有序推进，追求概念的“精致”建构——以“射线、直线和角的认识”一课为例

□ 陆李华

数学概念是数学的逻辑起点，是构成抽象数学知识的“细胞”,也是学生思维、认知的基础。认知心理学认为，概念教学必须经历“精致”的过程，其实质是运用强化感知、提供范例、变式教学、拓展深化等方法对概念的内涵与外延进行深度全面的把握，促使概念的“精致”落到实处。本文结合“射线、直线和角的认识”的教学，来谈谈如何有序推进概念的“精致”建构。

一、根植经验，初步感悟概念——概念“精致”建构的前提

概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有认知结构与新概念之间是否平衡。因此，教学中要善于根植与激活学生已有的认知经验，充分利用新概念与原有认知结构的差异来设置情境，从而引起认知需要，促使其展开积极主动的学习。

【片段1】

师：同学们，你们看，拉紧的线，绷紧的弦，它们都可以看作什么呀？

生：线段。

师：对！线段是我们已经认识的老朋友了，谁来说说它有什么特点？

生：线段是直直的，而且有两个端点。

师：你能画一条10厘米长的线段吗？（学生画线段）

师：画线段时，要注意些什么呢？

生：要用直尺画直。

生：不能漏了端点。

师：这小小的端点有什么作用呀？

生：如果没有了它，这条线就没有终点，它会一直延伸出去了。

师：真会想象！还是看这条10厘米长的线段，如果起点用0来表示，终点用10来表示。那么比10大的数，应该在哪边？

生：都在右边。

师：我们一起接着数一数。

学生继续数数，课件动态演示线随之不断向右延长的过程。

师：这样数下去，数得完吗？

生：数是无穷的，数不完。

数学概念是小学数学知识的基础，也是数学教学最重要的内容。通过对“射线、直线和角的认识”这一概念的教学分析可以看出，数学概念的形成是一个循序渐进、“精致”建构的过程：根植经验，初步感悟概念是概念“精致”建构的前提；系统整理，形成概念网络是概念“精致”建构的关键；多维思辨，触摸概念本质是概念“精致”建构的核心；拓展升华，深化概念理解是概念“精致”建构的保证。

概念教学；本质；“精致”建构

师：那相对应的这条线呢？

生：也会一直不断地延伸下去。

师：对！数是无穷尽的，相对应的线也无限长。

师：同学们，像这样把线段的一端无限延长，就得到了一条射线。

师：你知道为什么要说“线段的一端”吗？

生：因为如果右边端点不动，左边的端点去掉的话，也会得到一条射线。

师：真会想象！仔细观察射线，你联想到生活中的什么吗？

生：手电筒射出的光线。

生：激光灯射出的光线。

……

师：现在老师遇到了一个难题。我想把这条无限长的射线画在纸上，该怎么办？试试看！

生：我画到了纸的边上，感觉不好画了。

师：是啊！画不下了，怎么办呢？

生：我觉得根本不用画到边上，其实把一端的端点去掉，就说明它没有封口，可以无限延长了。

师：没错，我们是无法把这条射线全部画出来的，所以只要画出它的一部分就可以了。

师：刚才我们把线段的一端无限延长就得到了一条射线。想象一下，如果把线段的两端无限延长呢？

生：那会形成直线！

课件动态演示线段到直线的变化过程。

师：仔细观察一下直线，你能提个问题考考大家吗？

生：直线有什么特点？

生：怎样画一条直线？

生：直线和线段、射线有什么不同？

在互相提问、互相质疑中明确直线的特征，以及如何画一条直线。

对于射线概念的理解，“无限长”毋庸置疑是个难点。因为生活中没有这样的原型，所以对小学生来说既陌生又抽象。教材安排从探照灯射出的光线引入，但学生容易误解为光线总会有尽头，对概念的理解会造成不必要的干扰，使得学生对“无限”的理解只能借助于苍白的描述和想象。而数形结合的方法就是一个很好的契合点，线段恰恰是学生已有的认知基础，从复习线段入手，体会线段有限长的特点，由此作为生长点，借助数的无穷尽理解线的无限长，从数学本身去寻找概念理解的支点，可谓水到渠成。在学生感知射线的概念，初步建立了“无限”的观念之后，再次从线段入手，让学生想象两端都无限延长后就形成了直线，并通过互相提问、质疑的方式强化感知，加深对概念的理解。

二、系统整理，形成概念网络——概念“精致”建构的关键

郑毓信教授曾指出：概念教学中，关键是要使学生建立概念的网络结构。学生掌握的概念并非是一个个零散的概念，而是一个互相联系的整体。因此，在概念教学中，应及时把新概念纳入到学生已有的认知结构中，使之成为一个系统的整体。

【片段2】

线段、直线和射线分别有什么相同点和不同点？大家静静地想想看，再在小组里交流发现。

学生活动后，汇报交流，完善表格。

放手让学生自主进行系统整理，研究射线、直线和线段的相同点和不同点，能帮助学生梳理三线之间的联系和区别，帮助学生清晰地建立三线的表象，加深对每一个概念的理解，也有利于建立系统的认知网络。

三、多维思辨，触摸概念本质——概念“精致”建构的核心

概念教学不是教“形式化的定义”，而是追求思维上真正的理解。因此，教师要善于利用变式教学、对比辨析、反例教学等丰富多样的活动，采取多种教学策略，引导学生进行观察、分析、比较、综合等多维思辨，帮助学生逐渐剥离与舍弃其非本质属性，抽取其本质属性，内化对概念的理解。

【片段3】

小试牛刀

◇辨一辨：下面哪些是线段，哪些是射线？直线呢？

◇当回裁判：下面哪位同学说的话是对的？

大展身手

◇点线游戏一

师：线段经过小点吗？

动态演示“调皮的小点”和线家族成员玩捉迷藏游戏。

生：这条线段两个端点已经确定，它再也不能捉住小点了。

师：射线上场，它能捉住小点吗？

生：能！因为射线可以无限延长。

生：不对！这条射线只能往左延长，无论怎么延长都捉不住小点。

生（不好意思）：我只想着能无限延长，忘了看方向了。

师：那怎样就能捉住小点了呢？

生：把射线的方向换一下，或者让小点到左边延长的线上去。（课件相机动态演示）

师：看来只要动动脑筋，射线就能成功捉住小点了。这么说来，直线呢？

生：直线就更不用说了。

生：我也同意！直线无论小点在左边，还是在右边，只要延长就能抓住它。

师：都这么认为？

生（齐声）：同意！

生：我不同意！如果小点不在这条直线的延伸处，那无论直线怎么延长，也抓不到它!

师：你在电脑上操作一下，把你的想法表示出来。

生操作演示如下：

生（恍然大悟）：哦，原来这样！

师：敢于突破常规思路来思考问题，很了不起！

师：调皮的小点还想和线家族的成员玩游戏呢！

◇点线游戏二

师:经过一个点能画多少条直线呢？如果给你足够多的时间，能画多少条？

生：无数条。

师：同时经过两点能画多少条直线呢？（先猜想，再动手进行验证）

师：现在来了两个“调皮的小点”，连接这两点已经有两条线。你还能创造出一条比它们都短的线吗？怎样最短？

生：找出连接两点的线段。

师：像这样连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。动手量一量，这段距离到底有多长呢？

◇点线组合

师：同学们，刚才我们一直在研究点线关系，其实它们组合在一起，还能形成一些新图形呢。（学生自主学习角的相关知识）

概念的巩固与运用环节，设计了多形式、多层次的练习：“辨一辨”“当回裁判”两个练习，利用变式和反例来凸显概念的本质属性；“点线游戏一”让学生在有趣的情境中进一步感知三线特征的区别，强化概念认知；“点线游戏二”让学生通过画一画、数一数等多样化的活动，获得进一步的感知和体验，同时有机渗透极限思想和猜想与验证的数学方法；而对于角，学生已有了初步的认识。因此“点线组合”放手让学生自学角的有关知识，感受线与角的联系。

四、拓展升华，深化概念理解——概念“精致”建构的保证

概念得以理解后，还要依据本课的教学内容和目标，进行合理的挖掘和延伸，使概念得到巩固、拓展、深化。比如介绍与概念相关的数学文化，综合运用概念解决数学问题等，目的是在深入理解概念的同时，使概念在深度和广度上得以“精致”建构，培养学生的探究意识和创新思维。

◇猜一猜：被信封挡住的是什么图形？

生：线段。

生：也有可能是射线。

信封移开，呈现射线。

师：现在呢？

生:直线！

师：确实是一条直线。不过这条直线上还有两个小点。

师：那你还能从上面找到哪些线呢？分别有几条？小组讨论。

生：我们小组找到了1条线段，2条射线，还有1条直线。

生：我们小组找到了4条射线。

师：哦？上来指给大家看看！（课件相机动态演示）

师：刚才我们从直线上找到了线段和射线，看来线段和射线都是直线的一部分。

师：再来猜，这个信封背后会是什么呢？

生：线段。

生：射线。

师：还有可能是什么呢？

生：还有可能是角。

信封移开，呈现角。猜对的学生欢呼不已。

◇填一填，读一读。

时间的长流就像一条无始无终的（ ），是无限的；而我们每个人的生命就像有始有终的（ ）一样，是有限的。所以我们要充分利用好生命的每一天，学习时要像只有起点没有终点的（ ）一样，学无止境！

“猜一猜”的游戏，根据部分图形来猜想可能具有哪些特征，反向思维的运用，加深了学生对于概念本质的感悟，发展空间观念，提升思维力；“填一填”的教学活动，耐人寻味，启发学生感悟到生命的有限，知识的无限，激发学生乐于学习、主动学习的积极性。

总之，建构概念的核心是理解，用怎样的教学方式提高学生的概念理解水平是需要教师不断研究的永恒主题。教师应高屋建瓴地深入理解概念，准确把握学生的学情，精心设计“引入—形成—巩固—深化”学习路径中的每一个环节，有序推进，帮助学生“精致”建构数学概念，发展数学核心素养。