高中数学三角函数的解题分析

◎张子烈

前言：高中数学三角函数题目灵活，常见的类型题包括角度变换、函数名变换、数形变换等。需要运用的概念公式包括和角公式、差角公式、半角公式、二倍角公式等。此外，还需要我们运用各种解题思维和方法，对题目进行化简，从而在更短的时间内求解出正确答案。针对高中数学三角函数题目求解的复杂性，应积极总结解题方法，从而不断提升三角函数题目的解题效率和准确率。

一、高中数学三角函数化简求值解题方法的应用

三角函数通常以选择题或解答题的形式出现，在分析求解过程中，首先应具备扎实的计算能力，能够对三角函数公式进行准确应用，并计算出正确的结果，这是提升三角函数题目解题准确率的根本途径。在考试和平时的练习过程中，我们应善于对三角函数题目类型进行划分，总结每一类题型的解题思路，并根据题目特点，选择适合的解题方法。即使是最基本的三角函数化简求值问题，也需要运用切割划弦等技巧，从而快速求解出正确答案［1］。

比如例1：对 sin50°（1+tan10°）进行化简求值。

在这道题目中，给出的三角函数表达式包含正切函数与正弦函数，需要采用切割化弦方法，将正切函数转化为正弦与余弦函数比值的形式，然后在进行化简求值。具体求解过程如下：由于1+tan10°＝（cos10°+sin10°）/cos10°＝2（1/2cos10°+ /2sin10°）/cos10°＝2（sin30°cos10°+cos30°sin10°）/cos10°＝2sin40°/cos10°，因此原题目三角函数表达式可转化为 sin50°·2sin40°/cos10°＝2sin40°cos40°/cos10°＝sin80°/sin80°＝1。在解题过程中，应用到和、差、补、余等角度关系式，逐渐将不同的角度函数转化为相同的角度函数，从而快速求出最终计算结果。

二、高中数学三角函数消参和构造解题方法的应用

在高中数学三角函数题目求解过程中，消参法和构造法的应用十分普遍，比如在上述题目中，两种方法也有一定应用。通过灵活运用消参法和构造法，可以找出不同参数之间的联系性，从而对一个或多个参数进行转化，达到方便计算的目的。其中，消参法是根据三角函数公式，将不同参数形式变化为能够直接计算的同一种形式。构造法则是在不能直接使用概念公式进行转化时，通过添加项、减少项的方法，使公式满足转化条件。其本质是一个三角函数的等效变换过程，下面以一道例题为例，进行说明。

例2：已知 tanα＝3，求解（sinα-3cosα）/（2sinα+cosα）的值。

在这道题目中，已知条件为tanα＝3，即 sinα/cosα＝3。从目标表达式着手，可以通过将其转换为sinα/cosα的形式，构造出已知条件tanα，从而进行求解计算。首先根据条件tanα＝3可以判断出cosα不等于0，因此可以将目标表达式的分子分布同时除以cosα，构造tanα。对目标表达式的化简结果为（tanα-3）/（2tanα+1），将 tanα＝3代入后，即可求出目标表达式的值为0。由此可以看出，利用消参和构造法进行求解过程简单，准确率高，但在应用过程中，不能忽略对限制条件的判断。比如在这道题目中，必须先根据已知条件确定cosα不等于0，才能采用上述方法进行化简求值。

三、高中数学三角函数逆向变换解题方法的应用

逆向变化法是对三角函数公式进行逆用或变用，在此过程中，如果我们对公式掌握的不够熟练，就难以做到灵活应用。比如根据题目需要，我们有时要使用2sin2x＝1-cos2x公式，有时要使用2cos2x＝1+cos2x公式，还需要在求解过程中，运用其变化形式，比如 cos2x＝1-2sin2x，cos2x＝2cos2x-1等。这些公式的形式相近，在使用时容易出现混淆的现象，需要在解题过程中加以注意［2］。

比如例3：已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C分别对应a，b，c三边，且有a＝2bsinA，试求角B的大小。

在求解这道题目时，首先应明确正弦定理中a/sinA＝b/sinB＝c/sinC这个隐藏条件，又根据已知条件，a＝2bsinA，因此有 sinA＝2sinBsinA，sinB＝1/2。由于三角形ABC为锐角三角形，所以B角的大小为30°。

再比如例4：已知3sinβ＝sin（2α+β），试证明 tan（α+β）＝2tanα。

在求解此题时，首先可将2α+β拆分为α+β+α，而β则可以看做α+β-α。因此，可以将已知条件3sinβ＝sin（2α+β）变换成3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，即 2sin（α+β）cosα＝4cos（α+β）sinα，则 sinα/cosα＝2sin（α+β）/4cos（α+β），最终得出 tan（α+β）＝2tanα，证明完毕。

结束语：综上所述，由于高中三角函数公式多，且形式相近，在解题过程中复杂性较高，通过对所学的概念公式进行灵活运用，通过采用消参、构造、逆向变换等方法，可以达到简化题目，快速求解的目的。应在平时的学习过程中熟练掌握各种概念公式和解题技巧，并勤加练习，从而逐步提升三角函数解题能力。