i、bti和cti是(2T+1)个待定系数。

(4)

式中：hX为样本点系数。

(5)

(6)

式中：a、bi、cj、di和ej为(2m+2n+1)个待定系数。

(7)

(8)

式中：ε为极小非负实数。

1.3　基于HRSM的可靠性分析

(9)

式中：U为随机变量转化到标准正态空间的值。

(10)

‖U(k+1)-U(k)‖/‖U(k)‖≤ε1,
G(U(k+1),Y(k+1))≤ε2,

(11)

式中：ε1和ε2为极小非负实数；k为迭代数。

综上，基于HRSM的可靠性分析流程如图3所示。

由图3可知，相比传统的RSM等单一系统模型，HRSM有以下优点：

1)在中间层建模前，基于层间物理关系划分的多个节点，更容易客观地考虑各影响因素对系统失效的作用过程，提高精度。

2)在中间层建模时，不同节点间可实现并行计算，并利用已知解析式，避免拟合浪费。

3)在顶层建模时，极限状态函数所含变量数目锐减，从而减少了计算量和拟合时间，使不可能求解的问题变成了可能。

4)最终进行可靠性分析时，顶层响应面相对简单，进一步提高了计算效率。

需要说明的是，HRSM模型不局限于3层，其划分原则是：当系统层间信息对精度的提高作用超过拟合分层响应的误差时，可以进行3层及更多层模型的构建。

2　数值算例

为比较本文HRSM与传统二次多项式RSM在精度和效率方面的差别，假设已知某系统的极限状态函数及其中间层两节点的响应解析式如下：

(12)

式中：z1和z2为影响系统性能的中间层节点；x1～x8为相互独立且服从正态分布的随机变量，其均值和标准差如表1所示。

由于传统RSM直接对全体变量和顶层响应建模的固有特点，无法结合中间层节点z1和z2的响应关系，只能基于8个底层变量拟合系统响应面：

表1　算例参数特征Tab.1　Parameter characteristics of the case

(13)

而HRSM先基于x3～x5、x6～x8构建中间层节点z1和z2的响应模型(忽略≤10-3的系数项)：

(14)

选取多种分布拟合z1和z2，对比最接近样本响应的几种拟合结果，如表2所示。

表2　各分布的似然函数Tab.2　Logarithmic likelihood function of fittings

从表2可知，广义极值分布的似然函数值最大，拟合效果最优，得到z1～GEV(0.046,1.516,5.105),z2～GEV(0.158,2.937,7.018)，然后由x1、x2、z1和z2共4个变量拟合顶层响应面如下：

(15)

最后，采用MCS对解析式、RSM模型及HRSM模型进行106抽样，三者的可靠性分析结果如表3所示。

以解析式的失效概率为基准值，由表3可知，与传统RSM相比，HRSM降低了样本量和循环次数，提高了失效概率的计算精度。

从可靠指标的迭代过程来看，RSM从第2次迭代开始就进入错误的搜索方向，由于判断响应面收敛条件是验算点间的距离，传统RSM所含的变量过

表3　可靠性分析结果对比Tab.3　Comparison of reliability analyses

多，即使两次验算点有较大改变，迭代距离的变化却可能很小，导致始终未能跳出局部最优点的范围，收敛结果背离真实失效点，因此误差较大，远远超过HRSM累积传递的部分。

3　双轴驱动机构运动精度可靠性分析

3.1　双轴驱动机构误差层次模型

下面以某双轴驱动机构(见图4)为研究对象[18-20]，验证HRSM在实际工程中的有效性。

图4中：O0、O1和O2为3个坐标系，0、1和2分别为纵轴、横轴及反射面编号；转角θ0,θ1∈[-70°,70°]；连接支架L0=L1=165 mm；执行末端指向精度以偏角δ衡量，根据静态跟踪模式要求，其极限值δl=0.062°. 两轴含有一致的谐波减速器及轴系、轴承组件，按物理层次关系分析可知，加工、装配产生底层误差，如表4所示。

表4中各变量相互独立，除轴向游隙为区间变量外，其余误差为正态变量。这些误差累积到两轴关节，导致径向间隙Er0和Er1、轴向间隙Ea0和Ea1以及转角间隙Et0和Et1[19].

表4　主要误差源Tab.4　Main sources of error

由图4的几何关系可知，关节间隙传递到执行末端会导致3种位置误差dx2、dy2、dz2和3种姿态误差φx2、φy2、φz2，其中指向偏角δ与其同向的dx2和φx2无关，经坐标变换求得其余4种位姿误差如下：

(16)

由(16)式可得，指向偏角δ的影响因素包括5个关节间隙Er0、Ea0、Et0、Ea1、Et1及横轴转角θ1，从而构建该机构误差传递的层次模型如图5所示。

由图5可知，双轴驱动机构的运动精度极限状态函数具有复合函数形式：

G=δl-δ=F(Xh,f(Xl)),

(17)

式中：Xh仅包含唯一变量θ1；f(Xl)包括5个关节间隙代表的中间节点Er0、Ea0、Et0、Ea1和Et1，均为底层误差的响应函数。根据极限状态函数的定义，当G>0时，末端指向精度能满足要求，机构跟踪状态可靠，反之失效。

3.2　关节间隙的子模型

基于HRSM，首先将运动精度可靠性总模型分解为5个关节间隙的子模型，由底层误差向关节处传递的结果可知：

1)径向间隙Er0的影响因素为输出轴及轴承的径向误差；轴向间隙Ea0和Ea1的影响因素为轴承的轴向游隙。三者存在线性解析式：

(18)

2)转角间隙Et0和Et1源自谐波齿轮传动装置产生的三类误差：

Eti=f(FAi,FBi,FCi)，i=0,1,

(19)

式中：FAi为周节累积误差，包括Ai1和Ai2；FBi为切向合误差，包括Bi1和Bi2；FCi为径向合误差，包括Ci1～Ci5.

由于多齿啮合关系复杂，Eti不存在解析形式，为求其响应函数，根据机构的几何尺寸及运动关系，在ADAMS中建立虚拟样机模型[21]如图6所示。

通过影响Eti的8类底层误差的参数特征及Bucher设计方法生成样本，导入虚拟样机进行运动仿真并拟合(忽略≤10-5的系数项)：

(20)

至此，所有中间层节点子模型的响应函数均构建完毕，下一步可进行顶层响应面的建模分析。

3.3　运动精度可靠性总模型

基于3.2节中的5个关节间隙函数模型，输出各自的响应分布特征及区间范围，其中：

1)Er0为独立正态变量之和，直接求得Er0～N(0,23.725 3)。

2)Ea0和Ea1为区间变量之和，采用区间优化算法求得Ea0∈[-82,82],Ea1∈[-72,72]。

3)Et0和Et1为二次响应面函数，通过MCS进行106次协同抽样，以正态、逻辑斯蒂及广义极值分布分别拟合后，结果如图7和表5所示。

对数似然函数分布类型正态广义极值逻辑斯蒂Et0-457542-457897-458412Et1-442319-443442-443261

将3种拟合曲线进行对比，最贴近频率直方图的曲线及对数似然函数最大值均为正态分布，拟合得到Et0～N(0°,0.006 5°),Et1～N(0°,0.005 6°)。综上所述，在运动精度极限状态函数F(θ1,Er0,Ea0,Ea1，Et0，Et1)中各变量的参数特征如表6所示。

表6　中间节点参数特征Tab.6　Parameter characteristics of intermediate node

(21)

(22)

由上述分析结果可知，当两轴轴向间隙达到边界时，定位失效的最危险点位于横轴转角-0.126 rad，约-7.2°. 综合考虑定位指标及可靠性，取指向偏角极限δl为0.062°，此时最小可靠度为0.998 7，基本满足双轴驱动机构的设计要求。

3.4　HRSM有效性验证

为验证HRSM的有效性，考虑变量样本系数hx对上述运动精度可靠性分析的影响，计算结果如表7所示。

表7　变量样本系数的影响Tab.7　Effect of variable sample coefficient

注：N1为响应面的更新次数；N2为区间优化次数。

进一步地，采用MCS对传统RSM模型、HRSM模型及ADAMS仿真模型进行运动精度可靠性分析，在不同抽样次数下，3种方法的总耗时及失效概率如表8所示。

表8　3种方法结果对比Tab.8　Comparison of three methods

注：t为拟合求解的总时间。

从表8的失效概率值可以看出：HRSM的计算精度几乎与仿真模型一致，优于RSM；此外，HRSM耗时约为RSM的10%，远低于仿真模型；随着抽样次数的增加，其效率优势更加明显；特别地，当仿真次数为106时，HRSM能解决RSM难以收敛的问题。综上所述可知，相比传统RSM及仿真模型，HRSM能在较高精度的前提下节省求解成本。

4　结论

1)基于响应存在解析式的数值案例，通过HRSM与RSM模型的对比结果表明：HRSM缩减了传统RSM单一模型的变量总数和拟合难度，提高了求解精度，有效利用了已知的零部件响应Zk,避免了计算浪费。

3)将HRSM的分析结果与RSM及ADAMS仿真模型进行对比，结果显示：hX在一定范围对HRSM分析结果不敏感；此外，随着抽样次数的增加，HRSM在精度及效率方面的优势更加突出。

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