高中数学教材中集合难度的比较研究

◎杨峰

一、引言

研究教材的方法主要有难度模型法、内容分析法和概念图法，其中难度模型法是研究教材难度的重要方法。我国鲍建生教授提出数学课程综合难度的概念，并构建出综合难度的模型。在此基础上，蔡庆有等构建了小学数学教材难度线性模型N＝0.30C＋0.36W＋0.34E。本研究选取两种版本中的集合内容作为研究对象，运用难度模型法，构建一个五边形直观模型，并借助该模型得到北师大版题目设置难度高于人教版，更注重综合知识运用的结论。

二、“集合”题目难度因素的数据统计

利用难度模型法，从不同的维度、不同层次来分析比较其题目设置的难易程度。在探究难度因素上，具体划分为识记、理解和探究三个水平。人教版三个水平题目比重分别为18.75%、78.13%和3.12%，北师大版比重分别为6.25%、54.17%和39.58%。在背景难度因素上，具体划分为无实际背景、个人生活背景、公共常识背景和科学情景四个水平。人教版四个水平题目比重分别为71.88%、25%、3.12%和0，北师大版比重分别为64.58%、31.25%、4.17%和0。在运算难度因素上，具体划分为无运算、数值计算、简单符号运算和复杂符号运算四个水平。人教版四个水平题目比重分别为50%、0、50%和0，北师大版比重分别为64.58%、0、31.25%和4.17%。在推理难度因素上，具体划分为无推理、简单推理和复杂推理三个水平。人教版三个水平题目比重分别为43.75%、53.13%和3.12%，北师大版比重分别为31.25%、56.25%和12.50%。在知识含量难度因素上，具体划分为单个知识点、两个知识点、三个知识点和四个以上知识点四个水平。人教版四个水平题目比重分别为21.88%、40.62%、31.25%和6.25%，北师大版比重分别为16.67%、41.66%、16.67%和25%。利用加权平均值的计算公式，得出两个版本的五个难度因素的加权平均值。在探究难度因素上，人教版的加权平均值为1.84，北师大版为2.33。在背景难度因素上，人教版的加权平均值为1.31，北师大版为1.40。在运算难度因素上，人教版的加权平均值为2，北师大版为1.75。在推理难度因素上，人教版为1.59，北师大版为1.81。在知识含量难度因素上，人教版为2.22，北师大版为2.5。

三、“集合”题目难度因素的数据分析

1.探究 在识记水平上，人教版为18.75%，北师大版为6.25%。在理解水平上，人教版为78.13%，北师大版为54.17%，可以看出，无论是人教版还是北师大版，在理解这个水平上的百分比都达到了最高。

2.背景 两个版本中的无背景题目和公共常识题目的设置数量所占比重相差不大，基本持平。特别是公共常识这一部分，两个版本所占的比重相当。在个人生活这一水平，北师大版设置题目数量高于人教版，说明北师大版更注重于应用。而在科学情景这一块，两个版本的题目设置都为0，这和集合本身内容有关。

3.运算 由于算法的特殊性，更多地涉及编程及画程序图，因此在题目的设置上，牵扯到数值运算的题目均为0。在无运算和复杂运算这两个水平上，北师大版高于人教版。在简单运算上，人教版高于北师大版。集合这部分内容，两个版本都设置了集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算这三部分。

4.推理 在无推理方面，人教版高于北师大版12.5个百分比。在简单推理中，北师大版为56.25%，人教版为53.13%，两个版本相差不大，且都注重简单推理这一层次。在复杂推理中，北师大版为12.5%，人教版为3.12%，北师大版本明显高于人教版。

5.知识含量 通过比较分析，人教版在两个知识点和三个知识点时达到的值相对较大，说明在这两个等级上设置的题目较多，单个知识点的设置也占了21.88%的比重，而在四个知识点上只有6.25%。北师大版对学生的考查主要集中在两个知识点和四个知识点上，单个知识点和三个知识点的比重相当，都占了16.67%。在单个知识点水平上，人教版教材中的题目数量多于北师大版，而在四个知识点这个水平上，北师大版设置题目的数量明显高于人教版。得出的结果是人教版更注重学生基础知识的掌握，且考查的知识点相对更有针对性，而北师大版更重视学生运用综合知识的能力。

6.综合难度 由加权平均数，绘制出雷达图如图1。从图中可直观地看出，在五个维度中所形成的两条封闭曲线，既有包含，又有交叉。其中，在背景和推理中，两个版本基本接近，即题目设置难易程度相互持平。在知识含量和探究方面，北师大版高于人教版，说明在这两个维度，北师大版的题目设置难度要高于人教版。而在运算方面，人教版高于北师大版，说明在这个维度，人教版的题目设置难度要高于北师大版。

四、建议与思考

1.在集合这章可适当增加人教版探究类型的题目和北师大版识记类型的题目 从历年的高考数学试卷来看，有关集合类型的题目大致分为简单的概念题和难度较高的综合题。北师大版在识记水平所占的百分比过低，有关识记的题目设置量过少。教材编写者若能适当增加集合识记内容的题目，方使学生的基础知识更为牢固。

2.教材编写者可借鉴其他版本教材题目设计的优点 两个版本在题目的设计上各有特色。人教版教材重视学生基础知识的巩固，北师大版重视学生数学综合性知识的运用。正因为不同版本教材的题目设置有不同的特点，所以不同版本教材的编写者可借鉴其他版本的题目设置，从而优化其题目设计。

3.教材编写者可增加一定的文化背景阅读知识 教材编写者可适当增加相关的文化背景阅读知识，丰富学生的数学文化知识，提高学生学习数学的兴趣，使学生体验数学与文化背景的联系。