具有Banach代数的无正规的锥度量空间上拟收缩映射的不动点定理的改进*

朴勇杰

(延边大学理学院数学系，吉林 延吉 133002)

1974年Ciric在完备的度量空间(X,d)上引进了X上的自映射T拟收缩映射的概念：如果存在k∈[0,1)使得对任何x,y∈X，总有

d(Tx,Ty)≤kmax{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),

d(x,Ty),d(y,Tx)}

并证明了完备的度量空间上任何拟收缩映射必有唯一不动点。

最近，Kumam等[1]引进了如下概念：称度量空间X上自映射T是推广的拟收缩的，如果存在q∈[0,1)使得对任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤qmax{d(x,y),

d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),

d(y,Tx),d(T2x,x),d(T2x,Tx),

d(T2x,y),d(T2x,Ty)}

文献[1]用实例说明了新的拟收缩概念明显弱于Ciric的拟收缩，并证明当X是T-轨道完备时T具有唯一不动点。因此所得结论明显推广和改进了Ciric的结果。

2007年，Huang等[2]引进了锥度量空间的概念，推广和改进了通常的实空间，并得到若干的不动点定理。特别是近几年，一些作者在锥度量空间上研究了拟收缩映射，得到了若干重要结果[3-7]。

最近， 在文献[8-10]中引进了具有Banach代数的锥度量空间并得到了一些推广的不动点定理， 特别是， Liu等[9]在正规条件下得到了关于拟收缩映射的不动点存在定理。之后， 许绍元等[11]和Huang等[12]分别用两种不同的方式证明了在非正规的条件下文献[9]中得到的结果仍然成立，所得结果具有一定的意义。

在本文，将沿用文献[11-12]中的研究方法并结合文献[1]中的推广的拟收缩条件讨论并得到无正规条件下的新的不动点定理，推广和改进文献[9,11-12]中的相应结果。

1　基本知识

设Α总是实Banach代数，即Α是具有乘法运算的实Banach空间，其运算满足如下性质(对任何x,y,z∈Α,α∈R)：

(i) (xy)z=x(yz)；

(ii)x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

(iii)α(xy)=(αx)y=x(αy)；

本文总假设Α具有单位元(即乘法单位元)e使得对任何x∈Α均有ex=xe=x。一个元x∈Α被称为可逆的，如果存在称之为逆元的元y∈Α使得yx=xy=e。x的逆元y用x-1表示。详文献[13]。

命题1[13]设Α是具有单位元e的实Banach代数且x∈Α。如果x的谱半径r(x)<1， 即

则(e-x)是可逆的，且有

注1i) 对任何

详见文献[13]；

称具有零元0的Banach代数Α的子集P为锥，如果

(i)P是非空闭集且满足{0,e}⊂P；

(ii) 对任何非负实数α,β，αP+βP⊂P；

(iii)P2=PP⊂P；

(iv)P∩(-P)={0}。

对于给定的锥P⊂Α， 定义关于P的半序≤如下：x≤y当且仅当y-x∈P。x

称锥P是正规的是指存在正实数M使得对任何x,y∈Α，

满足上述条件的最小的正数M被称为P的正规常数。

定义1[8-10]设X≠∅。如果映射d:X×X→Α满足

(i)对任何x,y∈X,d(x,y)≥0且d(x,y)=0当且仅当x=y；

(ii)对任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)；

(iii) 对任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。

则称d是X上的锥度量，(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间。

注3关于具有Banach代数的锥度量空间的例子可参看文献[8-10]。

定义2[8-10]设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间，x∈X且{xn}是X中的序列。 则

(i) 称{xn}收敛于x是指对任何c∈Α且c0，存在自然数N使得对任何n≥N，d(xn,x)≼c。记为或xn→x。

(ii) 称{xn}是柯西的是指任何c∈Α且c0，存在自然数N使得对任何n,m≥N，d(xn,xm)≼c。

(iii) 称(X,d)是完备的是指(X,d)中的每个柯西序列都在(X,d)中收敛。

引理1[14-15]设E是具有体锥P的Banach空间。 若对任何c0，成立0≤u≤c，则u=0。

定义3[16-17]设P是Banach代数Α中的体锥。称序列{un}⊂P为c-序列，如果对任何c0，存在自然数N使得对任何n≥N，un≼c。

命题2[16]设P是Banach代数Α中的体锥，{xn}和{yn}是P中的两个序列。如果{xn}和{yn}都是c-序列且α,β≥0，则{αxn+βyn}也是c-序列。

命题3[16]设P是Banach代数Α中的体锥，{xn}是P中的序列。则下列命题等价：

(i) {xn}是c-序列；

(ii) 对任何c0，存在自然数N1使得对任何n≥N1时un

(iii) 对任何c0，存在自然数N2使得对任何n≥N2时un≤c。

命题4[10]如果P是Banach代数Α中的体锥，k∈P是任意给定的向量且{un}是c-序列，则{kun}也是c-序列。

命题5[10]设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间且P是Α中的体锥。 若{xn}是X中收敛于x∈X的序列。 则

(i) {d(xn,x)}是c-序列；

(ii)对任何自然数p，{d(xn,xn+p)}也是c-序列；

命题6[10]设Α是Banach代数且x,y∈Α。如果x和y可交换，则r(xy)≤r(x)r(y)。

定义4设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间，T:X→X是一个映射。对任何x∈X及正整数n，令

OT(x,n)=

{x,Tx,T2x,…,Tnx},OT(x,+∞)=

{x,Tx,T2x,…}

称OT(x,+∞)为x点的T-轨道，称(X,d)为T-轨道完备是指OT(x,+∞)中的每个柯西序列必收敛。

注4定义4是文献[1]中相应定义在具有Banach代数Α的锥度量空间上表现形式。

2　拟收缩映射的不动点定理的推广

文献[9,11-12]中给出如下定义：

定义5设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间。 称一个映射T:X→X为拟收缩的是指存在k∈P且r(k)<1使得对任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤ku

(1)

其中u∈{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}。

文献[11-12]在X的非正规条件下分别给出了如下拟收缩映射的不动点存在定理：

定理1设(X,d)是具有Banach代数Α的完备锥度量空间。如果T:X→X为拟收缩映射，即满足式(1)。则T有唯一不动点，并且对任何x∈X，迭代序列{Tnx}收敛于该不动点。

下面，首先给出如下新的一类拟收缩映射的不动点存在定理。

定理2设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间，T:X→X为自映射。如果X是T-轨道完备的且存在k∈P且r(k)<1使得对任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤kv(x,y)

(2)

其中v(x,y)∈A(x,y){d(T2x,x),d(T2x,Tx),d(T2x,y),d(T2x,Ty)}。则T有唯一不动点，并且对任何x∈X，迭代序列{Tnx}收敛于该不动点。

证明任取x0x∈X并定义xn=Tnx=Tn-1xn-1,n=1,2,…，构造一个序列对任何固定的i=1,2,…，根据式(2),

d(xi,xi+1)=d(Txi-1,Txi)≤kv(xi-1,xi)

(3)

其中

v(xi-1,xi)∈A(xi-1,xi)=

{d(T2xi-1,xi-1),d(T2xi-1,Txi-1),

d(T2xi-1,xi),d(T2xi-1,Txi)}

即v(xi-1,xi)∈A(xi-1,xi)={d(xi+1,xi-1),d(xi+1,xi),0}。

如果v(xi-1,xi)=d(xi+1,xi-1)，则根据式(3)得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi-1)

如果v(xi-1,xi)=d(xi+1,xi)，则根据式(3)得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi)⟹(e-k)d(xi,xi+1)≤0

于是根据命题 1得到

d(xi,xi+1)=0≤kd(xi+1,xi-1)

如果v(xi-1,xi)=0，则根据式(3)得到

d(xi,xi+1)=0≤kd(xi+1,xi-1)

综合上三种情况得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi-1)，i=1,2,…

(4)

对任何固定的i=1,2,…，利用式(2),

d(xi,xi+2)=d(Txi-1,Txi+1)≤kv(xi-1,xi+1)

(5)

其中v(xi-1,xi+1)∈A(xi-1,xi)={d(xi+1,xi-1),d(xi+1,xi),0,d(xi+1,xi+2)}。

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi-1)，则根据式(5)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi)，则根据式(5)和式(4)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi,xi+1)≤k2d(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=0，则根据式(5)得到

d(xi,xi+2)≤0≤kd(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi+2)，则根据式(5)和式(4)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi+1,xi+2)≤k2d(xi,xi+2)

于是

(e-k2)d(xi,xi+2)≤0

根据命题 6可知r(k2)≤(r(k))2<1，于是根据命题 1可知e-k2是可逆的，因此由上式得到

d(xi,xi+2)≤0≤kd(xi-1,xi+1)

综合上述四个情况得到

[d(xi,xi+2)≤kd(xi-1,xi+1)]∨[d(xi,xi+2)≤

k2d(xi-1,xi+1)], ∀i=1,2,…

(6)

把式(6)写成

d(xi,xi+2)≤k(i,i+2)d(xi-1,xi+1), ∀i=1,2,…

(7)

其中[k(i,i+2)=k]∨[k(i,i+2)=k2]。

下面将证明：对任何自然数n，当两个自然数i,j满足1≤i,j≤n时成立

d(xi,xj)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(8)

当n=1时i=j=1，于是式(8)显然成立。假设n=m时式(8)成立， 即

d(xi,xj)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]，∀1≤i,j≤m

(9)

现设n=m+1。由于当1≤i,j≤m时式(8)成立，于是可设j=m+1,1≤i≤m。

由于

d(xi,xm+1)=d(Txi-1,Txm)≤kv(xi-1,xm)

其中v(xi-1,xm)∈A(xi-1,xm)={d(xi-1,xi+1),d(xi,xi+1),d(xi+1,xm),d(xi+1,xm+1)}。

(I) 考虑i=1的情况。此时v(x0,xm)∈{d(x0,x2),d(x1,x2),d(x2,xm),d(x2,xm+1)}。

1) 当v(x0,xm)=d(x0,x2)时，

d(x1,xm+1)≤kd(x0,x2)≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

2) 当v(x0,xm)=d(x1,x2)时,

d(x1,xm+1)≤kd(x1,x2)≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

3) 当v(x0,xm)=d(x2,xm)时,

d(x1,xm+1)≤kd(x2,xm)≤

k[d(x1,x2)+d(x1,xm)]≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+kd(x1,xm)

结合式(9)得到

d(x1,xm+1)≤k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+

kk(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

即

d(x1,xm+1)≤

k[e+k(e-k)-1][d(x0,x1)+d(x1,x2)]=

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

4) 当v(x0,xm)=d(x2,xm+1)时,

d(x1,xm+1)≤

k[d(x1,x2)+d(x1,xm+1)]≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+kd(x1,xm+1)

于是得到

d(x1,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

综合以上讨论可知当i=1,j=m+1时式(8)成立。

(II) 考虑i=m的情况。此时

d(xm,xm+1)=d(Txm-1,Txm)≤kv(xm-1,xm)

其中v(xm-1,xm)∈A(xm-1,xm)={d(xm-1,xm+1),d(xm,xm+1),0}。

1) 若v(xm-1,xm)=d(xm-1,xm+1)，则

d(xm,xm+1)≤kd(xm-1,xm+1)≤

k[d(xm-1,xm)+d(xm,xm+1)]

即

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1d(xm-1,xm)

于是根据式(4)和式(7)得到

d(xm,xm+1)≤k2(e-k)-1d(xm-2,xm)≤

k2(e-k)-1k(m-2,m)k(m-3,m-1)…k(1,3)d(x0,x2)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

2) 若v(xm-1,xm)=d(xm,xm+1)，则

d(xm,xm+1)≤

kd(xm,xm+1)⟹(e-k)d(xm,xm+1)≤0

于是

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

3) 若v(xm-1,xm)=0，则显然成立

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

综合上述三种情况可知当i=m,j=m+1时式(8)仍成立。

(III) 考虑2≤i≤m-1的情况。此时，由于i+1≤m，因此当v(xi-1,xm)取A(xi-1,xm)中的元d(xi-1,xi+1),d(xi,xi+1),d(xi+1,xm)之一时根据归纳原理得到

d(xi,xm+1)≤kv(xi-1,xm)≤

k2(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

而当v(xi-1,xm)=d(xi+1,xm+1)时

d(xi,xm+1)≤kd(xi+1,xm+1)≤

k[d(xi,xi+1)+d(xi,xm+1)]

于是得到

d(xi,xm+1)≤k(e-k)-1d(xi,xi+1)

因此根据式(4)和式(7)得到

d(xi,xm+1)≤k2(e-k)-1d(xi-1,xi+1)≤

k2(e-k)-1k(i-1,i+1)k(i-2,i)…k(1,3)d(x0,x2)≤

k(e-k)-1d(x0,x2)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

综合上述讨论可知当2≤i≤m-1,j=m+1时(8)仍然成立。 于是综合所有情况并根据归纳法知式(8)成立。

对任何两个自然数n,m且1

d(xn,xm)=d(Txn-1,Txm-1)≤kv(xn-1,xm-1)

其中v(xn-1,xm-1)∈A(xn-1,xm-1)={d(xn-1,xn+1),d(xn,xn+1),d(xn+1,xm-1),d(xn+1,xm)}。 令

C(n,m)={d(xi,xj)|n≤i,j≤m}

则由上式可知对每个u∈C(n,m)，存在v∈C(n-1,m)使得u≤kv。于是得到

d(xn,xm)≤ku1≤k2u2≤…≤

kn-1un-1≤kn(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(10)

其中

u1∈C(n-1,m),

u2∈C(n-2,m),…,un-1∈C(1,m)

及

un-1≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(根据式(8))

由于

kn(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]≼c

于是结合式(10)得到对任何c0，存在自然数N>1使得m≥n>N时d(xn,xm)≼c。因此{xn}是OT(x,+∞)中的柯西序列，所以根据T-轨道完备性存在x*∈X使得xn→x*。

根据式(2), 对任何自然数n，

d(x*,Tx*)≤

d(x*,xn)+d(Txn-1,Tx*)≤

d(x*,xn)+kv(xn-1,x*)

(11)

其中v(xn-1,x*)∈A(xn-1,x*)={d(xn-1,xn+1),d(xn,xn+1),d(xn+1,x*),d(xn+1,Tx*)}。

1) 若v(xn-1,x*)=d(xn-1,xn+1)，则根据式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn-1,xn+1)

(12)

2) 若v(xn-1,x*)=d(xn,xn+1)， 则根据式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn,xn+1)

(13)

3) 若v(xn-1,x*)=d(xn+1,x*)， 则根据式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn+1,x*)

(14)

4) 若v(xn-1,x*)=d(xn+1,Tx*)， 则根据式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn+1,Tx*)≤

d(x*,xn)+k[d(xn+1,x*)+d(x*,Tx*)]

于是得到

d(x*,Tx*)≤

(e-k)-1[d(x*,xn)+k[d(xn+1,x*)]

(15)

因此综合四种情况可知无论何种，由命题2-命题5，都有

d(x*,Tx*)≤yn

其中{yn}是锥P中的c-序列。于是根据定义3，对任何c0，存在自然数N使得当n>N时d(x*,Tx*)≤yn≼c，因此根据引理 1得到d(x*,Tx*)=0，故x*是T的不动点。

如果y*也是T的不动点，则根据式(2)得到

d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤kv(x*,y*)

其中v(x*,y*)∈A(x*,y*)={d(x*,y*),0}。于是容易得到x*=y*，因此x*是T的唯一不动点。

记

B(x,y)=

{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}；

D(x,y)=

{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx),

d(T2x,x),d(T2x,Tx),d(T2x,y),d(T2x,Ty)}

则D(x,y)=A(x,y)∪B(x,y)。

注5用(X,d)的T-轨道完备性代替定理 1中的(X,d)的完备性，定理 1仍然成立。

注6定理1的证明的关键一步是：对任何自然数n，当两个自然数i,j满足1≤i,j≤n时成立d(xi,xj)≤k(e-k)-1d(x0,x1)(详见文献[11-12]中的证明)，但是这结果也满足式(8)。

结合定理1和定理2并根据注5和注6， 得到如下具有Banach代数的非正规的锥度量空间上Ciric定理(即定理1)的推广结果。

定理3设(X,d)是具有Banach代数Α的锥度量空间，T:X→X为自映射。如果X是T-轨道完备的且存在k∈P且r(k)<1使得对任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤kv(x,y)

(2)

其中v(x,y)∈D(x,y)。则T有唯一不动点，并且对任何x∈X，迭代序列{Tnx}收敛于该不动点。

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