高中数学圆锥曲线解题探究

张凯

【内容摘要】圆锥曲线是高中数学教学的重要内容，也是高中数学教学中的难点问题。虽然自初中学生学习函数以来，掌握了二次函数反比例函数等相关内容，但是对抛物线、双曲线等知识并未形成系统的认识。因此本文将基于此对高中数学圆锥曲线的解题方式进行探究。

【关键词】数学圆锥曲线解题

圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，一般而言圓锥曲线的图形分为椭圆、双曲线和抛物线这三种形式。而在进行圆锥曲线的学习时还会涉及直线与圆锥曲线的位置关系，如相交、相切、相离。如何在众多关系中找到更加简便的解题方法是至关重要的。对于圆锥曲线而言 ，三种圆锥曲线的方程和性质是教学的重点，如取值范围、对称轴、顶点、离心率等。而圆锥曲线的难点就是圆锥曲线的综合应用。下文将从不同的几种方式简谈圆锥曲线如何解题。

一、运用定义进行解题

定义是圆锥曲线的基础，因此在教学 的过程中需要让学生熟练掌握定义，并能够举一反三，利用定义进行解题。例如在这样一道经典例题中，便是用定义求解的。

例如：如图线段AB=8，点C在线段AB上，AC=2，P为移动点，现将点A绕C点旋转后与点B绕点P旋转后重合于D。现在我们设CP=x，△CPD的面积为f（x），则f（x）的定义域和最值是什么？

根据这道题的题目我们可以知道PD=PB，且PD+PC=BC=6，又因为CD=CA=2。这时我们就可以根据圆锥曲线的定义进行求解。我们知道焦距为2，长轴的长是6，那么根据定义我们知道短轴的长为42，因此PC=22，同时当△CPD的面积为最大时也就是22.这道题虽然是让求定义域和最大值，其实就是动点到两个定点举例之和为定长时，我们就应该联想到椭圆定义，然后引导学生进行正确的解题。

二、运用化归思想解题

在高中数学双曲线解题中，如果一味运用定义生搬硬套，有时会让题目变得错综复杂。而化归思想是数学解题的利刃，可以让复杂的问题简单化，让陌生的问题熟悉化。因此在双曲线解题过程中巧妙运用化归思想解题是十分有效的。

例如已知椭圆方程的焦距为23，离心率为32 。求椭圆方程并设椭圆定点B（0，b）的斜率为k的直线交椭圆于D，交X轴于E，且成等比数列，求k2。

这道例题的第一问很简单，需要依靠定义和题目条件按部就班求解就可以。但是在第二问的求解上就十分值得思考了。通常我们可以按照常规思路把B、D、E的坐标用斜率表示出来然后在把的长度代入表示出来，最后求得k2的值。这一思路看似很直接、简单，但是在实际解决中会发现有十分巨大的运算量，因此这种方式十分费力不讨好。基于这个思路可以进行改良，将B、D、E的坐标用斜率表示出来后将投影到y轴并利用相似三角形来求解。这就运用了化归思想，让复杂的问题简单化，让陌生的问题熟悉化。根据已知条件我们可以得知椭圆方程为x24+y2=1，过B点的直线为y=kx+1。通过联立这两个方程，可以求出D点的坐标，由于呈等比数列，所以|BE|2=|BD||DE|，然后求解可得出k2的值。

三、运用参数方程解题

参数方程是相对独立的内容，虽然在高中阶段的运用的不是十分普遍，但是对于解决一些圆锥曲线的问题十分有帮助。因此在教学的过程中，教师应该向学生讲解基础的参数方程的应用问题，让学生学会运用参数方程解决椭圆方程。

例如矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，同时对称轴平行于坐标轴，求矩形的面积最值。

在椭圆方程x2a2+y2b2=1的坐标可以表示为（acosθ，bsinθ），然后用它表示出矩形的面积。在这道例题中，运用参数方程描述椭圆上的坐标，由于只有 一个变量，因此这个公式是只有一个自变量的解析式。运用参数方程的方式可以将二元函数转化成一元函数来解题，是十分有效的一种方式。

圆锥曲线问题是高中数学的重要内容，所蕴含的内容十分丰富，解题方式也十分灵活多样。本文只是选取了几个教学方式进行了探究，圆锥曲线内容仍有很多方面值得教育工作者去探究。希望通过本文可以起到抛砖引玉的作用，让课堂教学更加高效，让学生学习圆锥曲线更加得心应手。

【参考文献】

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[2]王琦.圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用[J].科学大众：科学教育，2017（1）：28.

[3]庄丰.圆锥曲线问题中减少运算量的利器——构造法[J].中小学数学：高中版，2015（10）：61-63.

（作者单位：安徽省合肥市第十七中学）