数学，要智慧地教*

●　　(杭州市第四中学,浙江 杭州　310018)

从教多年，初心未改.如今的笔者“雕栏、玉砌应犹在，只是朱颜改”：仍然喜欢当教师，还是乐意站讲台，一直喜欢与学生在一起.从大西北到江南，见证并经历了多次大大小小的数学教改，但教学激情犹在，对学生的爱、对讲台的爱、对数学的爱依旧.特别让笔者欣慰的是30多年的中学教学实践、29届高三毕业班教学的经历，相伴教学生涯的教材教法研究，让笔者对数学内容的理解、对数学整体的把握、对数学教学本质的认识变得越来越深，对课堂教学的要求也达到了前所未有的高度，传道授业解惑变得游刃有余.教学经验的积淀还让笔者的教学抵消了精力不如年轻人的不足，依然保持着教学艺术的长青，保持着教学的高效,深受学生欢迎.

如今的笔者不但和他人一样每年肩负着两个教学班的数学课教学，而且作为特级教师，身兼市教研大组成员、教研组长、备课组长等职,参与着许多教研活动、社会活动，讲学、写稿、命题、编写教学教辅资料等花去了许多时间与精力，不可能去加班加点地抢占时间，也无法做到每天把学生叫来面批作业、订正作业、给差生补课、为学困生开小灶.但笔者用自己的教学智慧营造和保持了较大的教学“气场”，调动了学生学数学的持续热情，培养了学生对数学的浓厚兴趣，教学智慧换来了课堂教学的高效率.

1　精心设计教学

系统论告诉我们：教学是由教师、学生、教学内容及教学过程组成的一个系统.系统的运行需要物质和能量的投入,有序才能低耗.这就要求我们教学必须有一个明确的、合乎逻辑的“序”，有了这个“序”，教学才能有所遵循，遵循了这个“序”，教学才能有效，这就是教学的有序原理.依照这个原理，讲授的知识只有经过精心设计才会有序，给学生传授序化后的知识才更符合学生的认知规律.

因此，不论是新授课、习题课,还是复习课、试卷评析课，笔者总是在认真钻研教材、将教材再开发、把教材的学术形态转化为教育形态后精心设计自己的教学方案：一方面对每一学段、每一个模块、每一章、每一单元的教学进行顶层设计，明确整个知识与能力的达成要求；另一方面从微观上进行设计与打磨,力求每一节课都能像文学作品中的草蛇灰线那样有一条清晰的教学脉络，形成一个合理的教学流程：既有明线,亦有暗线,既有主线，也有副线，同时要求课堂教学的每一个教学环节都必须有明确的构思与预设，比如怎样引入、怎样突出重点、如何突破难点、如何评讲范例、如何启发诱导、如何借题发挥、如何总结规律、如何温故知新等.对练习题组、讲解的范例、单元过关检测卷都按由易到难、由简到繁设置，对问题串由浅入深排布,对能力培养与提升进行仔细谋划与布局.即便是作业和试卷的评讲，也要根据作业情况做出悉心安排:先讲哪道题，后讲哪道题；哪道题要小题大做，哪道题要一带而过；哪道题要展示学生的思维成果，哪几道题可以“合并同类项”后放在一起提炼规律.

精心设计的教学让笔者做到了胸有成竹上讲台，每节课不仅重点突出，而且层次分明；不仅避免了课堂教学的随意性，而且始终能清晰地描述数学知识应用功能、自然地展现知识的发生过程.学生总能沿着搭设好的梯子拾级而上，在预设的思维情景中纵横驰骋，从而不断由“一片蘑菇”发现“一大批蘑菇”,保证了课堂上的有效引导与动态生成.

2　追求思维含量

数学课堂不需要热闹，需要的是能激活思维、启迪思维、培养思维、优化思维的有效教学行为,需要的是学生在数学问题面前表现出的火热的思考、大胆的猜想和小心的论证，需要的是学生对某个抽象概念、某种数学方法、某个数学问题冥思苦想后的豁然开朗或者经教师点化后的大彻大悟，需要的是学生在课堂上为一个概念或者一个问题与师生的争论不休.一句话，高效数学课堂的最终目的是发展学生思维，让学生学会思考，培养理性思维，变得越来越聪明；最关键的是学生对数学知识的透彻理解，这体现在学生对教学有较高的思维参与度.

对此，笔者设法追求课堂的思维含量，想方设法营造发人深省的思维情景,通过激活课堂,把学生带到知识的“最近发现区”：如引入新课时的问题情景设置、为强化认知而进行的典例分析、为澄清概念而抛出的概念辨析题组、为提升能力而设置的综合性问题、为探究结论而抛出富有启发性的问题串、结论导出后的连续多个“为什么”的追问、例题讲完后的方法总结与反思等.即使是学生听讲解，笔者也要求学生注意学习：老师是怎么分析题意的,老师是如何捕捉解题信息的,老师是如何探寻优化求解方法的,老师是如何表述求解过程的,老师是如何理解并阐释数学概念与思想的,老师是如何做到解题的严谨并堵塞解题漏洞的,等等，力求数学课堂每时每刻都在学生的思维活动中度过.

3　满怀激情施教

多年来,不管到哪里，笔者都能让自己的讲课吸引每一位学生.正如一位学生所说：“您在讲台上一站，我们的精神就来了”“我们每天都盼着上您的数学课”，以前的学生见到我总是不忘问一句:“老师,您现在讲课还是那样充满激情吗？”这大概都得益于笔者富有激情的讲解、追求的富有“精气神”的课堂、以及对讲课语言的修炼.平时，笔者十分注意学习借鉴演说家的挥洒自如、评书演员的声情并茂、相声演员的诙谐幽默、戏曲演员的字正腔圆，并把它用之于数学课堂教学：满面春风上讲台，用满腔的教学激情与绘声绘色的讲解感染学生；用生动风趣且形象化的语言来阐释概念、说明方法、分析问题，还特别喜欢用古诗词、哲学观点和生活俗语等去为学生创设出一个个思维情景,常用引人入胜的妙语连珠，投石击水般地为学生设置一个个思维场，这使得课堂紧扣学生心弦，进而让学生在一个个高潮迭起的课堂教学活动中理解所学、内化所学，使学生能在一种数学美的享受中轻松自如地掌握知识.

4　关爱每个学生

有学生曾这样说：“您与别的数学老师不同，不仅风趣，而且严谨，不仅耐心，而且和蔼，更主要的是您能关注班上的每一位同学，哪怕是不爱学习的同学.您对我们这么负责，我们再不好好学就太对不起您了.”笔者深知“教育就是爱”，面对数学这门相对抽象乏味的学科,如何调动学生学习数学的热情、如何培养学数学的兴趣、如何让学生喜欢数学课……除了高超的讲授艺术外，剩余的就是对学生真诚的爱.爱是教育的润滑剂，用真爱赢得学生对教师的敬爱、从而产生对数学的偏爱是一门爱的艺术.于是，笔者十分关注每一位学生的学情，平等对待每一位学生：不娇惯尖子，不歧视差生，“来的都是客”.对学生来问的任何问题都循循善诱、耐心解答,真心表现出对问题者的欢迎,从不因问的问题简单或者课堂已讲过而责备他们.为缺课的学生补课，为学困生答疑,帮弄丢作业的学生去文印室复印，专门去书店为学生挑选参考书,找学习情绪不稳者谈心,都是工作的常态.“你是我的门生，学习路上绝不忍心任何人掉队”“这次我心中最大的遗憾就是你没有考出好成绩”“这次考试，以下同学尤其让我高兴，他们的成绩有了很大的进步,真了不起”“你近来作业认真多了，老师好高兴”……真诚的点赞、无私的关爱、发自内心的“苦口良药”不断激发学生学习数学的热情.

5　讲解通俗易懂

面对解法刁钻、过程复杂曲折的综合性问题，笔者坚决摒弃把方法与过程和盘端出的生硬做法，耐心引导学生认真读题，仔细思量，细扣字眼，调动每一个条件，捕捉每一个解题信息，去伪存真，剥蚕抽丝，再把他们切割成几个小问题，或者退回到一个熟悉的问题，在思维的自然流淌中寻到求解思路，然后拟定出合理的求解方案，细致展现求解过程，让学生感悟到数学问题求解方法的自然和精妙：“噢，原来如此！”学生觉得讲的数学方法并不难，而且容易接受，消除了对数学的恐惧感，自然越学越轻松、越学越自信、越学越爱学.

6　不断反思教学

教学反思是一个教师专业发展的必由之路.这些年，笔者一直保持反思教学并写教后记的习惯：即兴发挥的妙语连珠、灵光一现的贴切比喻、学生给出的绝妙解法、教材处理上的点睛之作、课堂教学中的精彩片断与教学遗憾甚至教学败笔均一一记载，这不仅成为笔者写教学论文的鲜活素材，更成为笔者几十年来保持教学艺术长青的法宝与“源头活水”.因为常反思,善研究,喜好总结,今年上过的课，明年再去上，只能有过之而无不及.经常梳理自己的课堂，反思自己的教学，做到一直在研究状态下教学，特别有助于自觉调整自己的教学心态，不断加深对教材的理解，及时改进自己的教学方法，促使自己不断从经验型向科研型方向发展，提高了自己驾驭课堂教学的能力，这使得笔者的数学教学在方法的不断改进和经验的不断积累中逐步走向理性,保持了较高的教学技术含量.

7　课堂故意“留白”

书法上的“留白”会让作品更耐看、更有韵味.数学教学的“留白”则为学生创造了难得的思考与探索空间，因为数学是培养学生思维能力的最佳载体，数学教学的终极目标是开发学生的思维能力，优化学生的思维习惯，形成学生的数学核心素养,而数学教学的最高境界是学生在教师的引导下，通过自主探究获得知识、形成能力.因此，教师要尽量少让学生一味地模仿掌握题目的解法,而是要让学生的大脑真正动起来，让他们自己去想、去探究、去尝试.学生通过动脑悟出的东西会刻骨铭心，学生自主探究解决问题的成效远远大于模仿解决，创新与模仿的效果天壤之别！

因此，笔者在课堂上尽量注意讲的“度”:不一定都讲透，不一定把问题都讲完，不一定把解题方法“一网打尽”，学生自己能解决的就尽量交给他们自己解决，绝不包办；在解决问题时，遇到卡壳处，尽量“等一等”学生，让他们再想想，或者稍作“点拨”，而不合盘端出；对有些概念性问题的讲解，笔者会欲擒故纵,故意出点“差错”，引起学生的争议，让学生挑剔，发现教师思维的“漏洞”，让学生“得意”一下，从而澄清糊涂认识，达到正本清源.而对有些新课讲完后该讲解的例题，有时又故意“留白”，把问题抛给学生，“看看，谁能率先做出？哪位能给出最漂亮的解法？”让学生先自己去做，哪怕作业准确率惨不忍睹也不怕，只要他们思考过了，在下节课上去评讲，学生就会在一种迫切要求之下倾听笔者的讲解，听课自然会格外专注.

8　注重“寻根”教学

题海茫茫，尤其是这些年许多省市进行高考自主命题,数学新题如雨后春笋般地产生了,这把数学题目这个“雪球”越滚越大.数学妙题、新题越来越多，永远讲不完，也永远演不尽，这让我们一不留神即陷入“题海战术”的泥潭，无边练习潇潇下，不尽试题滚滚来.“题海战术”不仅加重了学生的学习负担，让学生叫苦连天，深恶痛绝，而且让教师深陷其中，批不完的作业做不完的题目.怎么办？笔者的做法是“寻根”,即在茫茫题海中寻找“题根”，讲解“母题”，把每类典型问题的“题根”找出来借题发挥，讲深讲透，并小题大做、一题多解、一题多变、一法多用，给学生在思维方法与解题技巧上做出榜样，真正让学生在掌握典型例题的求解方法与技巧后能切实“把根留住”,从而纲举目张,以少胜多，以不变应万变，做到解题效益的最大化.

9　有意考考陈题

当下的考试命题存在着一个误区:总觉得为了给学生以公平竞争的环境，考试时不考原题，不考教科书上的题目，不考作业上做过的题目，不考课堂上讲过的题目，甚至连学生手中课外参考书上的题目也一概回避.结果呢？学生很困惑：教师平时强调教科书多么重要，每天的作业多么重要，课堂上讲的例题多么的经典，还说哪本课外书是名家所编，质量多么多么的好，可是当我们付出了比别人多得多的功夫去钻研、去演算，到头来却一道题都不考，这叫学生情何以堪!这让学生易产生一种“做了也没有用”的不良心理,这无疑是对那些勤奋学习者的“伤害”.于是，不管是月考期中考，还是单元过关考试以及期末考，只要是笔者命题，一定坚持：或者考一道教科书上的题目(包括定理证明与公式推导)、或者考一道曾经讲过的例题、或者考一道做过的练习题、或者考一道给学生推荐过的参考书上的题目.这样做，既有效诱导学生重视了课本、作业和课堂，也重视了课外，让那些学有余力的学生能课后自己去钻研，去开阔眼界,学习数学的自觉性大大增强.考试这一“指挥棒”不仅指挥着教师的教，也有效地指挥了学生的学.

10　鼓励好为人师

记得自己当学生时特别喜欢为别人讲题，尤其乐意在别人解不出而自己率先解出来时上台为其他学生讲解，那种自豪、得意、喜悦，在当时来说真是一种愉快的享受.如今的中学生表现欲更强，他们更需要学习上的愉快体验.为此，笔者特别注意在教学活动中搭建学生自我展现的舞台，为学生提供表现的机会，如笔者在课堂教学中设置的“每日一题”板块，让全班学生轮流讲题；评讲作业时，鼓励那些爱动脑的学生上台来给大家讲他们的别致解法，及时展现并推广他们的“思维产品”，让这些学生在一片掌声中产生自豪感,获得自信和成功的愉悦感.不仅如此，还倡导学生给其他学生当“小先生”：“你做对了一道题,自己独立解决了数学问题，这是学生的水平；如果自己会做后还能讲给他人听而且能让他人听懂，那你就具有了教师的水平.”许多学生在笔者的鼓励下好为人师，喜欢讨论,喜欢给同伴讲数学问题,喜欢站在讲台上“露一手”,学生的聪明才智及时得以展现，高度自信力得以有效培养,学生在一种开放式的学习氛围中相互交流,取长补短,“官教兵、兵教兵”让笔者的教学事半功倍.

11　注意从善如流

教学好不好，学生最有发言权，主动征求学生对教学的建议，是保证教学高效的一项很重要的举措，年龄越大，经验越丰富,教学方法则越容易固化，越需要通过不断征求学生的建议让自己的教学与时俱进.因此，每接手一批新的学生，笔者都会让学生完成一项作业：写一篇《我眼中的好数学老师——给数学老师的建议》，谈谈你心目中的优秀数学老师应该是怎么样的、过去的数学老师中你最欣赏最喜欢的做法是什么、你的数学老师用什么方法让你的数学成绩突飞猛进、数学老师的什么举动曾经深深地伤害了你、你最讨厌数学老师的什么行为、你觉得老师怎么教最有效、老师怎么讲你最喜欢听……平时我经常询问学生：对近期的课有没有意见、难度如何、容量怎样？哪些掌握得不好?对笔者的讲课还有什么要求？

高考结束后，面对一批又一批前来道别的学生，笔者总会认真征询他们对高考复习课的意见：你觉得在复习课上收获如何、老师的课有哪些不足、你觉得今年高考复习方向的把握和策略运用是否得当、你们觉得高考复习怎么抓更有效……放下身段，真心诚意征求学生的意见，让笔者成为学生的大朋友，学生则成为笔者教学的一面镜子，来自学生的一条条中肯的建议往往会使教学不断得以改进，教学方法与手段、教育教学理念不断得以优化.学生对笔者的美好期望成了笔者不断改进教学的目标.

12　适度“举三反一”

举一反三、触类旁通是数学教学追求的一种理想境界，但是，教学实践告诉我们:有时候学生能举一反一甚至举三反一就很不错了.数学知识的抽象、数学方法的繁难、数学问题的千变万化使我们的教学不得不面对一种困局：教过的知识和方法学生疑似懂了却没有真懂，疑似会了却没有真会,或许只掌握了一小部分；有些问题太难，我们自认为讲得很透彻学生却没有听懂；有些方法虽然巧妙，但学生却难以理解；即使有些内容当时接受了，但要内化为一种能力、变为一种素养还需要一个漫长的过程.尤其不能忽视的是：学生学过的、已经掌握了的东西会经常遗忘,这是我们无法回避又必须正视的现象.怎么办？让学生“学而时习之”，要求他们举三反一，让他们“常回头看看”：经常带领学生回头温习学过的概念、公式、定理，定期复习梳理重要题型，用“课堂5分钟练”让学生再次训练重要的方法与技巧、做点“保温练习”、适当重现典型题例等，让学生及时复习和巩固旧知识.

13　调控考试难度

当教师多年，深知考试这把“双刃剑”对学生学数学的内驱力方面的影响.笔者十分注意掌控平时考试的难度：对简单的内容，加大考试难度，让他们浅处深入，让百战百胜者在能力型问题面前“遭受”点打击；对难学的内容，适当降低考试难度，偏重基础，让学生保持学好数学的信心，也给屡战屡败者在基础型考卷面前有“取胜”的机会，尤其像笔者所在的这所百年名校，学生都是原来学校的尖子，来到新学校新班级后不少原来的尖子不“尖”了，这让那些考试不突出的学生容易产生对自己数学实力的怀疑.对此,笔者特别注意精心呵护学生那种可贵的学习自信，设法通过考试让学生考取优异成绩来保持“我是好学生”“我是从名校来的”“我是以优异成绩考进这所名校来的”“我的数学功底不错”的感觉，产生到了新学校、新班级“我依然是一条好汉”的自信.

14　用好心理学原理

心理学和教育学原理在平时的数学教学中的作用不容低估.教师教育教学的智慧往往就体现在你能否研究并懂得学生的心理需求，按教育规律和学生心理发展规律来组织自己的教育教学活动.于是笔者平日很注意精心呵护学生学数学的信心，让学生感到高中数学没有那么难，既然初中数学能学好，高中数学同样可以学好；设法让每个学生一课一得，天天向上，让他们感到付出就有回报，努力就能取得好成绩；设法让所教的内容尽可能有趣些，生动些，与生活联系紧密些，让学生觉得数学奇妙、好玩且有用；注意对学生多表扬少批评，多鼓励少抱怨，充分发挥自己所特有的亲和力，让学生爱我、敬我，做到“亲其师而信其道”，给学生写两句批语会让他感觉到老师一直在关注着他，很在意他；面对学生繁重的课业负担，常常能站在他们的角度思考问题、理解他们、体谅他们，严格控制作业的量，让学生感受到笔者的可爱与人性化；动脑筋利用学生的非智力因素，时时为他们提供新异的刺激，懂得研究和运用学生的认知规律与心理特征，在学生每天获得的信息很多、往往学新忘旧的情况下引导学生同遗忘作斗争，课堂进行的“2分钟公式复习”“一分钟结论回顾”“典型问题回头看”及时巩固了所学；针对学生基础与能力上的差异，笔者在作业上分层要求,“分槽喂养”，不搞“一刀切”等等，这一切符合教育学心理学原理的教学行为让数学教学自然高效.

15　配置“精细饲料”

面对学生课业负担重，学生最反感的是征订不合实际的厚重参考书,布置大剂量的重复性练习，教师最不负责任的做法则是“不加选择地给学生布置一套又一套的练习”，这样的练习效果往往收效甚微.为此，笔者特别注意在作业适量的原则下给学生提供数学练习的“精饲料”，坚持做到：练要及时、练要适度、练要有针对性、练要有选择性、练的题是“踮起脚尖就能够得着的桃子”，坚持布置弹性作业，分层要求，让不同层面的学生都能各得其所；坚持不让学生做重复性练习、不让学生啃不适合他们学情的教学参考书、尤其不让学生做那些接二连三地卡壳、做上半天还是做不出来、打击或挫伤学习自信心的刁钻题目，即使外来的名校名卷笔者都坚持筛选过滤、认真采编、取舍配置，有些卷子要亲自做、亲自感觉后再布置给学生，感觉不好的题目果断划去,绝不让学生浪费宝贵的学习时光.

16　进行心灵对话

每年教两个班，不可能时常找每一个学生谈心，每天除课堂上与他们进行教学交流外，作业是最方便的交流沟通渠道.通过作业，可以感受到学生的学情，可以看到学生学习数学的认真程度.于是笔者常在学生的作业上写几句批语，肯定认真学习者的进步与投入，提醒那几位学习不在状态的学生，让他知道老师对他的殷切期望和良苦用心；每天批阅作业时都给学生作业评分(一般按5分制)等，让学生每天都能接受一次笔者对他们数学学习的评价.而每次大考结束，呈现在试卷上的不仅仅是学生的分数，还有针对每位学生一个阶段学情的批语，大都是诸如“真棒”“老师因为你这次取得的优异成绩而由衷的自豪”“这才是我期望中的你”，而对成绩不理想者则写上“已经有进步，只要再专注些,一定可以有长足的进步”等等.课间几分钟，笔者会提前去教室,点赞某位学生作业中的好方法，褒扬某位学生作业准确率高，“别人都做错了，只有你做的对”让这位学生深受鼓舞,倍感自豪；也会趁着这几分钟与学生个别交流,询问部分学生最近学习数学的感觉，完成作业是轻松还是费劲、时间够不够；随时走到学生中间与他们进行心灵的对话与沟通，这使笔者和学生这个数学学习共同体和谐相处、心心相印，让笔者和学生一起不断创造数学教与学过程中的点滴辉煌.

17　培养学习习惯

学生的非智力因素直接影响着教学的效果，尤其是良好的学习习惯能大大提高学生的学习效率.对此，笔者十分注意做数学学习的规矩，注意对学生数学学习习惯的培养，严格要求学生提前预习,专心听讲,超前思维,不耻下问,认真作业,及时订正,善于总结,及时反思,善用教科书,常回头看看,不定期回头复习,记下疑难并及时弄清,整理资料.尤其是对学习资料的整理,除了让学生树立“作业本、听讲笔记、考卷是最珍贵的学习资料”的意识，引导学生把每天的作业整理好，把平时老师发的练习卷、单元检测卷、期中期末考试卷、复习讲义等资料及时按顺序整理好、装订好；把课堂笔记按章节、按单元整理好,让他们身边永远有井井有条的学习资料相伴.

18　重视学法指导

学法的指导，是数学教学过程中必须十分重视的一个环节.对学生来说，有时也很迷茫、很无奈：问题到底出在哪里、到底怎样去学才高效、才能学得更好……这迫切需要教师及时指点迷津，需要教师帮助他们设计学习方案.对此，笔者通过观察、调查，归纳总结并指出了学生在数学学习中存在的问题，如目的不明确，学习懒散，缺乏计划；理解不透，忽视预习；不懂不问，不肯动脑；死记硬背，机械模仿；不重基础，好高鹜远；不会自学，上课分心；不重总结，轻视复习；不会听课，事倍功半；赶做作业，慢性运转等等.针对这些问题，笔者对症下药，采取了如下数学学法指导的途径和方法：

1)数学学法指导全程渗透.即将学法指导渗透于制订计划、课前预习、课堂学习、课后复习、独立作业、课后总结、课外学习等各个环节之中，让学生随时完善和优化各自的学习方法.

2)建立数学学习常规:课堂常规——状态好，参与高，求卓越，求效率，聚精会神，超前思维；课后常规——认真回味，整理归纳，深思熟虑，多思多疑，不耻下问，独立思考，琢磨规律，把书由厚读薄；作业常规——先复习，后作业，字迹工整，表述规范，计算正确，重做错题等等.这些具体的要求有的放矢,“挠到痒处”，在端正学习态度、养成学习习惯、提高学业成绩、优化学习品质等方面均收到了良好的效果.

3)数学所特有的学习方法的指导.着重指导学生学会思考、学会理解数学知识和数学思想的本质、学会解决数学问题、学会数学思维、学会数学交流、学会用数学的眼光看问题、学会有意识培养自己的数学素养与理性精神、学会提升自己的数学素养等.

引导得法,指点给力,学生在数学学习上自然能天天向上.教无定法，教学有法,贵在得法，贵在用智慧施教，数学教学更是如此，只要不改初心,循天而事，因地制宜，用心施教,教学就一定会高效!