三角换元破解数学竞赛题*

●　　(常熟市中学,江苏 常熟　215500)

现行的《高中数学课程标准》已降低了对不等式的要求，且将不等式证明纳为《数学(选修4-5)》中的理科内容，因此大部分学生在高中阶段不能系统学习和掌握一些重要的不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式、伯努利不等式等)以及不等式证明的方法和技巧.一些数学学科优秀的学生，有志于参加高校的自主选拔和各类数学竞赛考试，而这些考试中涉及不等式知识的试题较多且考查要求较高.那么如何来解决这个矛盾呢？考虑到三角函数是高中数学的基础知识，也是高考重点考查的内容之一，学生普遍掌握得比较扎实.为此，笔者用全国高中数学联赛各省市预赛题的三角解法为例，整理出一类以三角换元为手段，将竞赛题转化为三角函数问题来处理的解题模式，供读者学习与参考.

1　正弦与余弦的换元

1.1正余弦换元

例1已知圆x2+y2=1与抛物线y=x2+h有公共点，求实数h的取值范围.

(2011年全国高中数学联赛江苏省预赛试题)

h=y-x2=sinθ-cos2θ=

sin2θ+sinθ-1=

评注利用公式sin2θ+cos2θ=1进行正弦与余弦换元是最常用的一种三角换元手段.

例2实数x,y满足x2+y2+xy=3，求x2+y2的取值范围.

(2016年全国高中数学联赛河北省高二预赛试题)

分析将已知条件配方，得

故x2+y2的取值范围为[2,6].

评注通过配方进行正弦与余弦换元是一种比较有效的三角换元手段，这里配方是要领.需要指出的是利用不等式知识解题，一般只能解决一个方向.

本题用不等式来处理时，学生可能会这样来解：

从而得到错误结果[2,+∞).当然用不等式来解答本题，只要运用得当，也能得出准确结论的.事实上，只要考虑另一个方向，再增加一个不等式即可.其正确解答过程为：一方面，

另一方面，

由此可知，利用不等式解题，灵活性较强，技巧性较高.另外应该指出，若改变条件或所求式子，例如：改求2x2+3y2的取值范围，则借助不等式来解答的难度大大增加，没经过不等式系统训练的学生是难以完成的，而用上述三角换元手段可以同样完成解答.

1.2单弦换元(正弦或余弦)

(2015年全国高中数学联赛山西省预赛试题)

从而

ysinθ-cosθ=-2y，

于是

即

故

说明本题中用到了一个重要变换——“合一公式”：

(2013年全国高中数学联赛安徽省预赛试题)

分析函数的定义域为[-2,2],可设x=2cosθ,其中θ∈[0,π]，则

y=|2cosθ+1|+|2cosθ-1|+2sinθ.

y=4cosθ+2sinθ=

y=-4cosθ-2sinθ=

评注根据正弦或余弦函数的值域,结合已知条件可进行正弦(或余弦)换元，将问题转化为三角函数问题，再利用三角知识解决.利用单个正弦或余弦换元时,用正弦或余弦一般可以任选，但限制角的范围必须满足题设要求.

2　正余切与正余割的换元

2.1切割换元

(2017年全国高中数学联赛四川省预赛试题)

从而

于是

|k|≥1，

即

|x-y|≥2,

评注利用sec2θ-tan2θ=1，可进行正切与正割的三角换元，可将竞赛题转化为三角问题.

2.2正切(余切)换元

(2014年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛试题)

即

从而

于是

即

y2≥8,

2.3正割(余割)换元

(2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)

分析由于函数的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，因此可设

评注根据题目的结构特征，结合正切(余切)与正割(余割)的值域可以进行正切换元或正割换元.

3　引参后三角换元

例8已知x,y∈R，且2x2+3y2≤12，求|x+2y|的最大值.

(2017年全国高中数学联赛河北省预赛试题)

分析令2x2+3y2=r2，则

0≤r2≤12.

例9若a，b，c∈R，a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最大值和最小值.

(2013年全国高中数学联赛江苏省复赛试题)

a+b+c=r(cosθ+sinθ)+c=

评注对于条件式为不等式的问题，可以通过引入参数、三角换元，利用平方关系进行正余弦换元或切割换元.

(2017年全国高中数学联赛福建省预赛试题)

4　先构造再换元

4.1直接构造

(2016年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区高一预赛试题)

评注根据条件x>0,y>0且x+2y=2，可将条件构造为二元二次问题，从而可利用三角换元的方法来解答.

4.2间接构造

(2016年全国高中数学联赛新疆高一预赛试题)

u2=2-x，v2=3x+12,

得

3u2+v2=18.

评注通过整体换元，将原问题构造为可进行三角换元的问题，从而完成问题的解答.

综上可知，“三角换元”是解决范围(如最值、定义域、不等式)问题的一把利器，借助上述4种三角换元手段可实现代数(几何)问题向三角函数问题的有效转化.采用“三角换元”解题可规避应用不等式知识解题时灵活多变的方法和高难技巧，强化三角函数的应用意识；解题有明确的指向和固有的定式，思维流畅自然，使很多复杂的竞赛题都能手到擒来，迎刃破解.

在本文中，笔者所选取的均是竞赛试题，事实上，对高考试题的解答，三角换元法也具有广泛的适用性.三角换元法解题既适应新课改的需求，又符合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且能有效训练和提高学生的思维能力与洞察能力，促进数学的高效学习，值得我们进行深入研究并熟练掌握.