一道奥林匹克问题的推广及拓展

孙丕训 张留杰

北京市陈经纶中学 (100020)

笔者在阅读文[1]时，发现此问题内涵丰富、规律性较强，于是对此问题进行了更加深入的思考，与大家共勉．

一、问题的推广

我们先从特殊的正多边形入手思考，不难得出：

即便结合正五边形时的结论，也不易猜想出一般规律，于是我们类比文[1]中的证明方法，先探究正n边形时的结论．

图1

=an-1(ai>0，i=1,2,…,n-1)，PA1=x1，PA2=x2，…，PAn=xn(xi>0，i=1,2,…,n)．

分别在四边形PA1A2An、PA1A3An、…、PA1An-1An中，运用托勒密定理，可得

A1An·PA2=PA1·A2An+A1A2·PAn、A1An·PA3=PA1·A3An+A1A3·PAn、…、A1An·PAn-1=PA1·An-1An+A1An-1·PAn，注意到正n边形中A1An=A1A2=a1，A2An=A1A3=a2，…，等相等关系，所以有a1x2=a2x1+a1xn、a1x3=a3x1+a2xn、…、a1xn-1=an-1x1+an-2xn，将这n-2个式子相加，得a1(x2+x3+…+xn-1)=(a2+a3+…+an-1)x1+(a1+a2+…+an-2)xn，

下面求这个定值．

设正多边形A1A2…An的外接圆O的半径为R，

图2

二、问题的拓展

我们知道，点是圆的极限图形，将点“膨胀”为圆，或将圆“收缩”为点，可以命制具有新意的问题，文[2]将圆内接四边形的顶点“膨胀”为圆，对托勒密定理进行了如下拓展：

图3

托勒密定理的推广：如图3，已知点A、B、C、D在⊙O上，⊙O1外切⊙O于点D，AM、BN、CL分别切⊙O1于点M、N、L．则AB·CL+BC·AM=AC·BN．

根据文[2]中的推广，我们也可以将结论1进行类似拓展，于是有

[1]黄金福.数学奥林匹克问题.高536[J].中等数学.2017.8.

[2]张留杰,邱继勇.第1578问题的简证、推广及应用[J].数学通报.2006.7.60-61.