数形结合思想的渗透与应用

四川省乐山市第七中学 邓 俭

数学研究两方面的内容，一是数，二是形。从古代结绳计数开始，已经将数与形结合起来，可见数形结合思想在我国有着悠久的历史。通过对初中数学新教材内容的研究发现，几乎每一章每一节的内容都与数形结合的内容有关，但是教材却没有给出数形结合的具体含义，教师也只能在日常的练习过程中进行片面的讲解，为此，有必要进行数形结合思想的系统性介绍，并且通过具体的教学实例来体现数形结合思想在初中数学教材中的应用，体现“以形助数”以及“以数解形”的思想本质。

数学是由代数与几何两大部分内容构成的，尤其是在初中阶段，代数与几何的知识界限较为清楚，“代数”涉及实数、分式、整式、方程、函数或数学概念、数学定理等内容，数由人的左脑控制，“几何”涉及平面图形有三角形、直线或圆的相关内容，形由人的右脑控制。数形结合的思想有助于人大脑的思维的锻炼。从内容安排上可以看出是将代数与几何的内容分章叙述的，看似没有必然的联系，但是从深层次的角度来看，它们之间有着密切的联系，这就是数形结合。

一、数形结合之利用数轴

1.比较大小

例1 图1表示了实数a，b 的取值范围，那么以下选项错误的是（ ）

图 1

分析：数轴就是将代数转换为形的最直观的表现形式，根据选项，需要先判断出a，b，-1，0，1之间的大小关系，这是本题的基本思路。但是，选项中存在在了解的几何意义的基础之上，结合数形结合思想将问题简单化，如图2所示：

图 2

直接可以得出结论：B，C，D是正确的，A选项是错误的。本题中，实数（数）与数轴上的点（形）之间一一对应，根据数轴从左向右数值逐渐增大的原则，结果容易得出。

2.化简求值

图 3

分析：具体将未知字母的取值范围体现在数轴上，那么可以知道

即：

3.确定取值范围

分析：这是一道典型的代数解不等式的问题，在解的过程中可以得出字母x的取值范围，再结合x有三个不同的整数解，确定a的范围。通过解不等式得出根据题意得可以做出数轴，如图4，从图中可以得到2＜2a≤3，由此可以得出a的取值范围为：

图 4

二、数形结合与解方程

一元二次方程是初中数学的重点内容，也是教学难点，对于带有变量的方程求解，学生掌握得较差，利用数形结合的方法可以将问题简单化，提高学生的解题速度与思维能力。

分析：这是一道典型的带有参数的一元二次方程求解问题，对于初中生而言是有一定难度的。在解题的过程中，由于存在未知参数，利用求根公式较为复杂，所以为了简化问题，可以利用数形结合思想，将一元二次方程（数）与二次函数（形）建立起关系，方程的根在函数图像上即为与横轴x的交点，则：

图 5

从图5可以得出如下关系：f(0)＞0,f(1)＜0,f(2)＞0，将其代入函数表达式得到：

从以上解题步骤可以看出，与代数方式相比，利用数形结合方法大大简化计算过程，也使解题的思路更加清晰。

三、数形结合思想与一次函数

例5 如图6所示，直线l1交x轴于点A（-6,0），直线l2：y=2x交直线l1于点B（m,4）。点P为x轴上的一个动点，过点P且垂直于x轴的直线交两条直线为C、D两点，当点C在点D之上，确定此时P点的范围。

图 6

分析：首先可以根据题目中的信息得出直线l1的表达式为：

可以设点P的坐标为（n，0），可以求出点C、D的坐标分别为从图6可以看出，当点C在点D之上，则两点的纵坐标有关系：可以得出n＜2。

类似于以上数形结合思想的应用在初中教材中还有很多，比如解二元一次方程时可以用到图像法，对于概率内容的求解可以用到树形图或是列表法，平方差或是平方和公式的推导也可以用图形的面积关系进行推导等等。只要拓展思考的角度，在平时的练习过程中利用数形结合思想，潜移默化中将其内化，则有助于知识的理解与解题能力的提高，有助于数学思维能力的培养。

总之，初中数学教育阶段是承上启下的重要阶段，尤其是对于今后的数学学习将起到至关重要的作用，而数形结合思想的掌握程度将影响数学的学习，因此，在初中教育阶段，教师要善于将数学思想逐渐灌输给学生，尤其是数形结合思想有助于学生对概念的理解，提高学生的认知能力，从侧面来说，还可以促进教师教学效率的提高。

[1]周建凯.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2012（07）：67-68.

[2]陈裕兴.发挥数形结合思想在数学教学中的作用[J].数学通讯，2013（03）：56.

[3]邹坚，陈月兰.对初中生“数形结合”能力的调查研究[J].数学教学，2011（11）：12-14.