有限群亏零p-块的存在性

钱方生

(哈尔滨师范大学数学科学学院,黑龙江哈尔滨 150025)

1 引言

模表示论中块论是其核心部分,而亏群在块论中起到关键的作用.它是联系群论性质和表示论性质最重要的对象.因而,下列问题一直是模表示论研究的核心问题.

一个p-子群D何时是有限群G的p-块的亏群?如果D是亏群,用群论性质来计算以D为亏群的p-块的个数.

这个问题在有限群表示论中具有重要意义,Brauer在文献[1]中将它列为问题19,而在文献[2]中被Feit列为问题5.

特别地,对D=1,以D为亏群的p-块被称为亏零p-块.关于这一问题现在已有许多结论见文献[3–8],在这里我们给出了一类存在极大子群是幂零群的有限群有亏零p-块的充要条件.

本文讨论的群均为有限群,如无特别说明所使用的符号和术语均符合标准.

2 引理

定义2.1[9]有限群G的一个子群H称为半正规的,若对任意的子群K≤G,只要(|K|,|H|)=1,就有KH=HK.

由定义下面的引理是显然的.

引理2.2设G为有限群,H为G的半正规的子群.

(1)若H≤K≤G,则H为K的半正规的子群.

(2)设N◁G,若(|N|,|H|)=1,则HN/N为G/N的半正规的子群.

引理2.3[10]假设有限群G有一个极大幂零子群,且Sylow 2子群是交换的,则群G是可解的.

引理2.4[11]假设G是有限可解群,P是G的Sylowp-子群且是交换的,Op′(G)是幂零的,其中p是整除群G阶的素数.则下列条件是等价的:

(1)G有亏零p-块.

(3)Op(G)=1.

引理2.5[12]设N是可解群G的一个正规子群,且N的阶与p互素,其中p是一个素数.令K1,K2,···,Kr是G的亏零类,并且它们都包含在N中.则G至少有r个亏零特征标.

引理2.6设G是有限群,G=PN,其中P是G的Sylow 2-子群,N是初等交换q-群,q/=2,N◁G.若G的2阶群均是半正规的子群,则G有亏零2-块的充要条件是O2(G)=1,并且存在a∈N,使得CG(a)是2′子群.

证 1)对任意a∈N,a/=1,x∈G,x2=1,x/=1,有x∈CG(a)或ax=a−1.

由〈x〉是半正规的子群,有〈x〉〈a〉≤G,于是〈a〉◁〈x〉〈a〉,若则ax=al=b,其中2≤l≤q−1.于是有bx=(ax)x=ax2=a.进而有(ab)x=axbx=ba=ab,从而ab=1,即有a=b−1.由x,a的任意性知对任意的2阶元x及q-阶元a有x∈CG(a)或ax=a−1.

2)命题成立.

由N是初等交换q- 群, 于是可设N=其中a1,a2,···an是q-阶元.由O2(G)=1知CG(N)=N.否则,令Q为CG(N)的Sylow 2-子群,则Q/=1且CG(N)=N×Q,从而Q是CG(N)特征子群,进而Q◁G,与O2(G)=1矛盾.设a=a1+a2+···+an,x是2阶元,若x∈CG(a),则a=ax=ax1+ax2+···+axn.由1) 及N=知axi=ai,其中i=1,2,···,n. 由于a1,a2,···,an是N的生成元,从而有x∈CG(N),与CG(N)=N矛盾.从而CG(a)是2′子群,且有a∈O2′(G)=N.由引理2.5知G有亏零2-块,于是命题成立.

引理2.7[13]设G是奇阶群,p是一个素数,Op′(G)和G/Op′(G)是幂零的.则G有亏零p-块的充要条件是Op(G)=1.

引理2.8[11]设G是有限群,D是G的正规p-子群,PN◁G,其中P∈Sylp(G),N是G的正规p′-子群.则下列条件是等价的:

1)G有以D为亏群的p-块.

2)PN有以D为亏群的p-块.

3)N有以D为亏群的G的共轭类.

引理2.9设G是有限群,G=POp′(G),其中P∈Sylp(G),p是整除群G阶的一个素因子.若G/Op(G)有亏零p-块,则G有以Op(G)为亏群的p-块.

3 主要定理及其证明

关于亏零p-块问题,人们希望给出存在亏零p-块的各种群论条件.这一问题现在已有一些重要结果,在这里又给出了一类存在极大幂零子群的有限群有亏零p-块的充要条件.首先给出一些关于有限群有亏零2-块的充要条件.

定理3.1 设G是有限群,且G有一个极大幂零子群.若G的Sylow 2-子群是交换的,则G有亏零2-块的充要条件是O2(G)=1.

证 必要性是显然的,下面只需证充分性.

1)若M◁G.设P是M的Sylow 2-子群,由M是幂零的,知PCharM,从而P◁G.由O2(G)=1,知P=1.再由M是G的极大子群,知|G:M|=2,从而G的Sylow 2-子群的阶是2,进而是交换的.由O2′(G)=M是幂零的及引理2.4知G有亏零2-块.

2)假设M不是G的正规子群.若Φ(G)/=1.由Φ(G)是幂零的和O2(G)=1,知Φ(G)是2′-子群.若O2(G/Φ(G))/=1,则令K/Φ(G)=O2(G/Φ(G)).于是K是幂零的,进而K的Sylow 2-子群是K的不为1的特征子群,从而是G的不为1的正规2-子群与O2(G)=1矛盾,因而O2(G/Φ(G))=1.再由Φ(G)≤M和归纳假设知G/Φ(G)有亏零2-块,从而G有亏零2-块.

于是可假设Φ(G)=1.设MG是M中的G的极大正规子群,若MG/=1.由M是幂零的,知MG是幂零的且是p′-子群.若O2(G/MG)=1,则由归纳假设知G/MG亏零2-块.从而G有亏零2-块.现设O2(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的极大子群,知G=NM,从而G/N同构于M的子群是幂零的.设L/N是G/N的Sylow 2-子群,由G/N幂零性知L是G的正规子群且G/L是p′-子群.从而G有亏零2-块的充要条件是L有亏零2-块.由G的Sylow 2-子群是交换的,知L的Sylow 2-子群是交换的,而O2′(L)=MG是幂零的,由引理2.4知L有亏零2-块,从而G有亏零2-块.

设MG=1.令K是G的极小正规子群,由引理2.3知G是可解的,再由Φ(G)=1知K是初等交换q-群,其中q是不同于2的素数.由MG=1和M是G的极大子群知G=KM,于是G/K同构于M的子群是幂零的,从而G/K的Sylow 2-子群W/K是G/K的正规子群.于是G/W是2′-子群,从而G有亏零2-块的充要条件是W有亏零2-块.设W=P0K,其中P0是G的Sylow 2-子群.而O2′(W)=K是幂零的,由G的Sylow 2-子群是交换的,知W的Sylow 2-子群是交换的,由引理2.4知W有亏零2-块,从而G有亏零2-块.

关于奇阶幂零群被幂零群扩张的群有亏零p-块已有很多很好的结果,例如引理2.7.而对于偶阶群结果还不是很多,下面给出一类偶阶群有亏零2-块的充要条件.

定理3.2 设G是有限群,G=PN,其中P是G的Sylow 2-子群,N◁G且N是幂零的.若G的2阶子群均是半正规的子群,则G有亏零2-块的充要条件是O2(G)=1,并且存在a∈N,使得CG(a)是2′-子群.

证 必要性是显然的,下面只需证充分性.

假设Φ(G)/=1.则Φ(G)是G的2′-子群.否则由Φ(G)/=1的幂零性知1/=Syl2(Φ(G))◁Φ(G)charG.则1/=Syl2(Φ(G))◁G,则与O2(G)=1矛盾.

于是可以假设Φ(G)=1.由O2′(G)=N,N是幂零的,及Φ(G)=1知N=O2′(G)=F(G)=N1×N2×···×Ne,其中Ni是G的极小正规子群且是初等交换qi-子群,1≤i≤e.显然有O2′(G)⊆CG(O2′(G))=CG(F(G))⊆O2′(G). 进而P作用在O2′(G) 上是忠实的.

对每个Ni可看作是不可约Fqi[G]-模,其中Fqi是qi个元素的域.由G=PO2′(G)及O2′(G)是交换的,有Ni可看作是不可约Fqi[P]-模.设Ki是P作用在Ni上的核,由于P作用在O2′(G)上是忠实的,因而有且N可看作是不可约F[P/K]-模.由引iqii理2.6,存在ni∈Ni{1},对任意x∈PKi有令n=n1n2···ne∈O2′(G).若存在1/=y∈P,y2=1,使得则有因为ni/=1,所以y∈Ki,即有y∈由是交换的,则对于n有 2†|C(n)|,于是有CG(n)是2′-子群.再由引理2.5,G有亏零2-块.

注 有例子说明定理3.2的条件群G的2阶子群均是半正规的是必要的.设q=1+2m是Fermat素数,令是Zq:Zq−1与Z2的圈积,则G是幂零群被幂零群扩张的群,且O2(G)=1,但G没有亏零2-块.

定理3.3 设G是有限群,且G有一个极大幂零子群.若G的2阶群均是半正规的子群,则G有亏零2-块的充要条件是O2(G)=1.

证 必要性是显然的,下面只需证充分性.

1)若M◁G.设P是M的Sylow 2-子群,由M是幂零的,知PCharM,从而P◁G.由O2(G)=1,知P=1.再由M是G的极大子群,知|G:M|=2,从而G的Sylow 2-子群的阶是2,进而是交换的.由O2′(G)=M是幂零的及引理2.4知G有亏零2-块.

2)若M不是G的正规子群.设MG是M中的G的极大正规子群,若MG/=1.由M是幂零的,知MG是幂零的且是2′-子群.若O2(G/MG)=1,则由引理2.2及归纳假设知G/MG有亏零2-块.从而G有亏零2-块.现设O2(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的极大子群,知G=NM.从而G/N同构于M的子群,于是G/N幂零的.设L/N是G/N的Sylow 2-子群,由G/N幂零性知L是G的正规子群且G/L是2′-子群.从而G有亏零2-块的充要条件是L有亏零2-块.而O2′(L)=MG是幂零的,L/Op′(L)=L/MG是2-群,因而也是幂零的,由定理3.2知L有亏零2-块,从而G有亏零2-块.

于是可假设MG=1.设K是G的极小正规子群,由引理2.3知G是可解的,于是K是初等交换q-群,其中q是不同于2的素数.由MG=1和M是G的极大子群知G=KM,于是G/K同构于M的子群,进而G/K幂零的.从而G/K的Sylow 2-子群W/K是G/K的正规子群.于是G/W是2′-子群,从而G有亏零2-块的充要条件是W有亏零2-块.设W=P0K,其中P0是G的Sylow 2-子群.而O2′(W)=K是幂零的,W/O2′(W)=W/K是2-群,因而也是幂零的,由定理3.2知W有亏零p-块,从而G有亏零p-块.

接下来给出一类奇阶群有亏零p-块的充要条件.

定理3.4 设G是奇阶群,M是G的极大子群且是幂零的,p是整除群G阶的一个素因子.则G有亏零p-块的充要条件是Op(G)=1.

证 必要性是显然的,下面只需证充分性.

1)若M◁G.设P是M的Sylowp-子群,由M是幂零的,知PcharM,从而P◁G.由Op(G)=1,知P=1.再由M是G的极大子群,知|G:M|=p,从而G的Sylowp-子群的阶是p,进而是交换的.由Op′(G)=M是幂零的及引理2.4知G有亏零p-块.

2)若M不是G的正规子群.设MG是M中的G的极大正规子群,若MG/=1.由M是幂零的,知MG是幂零的且是p′-子群.若Op(G/MG)=1,则M/MG是G/MG的极大子群且是幂零的,从而由归纳假设知G/MG亏零p-块.进而G有亏零p-块.现设Op(G/MG)=N/MG/=1.易知N/MG不是M/MG的子群,再由M是G的极大子群,知G=NM,从而G/N同构于M的子群,进而是幂零的.设L/N是G/N的Sylowp-子群,由G/N幂零性知L是G的正规子群且G/L是p′-子群.从而G有亏零p-块的充要条件是L有亏零p-块.而Op′(L)=MG是幂零的,L/Op′(L)=L/MG是p-群,因而也是幂零的,由引理2.7知L有亏零p-块,从而G有亏零p-块.

于是可假设MG=1.设K是G的极小正规子群,由G的可解性知K是初等交换q-群,其中q是不同于p的素数.由MG=1和M是G的极大子群知G=KM,于是G/K同构于M的子群是幂零的,从而G/K的Sylowp-子群W/K是G/K的正规子群.于是G/W是p′-子群,从而G有亏零p-块的充要条件是W有亏零p-块.设W=P0K,其中P0是G的Sylowp-子群.而Op′(W)=K是幂零的,W/Op′(W)=W/K是p-群,因而也是幂零的,由引理2.7知W有亏零p-块,从而G有亏零p-块.

定理3.5 设G是奇阶群,M是G的极大子群且是幂零的,p是整除群G阶的一个素因子.若Op(M)⊆Op(G),则G有以Op(G)为亏群的p-块.

证 1)若Op(M)＜Op(G),则Op(G)不是M的子群,由M是G的极大子群,有G=MOp(G),于是G/Op(G)同构于M的子群是幂零的.设P∈Sylp(G),则有P/Op(G)∈Sylp(G/Op(G))且有P/Op(G)◁G/Op(G),于是有P=Op(G)◁G.由于 1∈Op′(G),P∈Sylp(G)=Sylp(1).由引理2.8知G有以Op(G)为亏群的p-块.

2)若Op(G)=Op(M).由M是幂零的,知Op(G)=Op(M)∈Sylp(M).若M◁G,由M是G的极大子群,有|G:M|=q,其中q是整除群G阶的一个素因子.若q/=p,则G有以Op(G)为亏群的p-块的充要条件是M有以Op(G)为亏群的p-块.由M是幂零的,则有M=Op(M)×Op′(M).于是对任意x∈Op′(M),有Op(M)∈Sylp(CG(x)).从而M有以Op(G)为亏群的p-块.于是G有以Op(G)为亏群的p-块.

若q=p.令P∈Sylp(G),则有G=PM.易知P/Op(G)∈Sylp(G/Op(G)),M/Op(G)是G/Op(G)的极大子群且幂零的,且有Op(G/Op(G))=1.于是由定理3.4知G/Op(G)有亏零p-块. 由Op′(M)chraM◁G,知Op′(M)≤Op′(G). 由|G:M|=p,知Op′(M)=Op′(G).于是M=Op(M)×Op′(M)=Op(G)×Op′(G).于是由引理2.9及G/Op(G)有亏零p-块,知G有以Op(G)为亏群的p-块.

若M不是G的正规子群.由于M/Op(G)是G/Op(G)的极大子群且幂零的,

于是由定理3.4知G/Op(G)有亏零p-块.设MG是M中的G的极大正规子群.若Op(G/MG)/=1,则由M/MG是p′-子群,知Op(G/MG)=H/MG不是M/MG的子群.由M/Op(G)是G/Op(G)的极大子群,有G=HM,且有(H/MG)∩(M/MG)=1.于是有|G/MG|=|H/MG||M/MG|,即有|G:H|=|M/MG|,从而G/H是p′-群.设P∈Sylp(H),则有H=PMG=POp′(MG),且Op′(MG)◁H和Op(H)=Op(G). 由G/H是p′-群及G/Op(G)有亏零p-块,知H/Op(G)有亏零p-块,再由引理2.9知H有以Op(G)为亏群的p-块.从而存在x∈Op′(MG),使得Op(G)∈Sylp(CH(x)).由Op′(MG)◁G,有Op′(MG)⊆Op′(G),即有x∈Op′(G).于是由引理2.8知G有以Op(G)为亏群的p-块.

若Op(G/MG)=1.由G/MG的可解性知,Op′(G/MG)/=1.易知Op′(G/MG)不是M/MG的子群,于是有G/MG=(Op′(G/MG))(M/MG). 而Op′(G/MG),M/MG均是p′-群,所以G/MG也是p′-群.进而有Op(MG)=Op(G)=P∈Sylp(G),于是G有以Op(G)为亏群的p-块.

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