形如2α-1p1p2p3的near-perfect数

冯 迁， 廖群英

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

2000多年前欧几里得提出perfect(完美)数的概念，称满足σ(n)=2n的正整数n为完美数，其中σ(n)表示n的所有正因子之和，并构造出了所有的偶完美数；但是欧几里得不能给予完整的证明，最终欧拉完成了这个任务，其生成方式和梅森素数有直接关系，即n为偶完美数当且仅当n=2k-1(2k-1)，其中k、2k-1均是素数[1-3].2000多年过去了，梅森素数的无穷性、奇完美数的存在性等问题仍然难以解决[4-9].于是与此相关的概念诞生，比如本文考虑的near-perfect数.

定义1[3]若正整数n，使得等式σ(n)=2n+d成立，其中d是n的真因子，则称n为near-perfect数，并称d为n的冗余因子.(注意到，如果n是near-perfect数，则冗余因子d是唯一的.)

对于形如n=2α-1p1p2p3的n-p数，其中α∈Z，α≥2，p1、p2、p3是不同的奇素数且p1

(2α-1)(p1+1)(p2+1)(p3+1)=
2αp1p2p3+d.

(1)

对以上等式奇偶分析易得2|d.于是

d∈{2β，2βp1，2βp2，2βp3，2βp1p2，2βp1p3，
2βp2p3，2βp1p2p3}， 1≤β≤α-1.

在(1)式中令p1+1=k，即得

(2α-1)k(p2+1)(p3+1)=2αp1p2p3+d.

若p3|d，则由p1

均与p2是正数矛盾，故只需考虑5种情况:d=2β、2βp1、2βp2、2βp1p2、2βp1p2p3.

本文给出冗余因子d=2β、2βp1或2βp2时，n的一种生成方式；进而在条件p1⫮(p2+1)下，得到d=2α-1p1p2时，n的全部取值；最后对d=2βp1p2p3的情形得到一些基本性质.

1 主要结果

定理1设α、β、γ均为正整数，p1=2α+2β-γ-1为奇素数.令

u=22α+γ-β+2α-2α+γ-β.

若存在正整数x,y>1，满足

u(u-1)-2γ=xy，

且p2=x+u-1和p3=y+u-1均为奇素数，则

n=2α-1p1p2p3

是以d=2β为冗余因子的n-p数，其中2≤γ≤β-1≤α-2.

定理2设α、β、γ均为正整数，p1=2α+2α-γ-1为奇素数.若存在分解

p1(2α+γ-βp1-2α-β-1)=2α-β-γxy，

使得

p2=x+2α+γ+2α-2γ-1，

p3=y+2α+γ+2α-2γ-1

均为奇素数，则n=2α-1p1p2p3是以d=2βp1为冗余因子的n-p数，且1≤γ≤β≤α-1.

定理3设α、β均为正整数，p1、p2、p3为不同的奇素数，p1

其中，1≤β≤α-2，t∈Z.

命题1设α、β、γ均为正整数，p1、p2、p3为不同的奇素数，p1

p1⫮(p2+1)，

则不存在以d=2βp1p2p3为冗余因子的形如n=2α-1p1p2p3的n-p数，其中α>β>γ≥1.

命题2设p1、p2、p3为不同的奇素数，p1

2 主要结果的证明

定理1的证明由p1=2α+2β-γ-1为奇素数，且

u=22α+γ-β+2α-2α+γ-β，

p2=x+u-1，p3=y+u-1，

xy=u(u-1)-2γ，

可得

(p2+1-u)(p3+1-u)=xy=u(u-1)-2γ.

(2α-1)(p1+1)(p2+1)(p3+1)-2αp1p2l3=2β.

从而由定义1可得定理1.

定理2的证明因为p1=2α+2α-γ-1，不妨设u=2γp1，则奇素数p2=x+u-1，p3=y+u-1.从而由σ(n)的定义可知

故由定义1可知定理2成立.

定理3的证明必要性 即若n=2α-1p1p2p3是以d=2α-1p1p2为冗余因子的n-p数，其中

p1⫮(p2+1),

则由(1)式可知

(p1+p2+1)(p3+1)(2α-1)=
(p3-2α-1+1)p1p2.

(2)

注意到p1

1)p1|(p3+1)且p2|(2α-1);

2)p1|(2α-1)且p2|(p3+1);

3)p1p2|(2α-1);

4)p1p2|(p3+1).

通过(2)式容易排除形1)～3)，故只需考虑情形4).不妨设p1p2u=p3+1，代入(2)式得

u[(p1+p2+1)(2α-1)-p1p2]=

-2α-1⟹u=2β， 1≤β≤α-1.

注意到p1⫮(p2+1)，此时情形4)等价于如下方程组

(3)

至此，将其转化为文献[10]中的定理2.1中的(3)的情形，于是可得其所有解为

充分性 根据n-p数的定义容易验证(1)式成立，故得证.

命题1的证明反证法 设n=2α-1p1p2p3是以d=2βp1p2p3为冗余因子的n-p数，则由(1)式可知

因奇质数p1=2α+2β+2γ-1，故上式等价于

2γp1(p2+p3+1)=(p2+1)(p3+1).

(4)

在(4)式中，由整除性关系有:p1|(p2+1)或p1|(p3+1).

由命题假设p1⫮(p2+1)，只需考虑p1|(p3+1):

若p1|(p3+1)，不妨设p1l1=p3+1，将其代入(4)式得

l1(p1(2α-γ+2β-γ)-1)=
p2(l1-2α-γ-2β-γ).

(5)

在(5)式中由整除性有p2|l1或

p2|(p1(2α-γ+2β-γ)-1).

当p2|(p1(2α-γ+2β-γ)-1)时，不妨设

p2l2=p1(2α-γ+2β-γ)-1，

将其代入(5)式得

l1l2=l1-2α-2β-γ，

不可能，排除;当p2|l1，不妨设p2l3=l1，结合p1l1=p3+1，有p1p2l3=p3+1.将其代入(1)式容易得到p3|2α-1，这与

p3>p1=2α+2β+2γ-1>2α-1,

矛盾.

综上可知命题1成立.

命题2的证明已知n=2α-1p1p2p3是以d=2β为冗余因子的n-p数，若

为奇素数，容易验证等式

σ(n′)=2n′+2βpi，i=1，2

注1一些比较有趣的问题:

1) 以d=2β为冗余因子的形如

n=2α-1p1p2p3

的n-p数是否无穷多?

2) 对每个α≥2，都有形如n=2αp1p2p3的n-p数?

3) 在偶n-p数集合中，当2⫮d时，d必是梅森素数吗?

4) 确定第m个n-p数的渐进形式;

5) 确定所有奇n-p数的性质或判别准则.

注2利用计算机搜索到了满足定理1～3以及命题2条件的n-p数分别如下:

1)n=5 020 330 978 238 336，

n=338 107 574 312 576，

n=606 612 165 182 277 661 184;

2)n=22 342 536 833 728，

n=1 883 115 542 848，

n=606 612 165 182 277 661 184;

3)n=2 510 165 914 244 992，

n=2 510 165 914 244 992，

n=388 660 513 622 544 896;

4)n=1 845 991 216，n=6 800 228 816.

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