例谈“不等式恒成立问题”的几种优化处理方式*

●　　(阜阳市第三中学,安徽 阜阳　236000)

“不等式恒成立问题”是高中数学中一个非常重要的问题，受到高考命题者的青睐，在试题中高频考查.究其原因，主要是在探求这类问题的解题途径时，通常需要运用函数、方程、不等式等中学数学核心知识以及数形结合、分类讨论、转化化归等基本数学思想，其综合性和灵活性都较强.笔者经过探究发现，若能在利用常见方法解决“不等式恒成立问题”的基础上，结合一些优化处理，则可以使问题解决变得更简洁、自然.下文为笔者探究的一点心得体会，与同行们交流，不当之处，敬请批评指正.

1　寻找不等式恒成立的必要条件进行优化[1]

不等式恒成立问题常见的形式为：如果对任意x∈I，都有f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么若x0∈I，则一定有f(x0)≥0(或f(x0)≤0).通过这个必要条件缩小了所含参数的范围，优化了解题过程.现举例一则，加以说明.

1)当0

2)是否存在实数a，使f(x)≤x恒成立？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.

1)略.

2)解法1f(x)≤x恒成立可转化为a+(a+1)xlnx≥0恒成立.令

φ(x)=a+(a+1)xlnx，

解法2f(x)≤x恒成立可转化为a+(a+1)xlnx≥0恒成立，则

(a+1)xlnx≥-a.

因为a+(a+1)xlnx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立，所以x=1满足上述不等式，即a≥0，从而

(a+1)xlnx≥-a,

于是

通过以上两种解法不难发现:在题目没有明确给出参数a的范围时，只能先认为a∈R,这样就要运用分类讨论的思想.因为恒成立的不等式对所给变量范围内的任意一个数都满足，所以可先利用一些特殊值去缩小参数a的范围，即寻找其成立的一个必要条件，从而在求函数最值时不需要或者减少分类讨论的情况.

练习1设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,其中a>0.

1)求f(x)的单调区间;

2)求所有实数a，使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.

(2011年浙江省数学高考文科试题第21题)

练习2设函数f(x)=(x-a)2lnx，其中a∈R.

1)若x=e为y=f(x)的极值点，求实数a；

2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省数学高考理科试题第22题)

2　利用洛必达法则进行优化

定理1可推广到x→a-0,x→a及x→∞的情形.

定理2也适用于x→a-0,x→a及x→∞的情形.

例2设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

1)若a=0，求f(x)的单调区间；

2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.

(2010年全国数学高考新课标卷Ⅰ理科试题第21题)

1)略.

2)解由f(x)≥0得

ex-1-x-ax2≥0.

记h(x)=(x-2)ex+x+2，则

h′(x)=ex(x-1)+1.

设φ(x)=ex(x-1)+1，则φ′(x)=xex，因为x∈(0,+∞)，所以φ′(x)>0，即φ(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，从而φ(x)>0，于是h(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，故h(x)>0，即g′(x)>0，进而g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增.此时可以发现函数g(x)在x=0处没有意义，而

由洛必达法则知

即

由于学生在处理不等式恒成立问题时更青睐于选择分离参数，构造一个不含有参数的函数，从而避免在求函数最值时的分类讨论，但是经常会遇到这样的问题：所构造的函数在定义域内是单调的，但是函数在定义域端点处没有意义，此时需要借助洛必达法则进行优化处理.

1)求a,b的值；

(2011年全国数学高考新课标卷Ⅰ理科试题第21题)

练习4设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围.

(2010年全国数学高考新课标卷Ⅰ文科试题第21题)

3　利用函数极限的局部保号性进行优化

推论1若f′(a)>0，则存在δ>0，对任意x∈(a,a+δ)(或任意x∈(a-δ,a))，都有f(a)f(x)).

推论2若f′(a)<0，则存在δ>0，对任意x∈(a,a+δ)(或任意x∈(a-δ,a))，都有f(x)

证明过程同推论1.

2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

(2013年辽宁省数学高考理科试题第21题)

1)略.

2)解令

其中x∈[0,1]，则F(0)=0.由推论2知：若F′(0)<0，则存在δ>0，对任意x∈(0,δ)，都有F(x)

所以

a≤-3,

h′(x)=-x+2sinx,

记φ(x)=-x+2sinx，则

φ′(x)=-1+2cosx.

当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，从而φ(x)在x∈[0,1]上单调递增，进而

φ(x)≥φ(0)=0，

即当x∈(0,1)时，h′(x)>0，于是h(x)在x∈[0,1]上单调递增，即

h(x)≥h(0)=0，

亦即

G(x)≥xh(x)≥0,

故实数a的取值范围为(-∞,-3].

此题的难度较大，得分率很低，学生解决“不等式恒成立问题”主要有以下两种方法：

1)先采取分离参数的方法，将不等式转化为

然后构造函数

其中x∈(0,1]，从而转化为求函数h(x)的最小值.

2)直接构造函数

其中x∈[0,1]，从而把问题转化为F(x)≥0恒成立，即求函数F(x)的最小值问题.

上述两种解法由于所构造的函数形式过于复杂，直接求其最值的难度很大，因此难以顺利解决问题，例3的参考答案利用多次分类讨论、放缩以及构造函数，从学生层面上说，很难想到.若利用函数极限的局部保号性定理，可以缩小参数a的取值范围(很多情况下已是所求答案)，再通过构造函数就可以顺利解决问题，起到了很好的优化作用.

笔者发现在各省市高考题中经常出现类似的不等式恒成立问题：“对任意x∈I，都有f(x)≥0(或f(x)≤0)，并且区间I的某个端点x0满足f(x0)=0，求所含参数的取值范围”，这类问题都可以利用函数极限的局部保号性定理，使解决过程变得更自然.

例4设函数f(x)=ax+cosx,其中x∈[0,π].

1)讨论f(x)的单调性;

2)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.

(2012年全国数学高考大纲卷理科试题第21题)

1)略.

2)解令g(x)=ax+cosx-1-sinx，其中x∈[0,π]，则g(0)=0.由推论1知：若g′(0)>0，则存在δ>0，对任意x∈(0,δ)，都有g(x)>g(0)=0，不符合题意，故g′(0)≤0.因为

其中x∈[0,π],所以a≤1.

上述解法利用函数极限的局部保号性定理缩小了参数a的取值范围，把“a>-1”缩小为“-1

(2013年辽宁省数学高考文科试题第21题)

1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2015年北京市数学高考理科试题第18题)

不等式恒成立问题常通过构造函数再求其最值解决，难点是所构造的函数形式过于复杂，在处理过程中需要多次运用分类讨论和转化与化归的数学思想.基于这个难点，笔者通过以上3种优化“不等式恒成立问题”的处理方式，使解题过程变得更简洁、自然，也更符合学生的认知水平.

[1]夏炳文.缩小参数范围优化“恒成立问题”的处理[J].中学数学研究，2016(4)：38-40.

[2]欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

1.2恰当分类依据

1.2.1依据逻辑关系进行分类

必须要知道是依据什么，才能进行恰当分类.

1)根据数学的定义、性质、运算步骤、定理和公式进行分类讨论,如负数定义、集合的含义和表示、函数的定义域和函数的单调性、0的任何次幂都是0、负数和0没有对数、方程的两边同乘或除以同一个数方程仍然成立.

2)根据平面几何图形中点、线、面位置的不确定进行分类讨论；根据不同情况下参数的不同进行分类讨论，有些问题中存在参数，但是情况不同参数会发生变化，参数所代表的数值不同结果也会不同(在几何习题中，参数的变化可能会改变图形的形状，结果自然也就随之变化).

3)根据实际问题找出隐藏条件，然后进行分类讨论，如分组问题、实际应用题等.讨论是要有原因的，有些实际问题就是分段的，因此解决这类问题就要分类讨论.分类是客观存在的，但不是绝对的，分类的方法不是唯一的，只需要考虑所有的情况就可以.

1.2.2准确找分界点，“扁平化”处理[3]

有时讨论的对象不是一个，而是多个，或者在分类讨论时，分类的情况中还需要分类，这样的解题过程就会极其繁琐冗长.解决这样的题目，就需要进行正确的分类讨论，而如何让分类讨论的层次最少，是我们要努力去发掘的.第一步，就是确认一个正确恰当的分界点，把题目分为几个部分，逐步进行解决；第二步就是在分类里再分类讨论.我们要牢记：同级讨论是平等的，没有等级之分，不能遗漏，更不能重复，才是真正的恰当分类.

2　典题剖析

恰当分类讨论，首先要搞清楚根据什么进行分类，只有明白了分类的原因，才能正确分类，再根据分类中的主要和次要方面进行讨论.

1)略；

2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(其中x>0)，讨论h(x)零点的个数.

(2015年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第21题)

分析该题第2)小题分类讨论的第一层是主元素x，第二层是参数a.

①当x>1时，g(x)=-lnx<0，从而

h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0，

此时h(x)无零点.

②当x=1时，

h(x)=min{f(x),g(x)}=0，

则h(x)无零点.

③当00，此时h(x)的零点个数等价于f(x)的零点个数.求导得

f′(x)=3x2+a,

因为0

评注当分类比较明确时，第一步是把相同的地方先计算出来，否则分类讨论后就会需要进行重复计算，分清分类讨论的主次关系，分类分不好会大大加大计算量，使题目复杂化.

当题目较复杂时，应该进行多次多层分类讨论，在进行并列多次多层讨论时，首先应该找到分类的分界点，再采用合适的方法对各分界点进行分析讨论，注意讨论的范围和条件，才能进行正确的分析和讨论.

例2设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,其中a∈R.

1)令g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间；

2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.

1)分析求导得f′(x)=lnx-2ax+2a,从而

g(x)=lnx-2ax+2a，其中x∈(0,+∞),

于是

讨论a≤0,a>0这两种情况下导函数的正负号，确定函数的单调区间.

评注若一道题目较复杂，需要进行多层次多角度的分类讨论时，则要根据题目涵盖的条件找出分界点，从不同的层次、不同的角度进行分类讨论，尽可能找到分类较少的层次，做到简化讨论，快速而准确地答题.若需要解决的是单个参数问题，则分界依据以选择数轴为最佳；若需要解决的是含有两个参数的问题，则以平面区域来分界为最佳.

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在解题过程中，要注意培养自己数形结合方法的使用和挖掘，把问题简化.

2)分析因为f′(1)=0，所以f(x)=lnx+2a(1-x)>0在(0,1)上恒成立，g(x)=lnx+2a(1-x)<0在(1,+∞)上恒成立，即

图1

评注当含有变量的问题很难直接进行分类讨论时，可从参数角度考虑解决，运用参数分离思想常常可以减少甚至避免分类讨论．对于单变量问题，常直接变量分离；对于多变量问题，常利用几何特征进行“相对变量分离”，运用其几何特征求解.

例3已知函数f(x)=a·9x-2a·3x+1-b(其中a>0)在区间[0,1]上有最大值5以及最小值1.

1)求a,b的值；

2)若不等式f(x)-k·9x≥0在x∈[-1,1]上有解，求实数k的取值范围.

分析1)a=1,b=-2(过程略).

(1-k)·t2≥2t-2，

亦即

h(m)=-m2+m,

则

从而

h(m)min=h(3)=-32+3=-6，

于是

1-k≥-12，

故

k≤13.

评注变量分离法应该避开分类讨论的锋芒，“相对变量分离法”要求灵活利用几何模型，转换成立体模型进行解答.

分类讨论应尽可能地减少层次甚至一步到位，让人对结果一目了然，结构分明，分类简单清楚，逻辑性强.抓住题目中给出的条件进行分析，合理使用题目中隐含的限制条件，合理使用合理分类，最大程度地简化分类范围，简化解题过程.这样对于快速解题、提高正确率至关重要.

3　精题集萃

1.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t的取值范围为

()

A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.(2,3)

2.一个工人照看3台机床，在一小时内，甲、乙、丙这3台机床需要照看的概率分别为0.9,0.8,0.85，在一小时内，至少有一台机床不需要照看的概率为______.

4.设k为实数，求方程x4-2kx2+k2+2k-3=0的实数x的取值范围.

5.解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.

6.已知函数f(x)=-ln(x+b)+a(其中a,b∈R).

1)若y=f(x)的图像在(2,f(2))的切线方程为y=-x+3，求a,b的值；

参考答案

4.分析将原方程整理为关于k的二次方程k2+2(1-x2)k+x4-3=0.因为k是实数，所以

Δ=4(1-x2)2-4(x4-3)≥0，

即

2-x2≥0，

解得

5.分析1)当a=0时，原不等式化为-x+1<0,故x>1.

2)当a≠0时，原不等式化为

②若a>0,则原不等式化为

6.分析1)由f(x)=-ln(x+b)+a,得

从而

得

a=1,b=-1.

从而

即

故

[1]梁莎.湖南省高考数学(理科卷)试题研究[D].长沙：湖南师范大学,2014.

[2]李裕青.高考数学分层复习的实践研究[D].广州：广州大学,2013.

[3]冯海容，江强.恰当分类与减少讨论层次的策略[J].中学教研(数学),2017(5)：32-37.