全国Ⅰ卷一道数学压轴题的优化解法探究

高辰

【摘要】高考压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识和基本技能，还要求考生具有灵活多变的数学思想方法.通过压轴题优化解法的探究，体现了数学思想方法的重要性.

【关键词】压轴题；优化解法；探究

数学思想方法是数学学科的灵魂，在平时认识问题、分析问题、解决问题的过程中，都体现出对数学思想方法的考查.作为高考压轴题，对考生的能力要求更高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有灵活多变的数学思想方法.2015年高考数学全国卷Ⅰ第12题抽象晦涩，难于求解.笔者认为这道题的解法可以优化.

题目 设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0，则a的取值范围是（ ）.

A.-32e，1

B.-32e，34

C.32e，34

D.32e，1

答案 D.

常规解法一

由题意可知ex0（2x0-1）

（ⅰ）x0=1时，上式为e<0，显然不成立.

（ⅱ）x0>1时，上式可变形为a>ex0（2x0-1）x0-1.

令g（x）=ex（2x-1）x-1，g（x）的定义域为（1，+∞），

g′（x）=ex0（2x2-3x）（x-1）2.

当x∈1，32时，g′（x）<0；

当x∈32，+∞时，g′（x）>0；

当x=32时，g′（x）=0.

∴g（x）min=g32.

若存在唯一的整数x0使a>ex0（2x0-1）x0-1，

则g（2）

∵a<1，不成立，舍去.

（ⅲ）x0<1时，上式可变形为a

x<0时，g′（x）>0，g（x）单调递增；

0

x=0时，g′（x）=0，∴g（x）max=g（0）=1.

∵a<1，

若存在唯一的整数x0使a>ex0（2x0-1）x0-1，

g（-1）≤a

综上得：a的取值范围是32e，1.

缺点：① 分类讨论过于烦琐；② 需要注意的细节过多，易出现遗漏导致误解；③ 运算量大；④ 小题大做浪费时间.

常规解法二

由题意可知，存在唯一整数x0使得

ex0（2x0-1）

令g（x）=ex（2x-1），h（x）=ax-a，

則g′（x）=ex（2x+1），

g（x）在-∞，-12单调递减，在-12，+∞单调递增.

x→-∞时，g（x）→0，

g（0）=-1，g12=0，g（1）=e，g-12=-2e，

h（x）=ax-a图像过定点（1，0），

可做出g（x）与h（x）的大致图像.

由图知，要符合题意

h（0）>g（0），h（-1）≤g（-1）32e≤a<1，

∴a的取值范围是32e，1.

缺点：① 作图时需要考虑极限等因素；② 若看不出图像所过定点，会使题目复杂化；③ 本题是求值而非找点个数，故对图像精确度要求较高.

常规解法很容易想到，可是求解的过程往往运算量大，稍不留神就会出错.

优化解法 观察、试根、构造函数、换元等是高考常考的思想方法，本题就是试根法的一个很好的应用.

题干中提到了“唯一的整数解x0”，这是出题人在引导考生大胆试根，而经过大量的习题积累，同学们很容易想到中学阶段最特殊的三个整数：-1，0，1，故可以从这三者入手.

f（-1）=2a-3e，∵a<1，∴f（-1）正负不定.

f（1）=e>0，不合题意.

f（0）=a-1，∵a<1，∴f（0）<0，

∴0是唯一的整数x.

现在我们只需要对a进行限制，将其余情况排除即可.

∵0是该不等式唯一的整数解，

∴f（-1）≥0，f（1）≥0， 解得a≥32e.

f（x）的定义域为R，

f′（x）=ex（2x+1）-a.

x>1时，f′（x）>0，f（x）在（1，+∞）单调递增；

x<-1时，f′（x）<0，f（x）在（-∞，-1）单调递减.

∴f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）均不存在x0使f（x0）<0.

即使f（x）在（-1，1）还有除0以外的x0使得f（x0）<0，但由于不可能为整数，仍符合题干要求，故不予考虑.所以，a∈32e，1.

总结 遇到含参问题，首先应考虑用数形结合和分离参量求解，当这两种方法都比较困难时，就应采用试根法，进而找到突破点.

提示 ① 求导数之前首先要指明定义域；② 画非初等函数图像时要考虑单调、定点、零点、极限等问题；③ 分类讨论应先讨论简单的，从易到难，步步深入.

通过研究不难发现，优化解法既简单又快捷，而且不容易出错.它的优点在于：① 复杂的问题简单化，即把一个复杂的问题，分解为一系列简单的问题.② 一般的问题特殊化，有些一般的结论，找不到一般解法，先看特殊情况，先找出结论，再慢慢求解.

平时注重一题多解、一题多变的训练是解决此类问题的好帮手.一题多解有利于提高学生思维的发散性、灵活性，能激发学生的学习兴趣，对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题，提高学习能力有很大帮助.

【参考文献】

[1]朱贤良.小题需小做 有法自逍遥[J].数理化解题研究，2015（8）：4-5.

[2]肖纪帆.小问题 大思想[J].中学生数理化，2016（4）：75.