基于时间序列分析的行星齿轮箱故障诊断

江 涛，王细洋，罗欢欢

(南昌航空大学航空制造工程学院，南昌330063)

0 引言

行星齿轮主要是由多个行星轮围绕一个太阳轮转动的结构，也是目前常见的一种机械设备传动机构，由于其体积小、承载能力强和结构紧凑的特殊性，可用于一些特殊工况，如在航空领域、重型工业等行业。因此，行星齿轮传动受到了越来越多的关注和使用［1］。行星齿轮箱工作运行的环境非常特殊，大部分都是在恶劣的环境中运行，最重要部件齿轮和轴承会受到疲劳裂纹和凹坑等损伤模式的影响，造成重大的经济损失，严重还会造成人员的伤亡。进行变速箱的状态监测和故障诊断预测，目的是为了防止事故发生，并为齿轮箱的用户节省成本。设备故障诊断实质是为了更加清楚设备运行时的情况，预测设备的可靠性，及时了解和掌握设备故障，从而对其故障起因、故障位置和故障对设备的危险程限等进行辨别和评估，预报故障的发展趋势，并针对具体情况提出合理的建议［2］。

目前，齿轮箱的状态监测和故障诊断已引起越来越多的关注。针对齿轮箱故障诊断的方法有很多。采用直接听噪声或者感受震动强度来判断故障位置的方法简单但实际检测效果不理想，不能普遍适用。大部分情况还是采用信号处理的方式进行齿轮箱故障诊断，如时域分析中时域指标、频域分析中幅值谱和功率谱分析、时频分析中小波分析［3］等。本研究使用时间序列方法对行星齿轮箱进行故障诊断的分析［4］，主要是采用参数模型(AR模型)对所观测到的有序的随机数据进行分析与处理的一种数据处理方法。

李志农等［5］提出了一种可以抑制噪声的基于高阶累积量的ARMA模型的递推盲辨识算法运用在故障诊断方面，盲辨识算法具有很好的收敛性和准确性，运行速率随着模型阶次的增加而变快。方泽南等［6］提出了一种用时间序列理论进行故障诊断的方法，可以在缺乏对实际故障机理了解的情况下从设备本身的运转情况中得到故障信号的统计特征信息，从而了解设备的运转动态，该方法先对实际机组的振动信号建立时间序列模型，然后用模型参数来训练一个模式识别神经网络作为故障诊断的工具。Wenyi Wang等［7］提出了一种基于信号平均技术AR模型的技术来检测和诊断设备故障，将该模型用作线性预测误差滤波器来处理来自同一齿轮的未来状态信号，通过表征滤波和未滤波信号之间的误差信号来诊断齿轮的健康状况。基于此，本研究通过Labview数据采集系统提取出特征信号并进行降噪，然后结合时间序列方法对其信号处理得出模型参数，诊断其故障特性。

1 时间序列分析

1．1 时间序列原理

时间序列分析的首要步骤是建立合适的时间序列模型，H(z)表示一个线性系统，该系统的传递函数为:

其中:σ2为白噪声的方差，ω为角频率。

对于一个正常的且0均值的时间序列，是一定可以建立一个p阶自回归q阶滑动平均模型的方程，即

其中:AR(p)p阶自回归模型为:

MA(q)q阶滑动平均模型为:

式中:xt为随机过程或时序的观测值;i(1≤i≤P)，P为自回归参数;at为残差，白噪声序列;p为模型阶数，θj(1≤j≤q);q为实数权重，滑动平均参数。

1．2 模型定阶

模型建模的另一个问题就是如何选择合适的阶次m。若阶次太小，会影响谱估计中的分辨率，进而影响试验结果;阶次太高时，则会使其中一个频率分量的谱线断裂，从而出现不真实的频率。因此，模型的定阶需要选择一个合适的阶次使模型达到平稳。目前常用的模型定阶方法有经验法和试探法。经验法是设N为序列{Xk}中X的个数，一般可取:当 N=20～50时，则 m=N/2;当N=50～100时，则 m=(1/3～1/2)N;当 N=100～200时，则m=2N/ln(2N)。用试探法来判定模型阶次有最终预测误差判据FPE(Final Prediction ErrorCriterion)和信息论判据 AIC(Akaika’s Information Criterion)两种方法。

最终预测误差判据FPE的定义为:

其中:N为数据长度，m为阶次，J(m)为预测误差的均方值。式(7)中的值随m的增大而增大，J(m)随m的增大而减小。若式(7)取得最小值时则是合适的阶数m。

信息论判据AIC是Akaika给出了预测误差方差对数的似然函数极小判据，其定义为:

此判据选择AIC的极小值对应的m作为模型的最佳阶次。AIC准则的改进形式称为BIC准则，即模型的阶次为使式(9)达到最小的m。

通过Labview采集器收集的正常信号数据文件作为来判定AR模型阶次的依据，将最终预测误差判据FPE和信息论判据AIC两种定阶法用于数据文件，最佳的AR模型阶数优化如图1所示。从图1a可以看出，信息论判据AIC为5时，其值也是最小，且图1b中的阶次值也是5，此两种方法都可以用于模型定系数阶;因此，可以选择AIC作为模型定阶准则，模型的阶数定为AR(5)。

图1 模型定阶的优化过程Fig．1 Model-level optimization process

1．3 模型参数估计及容差范围构建

模型的参数估计有很多种方法，主要有自相关法［8］、Burg 法［9］、改进的协方差法［10］、最大似然估计法［11］、序贯数据有自适应谱跟踪［12］。根据模型的参数判断改进的协方差法相对于其他几个方法有较突出的优点，所以本研究采用改进的协方差法进行求解。

与Burg算法相似，都是要使预测功率之和为最小［13］。

式中:

令pfb为最小时，不仅仅是使pfb相对Ψm(m)=km为最小，而是使 pfb相对 Ψm(1)，Ψm(2)，…，Ψm(m) 都要最小，其中 m=(1，2，…，p) 。Ψb(k)=Ψf*(k)，所以令=0。式中:Ψf(i) ，i=1，2，…，p。于是可以得出:

式中:

其中，最小预测误差功率可表示为:

若当整个系统发生故障时，模型的阶数m和模型参数向量都会改变，此时用相同阶数m的正常模型参数去比较故障状态下的模型参数时，参数范围会远远小于模型参数向量。

模型参数向量在正常状态下可表示为:

求解正常模型参数向量的特征值及允许偏差值，假设向量M的首个元素为Ψ1的特征值为Q1，允许偏差值为ΔQ1，元素为Ψ2的特征值为Q2，允许偏差值为ΔQ2。根据此原理推测，元素Ψm特征值为Qm，允许偏差值为ΔQm。

其中，Qi与 ΔQi(i=1，2，…，p) 可表示为:

然后通过检测参数容差范围MNormal±ΔMNormal是否存在在模型阶次都相同时的模型参数向量M在不同状态下的齿轮特征信号，由此可以判定齿轮的运行故障状态情况，进而预测出故障齿轮。

2 试验设备与流程

试验设备如图2所示，由1∶4传动比的行星齿轮箱组成，齿轮箱型号为PXDS115－4型单级传动行星齿轮箱，三相异步电动机的型号为YL100L2－4，额定转速为 1430 r/min，额定功率为3．0 kW。通过改变输入磁粉制动器电流大小，能够改变齿轮箱负载的大小。为了更好地得到行星齿轮扭振信号的的数据进行分析，所以通过增量式编码器来得到信号。试验流程:首先是三相异步电动机工作带动齿轮箱进行运转，然后通过附加在行星齿轮箱上的加速度传感器，将电压信号进行A/D转化成数字信号，反馈到NI数据采集卡，得到振动信号，或者通过增量式编码器将扭振信号反馈到NI数据采集卡，利用Labview虚拟仪器设计的数据采集系统进行数据采集，并且提取出特征信号进行分析处理，本试验采用txt格式进行数据保存，将提取出的特征信号进行时间序列故障诊断分析。

图2 试验设备Fig．2 Experiment equipment

3 信号采集

数据采集的是行星齿轮箱的扭转振动信号，相较于振动信号，扭振信号因其传递路径单一，幅值调制相对简单，频谱更为清晰，同时，采集扭振信号的系统为柔性系统，能有效降低高频信号的噪声影响。

通过Labview虚拟仪器设计的信号采集系统来实现行星齿轮扭振信号的采集。采样频率为10 kHz，每个数据文件长度为20 480，编码器脉冲数为2048，把采集到的数据通过增量式编码器将信号转换成指定文件夹中的特定格式。为了使其更有试验意义，防止行星齿轮发生空转，在操作中通过磁粉制动器对设备施加相关的负载，使试验预测更加贴近实际工况。齿轮箱中两齿啮合时的啮合频率为419 Hz，转速为1397 r/min，根据其中一个太阳轮齿数为24，3个行星轮齿数均为24，内齿圈齿数为72。失效齿轮如图3所示。

图3 行星轮断齿位置Fig．3 Position of broken teeth of the planetary gear

4 信号处理与分析

对于降噪处理后的数据进行编号，随机抽取正常信号和断齿信号各2组进行傅立叶频谱分析，齿轮箱的频谱成分如图4所示，由正常信号和故障信号傅立叶频谱对比可以看出，啮合频率旁边出现了很多边谱成分，并不能发现其齿轮是否故障。

图4 傅立叶频谱图Fig．4 Fourier spectrogram

由于上述原因，所以提出时间序列对齿轮箱进行故障诊断，通过建立自回归模型，然后根据信息论判据AIC确定模型最优阶数，最后采用改进的协方差法进行模型参数求解确定模型的特征向量和参数容差范围。试验中选取了8组正常数据进行分析，每组数据的长度为1 000，由信息论判据AIC模型定阶得出p为5，对数据进行处理，得到结果如表1所示。

由表1可以计算出正常状态下的模型参数向量为:

其中，参数容差范围为k=2:

然后再用阶数相同的时间序列模型分别对正常扭振信号和故障扭振信号进行分析，每组的数据长度也保持不变，得出正常信号的模型系数(表2)和故障信号的模型系数(表3)。

表1 正常状态的参数模型系数Table 1 Parameter model coefficients of normal state

表2 正常信号模型系数Table 2 Model coefficients of normal signal

表3 故障信号模型系数Table 3 Model coefficients of fault signal

通过表2、表3中两组数据的对比可以看出，正常信号系数皆在MNormal±ΔMNormal参数容差范围内，而故障信号系数不是全部都在参数容差范围内，有个别超出了参数容差范围，由此可以判断出齿轮箱是否发生故障，可以很好地识别出正常齿轮与故障齿轮。

5 结论

1)将时间序列自回归模型运用到齿轮故障诊断，能较好地对采集信号进行有效的故障分析，并且能够分析齿轮运行状态，能明显诊断齿轮故障。

2)通过Labview虚拟仪器设计的数据采集系统进行数据的采集并提取特征信号，然后对提取的特征信号进行分组对比，用正常信号建立适应的模型进行参数定阶得到最优阶次为5阶，再通过参数模型估计对模型参数容差范围进行构建，然后再用故障信号对比之前建立的正常信号模型参数容差范围，可以判断出齿轮的故障特征。此方法在齿轮故障诊断方面有较强的实用性。