如何动手造“抽屉”

江苏省苏州市立达中学校 赵莉娟

生活中处处充满着数学，我们所知道的一些常识性的简单事实往往蕴含着数学原理。例如，三个苹果放在两个抽屉里，必有一个抽屉里至少放了两个苹果；五个苹果放在两个抽屉里，必有一个抽屉里至少放了三个苹果；八个苹果放在三个抽屉里，必有一个抽屉里至少放了三个苹果。这都是很通俗易懂的道理，数学里称之为抽屉原理。正是这个简单的道理，可以帮助我们解决不少复杂的、趣味的、富有挑战性的初中竞赛题。下面就给大家简单介绍一下抽屉原理的应用。

一、抽屉原理在代数中的应用

抽屉原理在代数中的应用常表现为以下几个类型：对整数集合分类造抽屉、使用数偶造抽屉以及利用数字的特殊性质造抽屉。

例1 求证在任意的1997个自然数a1,a2,...,a1997中，总可以找到其中若干个数，使它们的和是1997的倍数。

【评析】我们常用对模n同余分类法造成n个抽屉，如：以2为模，将全体整数分为“余0类”（偶数）和“余1类”（奇数）两个“抽屉”；以3为模，将全体整数分为“余0类”“余1类”“余2类”三个“抽屉”……以n为模，可以将全体整数分为“余0类”“余1类”…“余（n-1）类”共n个抽屉。

例2 求证在坐标平面上，任取五个整点，其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。

证明：平面上整点的坐标是有序整数对（x，y），对其按整数奇偶性分类，一共有四类，即（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），这样就造成了四个“抽屉”，五个整点的坐标与这四个抽屉对照，至少有两点坐标奇偶性相同。不妨设这两个整点是由于x1与x2,y1与y2的奇偶性相同，所以均为整数。即线段A1,A2的中点是一个整点。

【评析】本题的关键是要从“任取五个整点”想到应该造4个抽屉，并从“在坐标平面上”想到这四个抽屉应该由数对构成，只要想到这两点问题就迎刃而解了。

例3 某地参加数学邀请赛的82名选手中总能选出10名选手，他们要么来自同一所学校，要么来自10所不同的学校。请你证明这个结论。

证明：82名选手所在的学校只有两种情形：他们来自不少于10所学校或他们至多来自9所学校。

（1）如果82名选手来自不少于10所学校，那么从其中10所学校中的每校各择一名选手，即符合“10名选手来自10所不同学校”的要求。

（2）如果82名选手至多来自9所学校，把9所学校看成9个“抽屉”，82名选手看成82个“苹果”，根据抽屉原理，可知必存在一个抽屉中不少于个“苹果”，即至少有10名选手来自同一所学校。（①[a]表示不超过a的最大整数）

【评析】本题是利用数字的特殊性质构造抽屉。问题的关键是要先将82名选手所在的学校情形分为两种。

从以上的3例中可知运用抽屉原理解题，首先要搞清需要对哪些元素（对象）进行分类（分成若干个集合），其次要找出分类规则（俗称“构造抽屉”），最后运用抽屉原则得出结论。这里的关键步骤是构造抽屉，因此要掌握构造抽屉的基本技巧和方法。

二、抽屉原理在几何中的应用

例4 在3×4的矩形中放置6个点。求证：总可以找到两个点，它们的距离不大于

分析：容易想到应将3×4的矩形分成五个“抽屉”，每个“抽屉”的“尺寸”——两点中的最大距离不超过。容易想到是边长分别为1和2的小矩形的对角线的长。但用边长分别为1和2的小矩形当“抽屉”（如图1）可以造出6个“抽屉”，不符合使用抽屉原则的条件。因此应适当改变抽屉的形状，造出5个抽屉，并使得每个抽屉中两点间的最大距离均不超过

图1

证明：将3×4的矩形分成5个“抽屉”，在矩形中任意放置6个点。由抽屉原理，至少有两个点属于同一个抽屉。由这5个抽屉的构造得，这两点的距离不大于原命题得证。

【评析】请大家要注意，利用抽屉原理构造的抽屉并不要求彼此大小形状相同，只要都满足题目中的条件即可，如该题中都满足抽屉中两点间最大距离不超过的要求。

例5 围着一张可转动的圆桌，均匀地放10把椅子，在桌上对着椅子放有10人的名片。当10人随意入座后，发现谁都没有对着自己的名片。求证：适当地转动桌子，至少能使两人对上自己的名片。

证明：将桌子按逆时针方向旋转，每转36°就得到一种名片与人对应的状态，总计有10种不同状态（开始的状态与转一周后的状态完全相同）。在这10种状态中，每人都恰有一次机会对着自己的名片，即人与自己的名片共有10次对号。由于最初的状态里，谁都没有与自己的名片对上号，即人与自己名片对上10次是分布在9个状态里。根据抽屉原理，必有一个状态里，人与自己名片至少对上两次，即至少有两人对上自己的名片。

【评析】本例中所构造的抽屉是对象的状态，它不像对图形分割那样直观，也不像对整数分类或利用数对那样具体，因此有很大难度。

应用抽屉原理证明问题，关键在于“构造抽屉”，即找出合乎题目条件的分类方法。虽然我们例析了一些构造抽屉的方法，但最本质的是根据对象特点进行恰当的分类来构造抽屉，要具体问题具体对待，切忌生搬硬套。抽屉造得好，造得巧，不但可以证得十分漂亮的结果，给人以数学美的享受，而且也是对解题者数学能力与素质的很好度量。