一节“失败”的公开课

柳建锋

一、背景介绍

相似三角形作为中考题的重要组成部分，是因为它不仅可以考查学生对图形相似的认识有多深刻，并且又利于学生对以前学过的全等三角形知识进行巩固和提高。正是由于这种综合性的特点，决定了相似三角形在中考中的重要地位。而在能力培养上，无论是逻辑思维能力，推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形、相似三角形的教学中得以培养和提高。为此，我在设计这节课的时候，以学生为主体，让他们全面地参与到学习过程中来，有意识地培养学生的创新意识和实践能力，增强他们学习的能力，来提升学生学习数学的核心素养。

二、课堂实录及点评

片段一：典例探析

若等腰三角形的顶角∠A=108°，BC=a，AB=b，BD平分∠B交AC于D，则AD=______。（这道题没有给出图形）

生：在线段BC上取点E，使BA=BE，连结ED（图1）

■

∵∠DBA=∠DBE，BD=BD

∴△DBA≌△DBE

∠DEB=∠A=108°

∴∠CED=72°

又∵AB=AC∠A=108°

∴∠C=∠CBA=36°

∴∠EDC=∠DEC=72°

∴CD=CE

∵BE=BA=b BC=a

∴CD=CE=a-b

∴AD=AC-CD=2b-a

师：肯定、表扬这位学生的思路及推理论证能力。利用在较长线段上截取BE=BA，来构造一对全等三角形，利用全等三角形的性质得出角相等，推出△CDE为等腰三角形，从而得到AD的长度。

师：接着问，除了截长这种方法外，还有类似的方法吗？

学生开始积极思考起来，不一会儿，另一学生站了起来。

生：我还有一种方法，延长线段BA至E（图2），使BE=BC，连结DE，则

■

△EBD≌△CBD

∴DE=DC∠E=∠C=36°

∵∠BAC=108°

∴∠DAE=72°

∴∠ADE=∠DAE=72°

∴ED=EA=a-b

∴DC=DE=a-b

∴AD=b-（a-b）=2b-a

师：很好，这位同学主要利用延长BA到E，使BE=BC，连结DE来构造一对全等三角形，利用全等三角形的性质得出角相等，推出△EAD为等腰三角形，得到EA=ED=CD，从而得到AD的长度。

我的教学目的就是利用角平分线来构造全等三角形，通过此例的两种证法，可以说达到了教学目的。正当我准备讲下一个例题时，没有想到突然又有一位学生举手了。

片段二：学生质疑

生：如图3，设AD=x，过点C作CE∥AB交BD延长线于点E

■

∴∠E=∠ABD=∠CBD

∴CE=BC=a

∵CE∥AB

∴△ABD～△CED

∴AB/CE=AD/CD

∴b/a=x/（b-x）

∴x=b2/（a+b）

∴AD=b2/（a+b）

师：利用平行，构造相似三角形，从而求出答案，很好，还有其他解法。

生：如图4，设AD=x，过点D作DE∥BC交AB于点E

■

∴∠BDE=∠CBD=∠DBE=18°

∴DE=BE

∵DE∥BC

∴∠AED=∠ABC=36°

∠ADE=∠ACB=36°

∴∠AED=∠ADE

∴AE=AD=x

∴BE=b-x

∴DE=BE=b-x

∵DE∥BC

∴DE/BC=AD/AC

（b-x）/a=x/b

∴x=b2/（a+b）

∴AD=x=b2/（a+b）

生：我还有另一种证法，如图5。设AD=x，过点D作DE∥AB交BC于点E

■

∴∠BDE=∠ABD=∠DBE=18°

∴BE=DE

∵DE∥AB

∴∠CED=∠ABC=36°=∠C

∴DE=CD=b-x

∴BE=DE=b-x

∴CE=a-b+x

∵DE∥AB

∴CD/AC=CE/BC

（b-x）/b=（a-b+x）/a

x=b2/（a+b）

∴AD=b2/（a+b）

学生的反应出乎我意外，沉默了一会儿，又有学生举手了。

生：如图6，延长BC至E，使CE=AC=b

■

∴∠E=∠CAE=（1/2）∠ACB=18°=∠CBD

∴BE=a+b

∵∠ABE=∠BCD=36°

∴△ABE～△DCB

∴AB/CD=BE/BC

∴b/（b-x）=（a+b）/a

∴AD=x=b2/（a+b）

師：太好了。

突然之间，我看到了答案并不一样，但我发现整个学生的证明过程没有一点错误，同一道题有两种不同的结果，这也超出了我的预料，于是我接着又问学生了。

师：同学们有没有察觉到有两个结果，这是怎么回事？难道是我们分析错误了吗？气氛一下子沉闷起来了。

片段三：分析原因

生：我认为两种答案都正确，只是a和b存在着某种关系。

师：那a和b有怎么样的关系呢？

生：刚才同学们的分析都是正确的，只不过结论的呈现形式不同而已，所以我们只要列等式2b-a=■即可。可以通过化简，得b2=a2-ab.，就能找到a和b的关系。

师：同学们认为呢？

生：是的。

刚刚安静下来，突然又有一位同学举手了。

生：老师，本题属于条件多余。

教室里一下子安静下来了。

师：你能说说条件到底多在哪？

生：对于顶角固定的等腰三角形来说，只要知道其中一腰或一底边，就能确定此等腰三角形。

师：同学们觉得怎么样？（我顿时豁然开朗）

教室里顿时响起了掌声。

师：及时肯定该学生。

师：有一个角是108度的等腰三角形形状已定，所以只需再固定一边就可以确定三角形，而本题给出了两条边的长度，所以最后就出现了两种答案，当然这只是不同的表现形式，结果是一致的。

片段四：问题延伸

趁学生的兴趣正浓时，我预感到上述结论还有别的证法，于是我接着问：我们还有没有别的方法来证明这个结论呢（b2=a2-ab）？

考虑到问题相对复杂，我先让学生自主探索，再进行合作交流，同时开展小组之间竞争。小组成员共同努力，相互合作，教师则观察各组的活动，对小组所遇到的困惑及时引导、鼓励，对差一点的小组直接参与合作，整体把握各组的进展情况，交流的气氛是积极的，不久学生得出了结论。

生：如图7，在线段BC上取点D，使CD=CA=b

■

∴BD=BC-CD=a-b

∵∠C=36°

∴∠ADC=72°

∴∠BAD=∠B=36°=∠C

∴△ABD～△CBA

∴AB/BC=BD/AB

∴b/a=（a-b）/b

∴b2=a2-ab

没等这位学生说完，另一位学生举手了。

生：如图8，我还有另一种证法，就是延长BA，截取BD=BC。连结DC，可证∠D=∠BCD=72°。从而可得△DCA∽△DBC。

■

∴DC/DA=DB/DC

∴b/（a-b）=a/b

∴b2=a2-ab

生：如图9，，作∠BCD=108°，与线段BA的延长线交于点D，从而可得△ABC∽△CBD。

■

∴AB/BC=BC/BD

∴b/a=a/（a+b）

∴b2=a2-ab

同学们的发言越来越激励

师：及时肯定学生的想法，表扬、赞赏。

师：你们能讲讲你们的思路吗？

生：要证明b2=a2-ab.只要把式子化为b2=a（a-b），即■=■，然后构造出一对适当的相似三角形，即可得证。（总结一下形如b2=a2-ab.的证明方法）

太棒了！

我想借此机会把这道题再深掘一下，让学生对这道题有更深的印象。

师：同学们，从刚才的所得结论中，你们是否又有新的发现？请同学们一起讨论一下。

课堂气氛一下子又活躍起来，没过多久其中一位同学举手了。

生：借助a，b的数关系，我们能求出cos36°的值。

师：说说你的想法。

生：如图10，作AM⊥BC于M，则BM=MC=■a由上述结论b2=a2-ab，

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得a2-ab-b2=0，则a=■b.

则a>0，∴a=■b，

∴cos36°=■=■=■.

师：真棒。本题是数形结合的最好体现，我们可以通过构造一些几何图形，使复杂的问题简单化，从而达到事半功倍的效果。

生：我们也可以求sin36°的值。

师：太好了！

……

三、课后思考

纵观整节课，虽然我没有完成事先预定的教学计划，但是我和我的学生在这节课上都有较大的收获。学生从中学习了提出问题、探究问题和解决问题的方法。对这节课我有下面几点反思：

亮点1：注重“学为中心”的教学理念。这节课十分清楚地呈现了“以学为中心”的教学思想，不仅让学生从已有知识和观念开始，让学生以研究的方式来学习数学，让教师服务于学生，更重要的一点是，始终让课堂上充盈着学生的“声音”，并在互动交流中提醒学生，在这样的活动中，学生不仅能主动获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。在思考中学会自主编题，学生学习自主性被最大程度体现，最后编制出的问题类似于中考题，激发学生在题源下从结论、条件、方式方法下进行各种创新。

亮点2：这的确是一堂节外生枝的数学复习课，笔者原本准备了5个例题，然而在分析例1时就出现了种种问题，让笔者始料不及，可贵的是笔者及时调整教学思路，改变教学方式，围绕学生自己发现的问题展开探究。这样的教学过程不仅满足了学生的探究欲望，把学习的主动权还给了学生，生成了新型的师生关系，还让学生体验到学数学的乐趣，培养了学生的探究精神和动手操作能力。新课程理念下的数学课堂，立足于“一切为了学生的终身发展”的根本目的，以真实有效、互动生成为特色，具有不可预设性、不可复制性。在教学中许多问题是无法预设的，因为学习活动的主体是学生，他们的思维与成人有一定距离，并且每个学生的知识、经验、思维、灵感、兴趣都不尽相同，因此学习活动中会呈现出丰富性、多变性和复杂性，就是我们平常所说的“非预设生成”。笔者深刻体会到非预设性生成是学生智慧与创造力的最佳体现，教师教学中面临着严峻的考验和艰难的抉择，如果引导得当，会使教学富有灵性，彰显智慧。

（作者单位：浙江省余姚市高风中学）