挖掘“数列”探究价值，促进学生思维发展

□ 邵汉民

等差数列、等比数列和裴波那契数列是三种常见的数列，在生活中可以找到它们的现实原型，如堆成三角形或梯形的圆木堆可以看作等差数列的原型，做拉面时师傅不断地对折拉面的过程中，拉面根数增加的情况就是一个等比数列，而大自然中大多数花朵的花瓣数，如果从少到多排列起来，居然会是一组裴波那契数列。同时，关于这三个数列，都有一些数学故事，等差数列有高斯求和的故事，等比数列有达依尔的麦粒故事，裴波那契数列有兔子繁殖的故事。如何利用好这些现实原型，并充分挖掘这些故事的数学内涵，让学生经历这些数列的抽象过程，促进学生的思维发展？对此，笔者进行了教学思考与实践。

一、等差数列——初步感受数学化的过程

利用等差数列求和这一数学知识培养学生良好的数感，是“等差数列”学习价值的体现。但是，作为小学生，如果我们单纯地让学生求等差数列的和，掌握它的计算公式：和=（首项+末项）×项数÷2，似乎还没有真正挖掘出“等差数列”的教学价值。如何通过找寻“等差数列”与现实模型、图式模型之间的联系，体验数学与现实之间的内容联系？如何通过“等差数列求和”的简便算法的探究与图式变换之间的比较，形成数形结合的思维习惯？如何淡化数学形式化思维，让学生从数学的本质出发理解解题的思路？出于对以上问题的思考，我们基于二下年级学生的学习基础，开展把等差数列求和转化为三角形点子图的研究。具体安排以下三个教学环节。

（一）经历从“等差数列”的现实模型到图式模型再到数学表达的过程

1.引入主题：看照片回忆周日愉快的亲子活动（掰玉米、摘黄瓜）。然后出示下面图片。

2.引导观察：说一说它们是怎么摆放的？

3.指导概括：能用最简洁的符号把这些形状描述下来吗？

通过以上三个层次的引导，形成以下数学抽象的过程。

（二）探索从数学计算到图式变换再到数形结合的历程

1.提出问题，自主探究：一共有多少个点子？

2.交流汇报，理清思路。

1+2+3+4+5+6=（1+6）+（2+5）+（3+4）=7×3=21

（三）经历从变式练习到特征比较再到拓展练习的进程

弗赖登塔尔曾明确指出:“毫无疑问学生也应该学习数学化，当然从最低的层次开始，也就是先从非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性，同时还应该进到下一层次，即至少能对数学内容进行局部组织。”以上三个环节的教学设计，体现了弗赖登塔尔的这一数学教学思想。由此，我们在对如“数列”这样一些高度抽象的数学化材料的处理上，不能只囿于数学公式的推理，而应该从更普遍意义上来理解，即如何让学生经历数学思维的全过程。

二、等比数列——进一步感受数学化的过程

不熟悉“几何级数”的变化特点，茫然地做出承诺，就会酿成大错，这样的事例，我们可以从一些数学科普读物中找到，如下面列举的“达依尔的麦子”就是一个很好的教学材料。

相传古印度人达依尔发明了国际象棋而使当朝的国王十分开心，国王便决定重赏他。

“我不要您的重赏，陛下。”达依尔接着说，“我只要您能在我的棋盘上赏些麦子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麦粒都比它前面一格多一倍，我只求能放满64格就行了。”

“区区小数，几粒麦子，这有何难，……”国王未加思考立即允道。

有句话叫作“君无戏言”。如果国王的赏赐真的要实现，那么就算国王倾全国的财富，也满足不了对达依尔的赏赐。

对于这样一则数学故事，如果将其转化成教学过程，把目标停留于求解，那么就变得太难了，对于六年级的小学生来说不免显得力不从心，也没有必要。但如果除去这种纯粹难度外，这里包含着太多的数学化的过程。如果从这个角度来思考，等比数列的教学目标不只是为了求出问题的解，而是在求问题解的过程中，经历数学化的过程。

（一）从数的表达到式的表达

小学计算中一般以数为基本单位，因此由题意可以分析得出每格中所放的麦子数依次为1，2，4，8，16，32……一直到第64格上放的麦子数这样一组等比数列。这样的表示方法可以让人明显地感受到数的大小变化，但是越往后数的位数越来越多，书写越来越不方便。能否用更简捷的方法来表示结果？从分析数的特征入手，从4开始，每个数都可以表示成若干个2相乘的形式。如下图。

这个规律可以有两种表达，即用乘法的形式表示和用幂的形式表示。通过以上三种表示每格中麦子数的方法的比较，既可以发现它们之间的联系，更可以体会到数学表达的优化过程。

诚然，对于六年级的小学生来说，也只学到平方数与立方数的表达，对于如63个2相乘的运算用幂的形式来表示，还是很陌生。但是，如果我们能运用迁移的思路，让学生理解平方数与立方数的基本结构，类比“乘方”这种运算形式简写式an,也是可以实现的。

（二）从按运算顺序直接计算到用递推法找规律简算

在计算其结果时，一般我们用逻辑推理的形式来进行教学。

设：达依尔得到的麦子数为S，那么S＝1+2+22+23+……+263,2S=2+22+23+……+264。

S＝2S－S＝264-1。

得到S=264-1之后，再借助于计算器计算出具体的得数。

方法一：在原有的式子前加上1变为：1+1+2+22+23+……+263=264，所以原式可以简写成264-1。

方法二：用递推法找到和的变化规律。

1+2=1+2=3

1+2+22=1+2+4=7

1+2+22+23=1+2+4+8=15

1+2+22+23+24=1+2+4+8+16=31

……

从以上列举中发现，“前几项的和等于后一项的数减1”，所以棋盘上64格上的麦粒数的和等于第65格上的麦粒数减1，即264-1。

就数学思维而言，以上解决问题的形式是一种数学演算的过程，是解决等比数列的一种解题过程。如果从方法论的角度来思考，解决这一个问题可以用方法一、方法二进行简化计算。

以上三种方法，从计算的简捷性来看，当然是前两种方法更加优越，但从小学生的可接受性来说，方法二更好。因此，在实际教学中我们要引导学生用方法二来思考。

可以直接提出要求：现在请同学们计算出结果。1分钟之后，请学生汇报计算情况，从学生的汇报中得到方法二中的学习材料，再组织学生讨论。

（三）从计算出结果到感受大数

最后结果的计算，可以借助于计算器。这些麦粒的总数为 1+2+22+23+……+263=264-1=18446744073709551615粒。

一个20位数，这么多麦粒究竟有多少？光看这个数，可能并不能感受到有多少。就如我们人的听觉，当声音的频率过高与过低时都不可能听清楚一样，当一个数过大或过小时，我们也不可以用具体的表象进行感知。

那么，如何让学生感知到这个数的大小？

方法一是把单位变大，如20000粒左右的麦子大约是1千克，那么一吨麦子就是20000000粒，这样一除，18446744073709551615粒麦子大致上是922 327 203 685吨。

第二种方法是进行形象化的描述，也就是说大约需要九千二百二十三亿吨麦子才能满足达依尔的要求。这大约是全球两千年所产小麦的总量。

这让区区一个印度国王如何赏得起呢？

三、斐波那契数列——培养学生的数学反思习惯

在数学史料中，有许多数学家编制过数学题，其中有一些题目，如果从自然现象与自然规律来看，是不符合客观规律的，甚至是十分荒唐的，如“鸡兔同笼”问题，鸡和兔关在同一个笼子里，这是不合常理的。那么数学家为什么要编制这样的题目，其真正的价值是怎样的？我们可以从对斐波那契数列的分析中找到答案。

假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡，问一对刚出生的兔子，一年内能繁殖多少对兔子？

如果从生物学的角度来看待这个问题，这是一件十分荒唐的事情，小兔子一个月后并不能变成大兔，母兔一般一次可以生育5～6只小兔。总之，兔子不会按斐波那契所说的这样有规律地生长与生育。这也正是这道名题受到人们质疑的原因，因为它所展现的情境不符合实际。

如果从数学的角度来讲，问题情境有两个用途，一是体现数学的实用价值，二是为数学知识构建一个现实原型。当然两者能够兼顾更好。斐波那契数列中的问题情境，显然是后者。数学家编制这样一个问题，是让解题者感受到，在解决纷繁复杂的问题时，如果能找到规律，就可以根据规律进行推理。斐波那契数列的教学价值就在于此。

下面是我们设计的教学过程。

1.理解题意，独立解答。

教师谈话引入题目，请学生读题，说说题目的意思。然后请学生独立解答。

2.交流方法，发现规律。

一般学生会有以下三种基本思路。

（1）图示法

我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数：

第1月底

第2月底

第3月底

第4月底

第5月底

第6月

……

（2）列表法

小兔大兔合计1月 1 1 2月 1 1 3月 1 1 2 4月 1 2 3 5月6月7月8月9月10月11月12月

（3）列举法

一月，只有1对小兔，大兔为0对，合计1对；

二月，1对小兔长成1对大兔，小兔变为0对，大兔1对，合计1对；

依此类推：

三月：小兔有1对；大兔有1对；合计1+1=2（对）；

……

不论用哪一种方法，只要花时间，学生均可以推导出最后的结果。但这并不是本题在小学教学中的真正用意。本题的真实用意应该是培养学生的反思意识，能从前几个月结果之间的关系，发现规律。

因此，可以让学生解决到中途，或有个别学生解答出结果时，让学生停一停，反思自己已知的结果，从中找一找规律。如果发现了规律，可以根据规律推导出下一个结果，并用原来的方法进行验证。这是解决问题时很重要的思维习惯。通过观察学生找到了规律：

第三个数起，后一个数都是前两个数的和。即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……

为了纪念这位数学家，这个数列后来便以斐波那契的名字命名，叫作斐波那契数列。数列的每一项，则称为“斐波那契数”。第十二位的斐波那契数，即为一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖的兔子的对数，这个数为144。前面的几个斐波那契数分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34……

3.联系自然，感受神奇。

接着可以结合图示向学生展示自然界中的斐波那契数。

斐波那契数列在它诞生的近800年间，由于它的神奇，引来无数的“斐迷”，驱使他们不仅在数学领域研究它，更有人从自然领域、化学领域和科学领域去探究它的奇妙。

综合以上的思考与教学，当我们在指导学生进行课外阅读或进行数学课外延伸教学的时候，不要只是从知识的层面来看某些内容可用还是不可用，而要深入到其中的思维层面，看其是否能促进学生的思维发展。